呂貝貝，勾靖國，高 峰，譚朝明

（山西大同大學(xué)建筑與測繪工程學(xué)院，山西大同037003）

基于共軛先驗(yàn)分布的鋼筋混凝土梁受剪承載力預(yù)測

呂貝貝，勾靖國，高 峰，譚朝明

（山西大同大學(xué)建筑與測繪工程學(xué)院，山西大同037003）

根據(jù)貝葉斯統(tǒng)計(jì)理論思想，基于我國規(guī)范(GB 50010-2010)中鋼筋混凝土梁斜截面受剪承載力計(jì)算模型，對鋼筋混凝土梁斜截面受剪承載力進(jìn)行預(yù)測。以共軛分布為先驗(yàn)分布，以收集到的79組試驗(yàn)數(shù)據(jù)為樣本點(diǎn)，對未知模型參數(shù)進(jìn)行估計(jì)。研究表明：該方法繼承了先驗(yàn)?zāi)Ｐ偷耐陚湫院驮囼?yàn)數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性，能對鋼筋混凝土梁斜截面受剪承載力進(jìn)行合理預(yù)測。

共軛先驗(yàn)分布；鋼筋混凝土梁；斜截面受剪；參數(shù)估計(jì)

鋼筋混凝土梁作為主要的受彎構(gòu)件，截面受力復(fù)雜，為彎矩、軸力和剪力的綜合作用，但剪切破壞較彎曲破壞危險性大，為沒有明顯征兆的脆性破壞。且抗剪機(jī)理復(fù)雜，剪切強(qiáng)度的影響因素眾多，各種關(guān)于鋼筋混凝土梁斜截面抗剪承載力的預(yù)測模型中均蘊(yùn)含可能占主導(dǎo)作用的主觀不確定性。近年來，貝葉斯統(tǒng)計(jì)分析理論已逐漸被引入混凝土領(lǐng)域[1-3]，利用其特殊的解決問題的理念，綜合考慮先驗(yàn)信息和樣本信息來進(jìn)行構(gòu)件或結(jié)構(gòu)的相關(guān)計(jì)算，并取得了較好的效果。

本文在已有研究的基礎(chǔ)上，以鋼筋混凝土梁為研究對象，收集整理以往試驗(yàn)數(shù)據(jù)，結(jié)合我國規(guī)范GB 50010-2010[4]中的抗剪承載力計(jì)算模型，利用貝葉斯共軛先驗(yàn)分布的思想對梁的抗剪承載能力進(jìn)行預(yù)測研究。

1 基于貝葉斯理論的參數(shù)估計(jì)法

1.1 無信息先驗(yàn)分布參數(shù)估計(jì)

設(shè)x1,…,xn為來自正態(tài)總體N(μ,σ2)的一組隨機(jī)變量，其中均值μ和方差σ2未知，且未掌握其相關(guān)信息，則取未知參數(shù)(μ,σ)的先驗(yàn)分布為無信息先驗(yàn)分布[5]，即

未知參數(shù)(μ,σ)聯(lián)合后驗(yàn)分布密度為：

其中：

將式(2)所示聯(lián)合后驗(yàn)分布密度函數(shù)，對σ進(jìn)行積分，即可得參數(shù)μ的后驗(yàn)分布密度函數(shù)為：

可見，μ的后驗(yàn)分布符合t分布，則可根據(jù)t分布性質(zhì)對μ進(jìn)行估計(jì)，即可求得μ的后驗(yàn)期望及方差。同理將公式(2)所示函數(shù)對μ進(jìn)行積分，可得σ的后驗(yàn)密度函數(shù)為：

所以，σ的后驗(yàn)分布符合逆Gamma分布，根據(jù)逆Gamma分布的性質(zhì)可對其進(jìn)行估計(jì)。

1.2 共軛先驗(yàn)分布參數(shù)估計(jì)

設(shè)x1,…,xn為來自正態(tài)總體N(μ,σ2)的一組隨機(jī)變量，其中σ2已知，μ未知，并取其共軛先驗(yàn)分布為正態(tài)分布N(μ0,)，則其后驗(yàn)分布仍為正態(tài)分布[6]，計(jì)算如下：

由公式(7)可知，未知參數(shù)μ的共軛后驗(yàn)分布符合正態(tài)分布N(B∕A，A-1)，根據(jù)正態(tài)分布性質(zhì)可得其估計(jì)值。

2 Bayes剪力預(yù)測

2.1 先驗(yàn)?zāi)Ｐ?/h3>

本文選取規(guī)范(GB 50010-2010)中有腹筋梁斜截面受剪承載力計(jì)算模型為先驗(yàn)?zāi)Ｐ?。?dāng)僅配置箍筋時，矩形、T形和I形截面一般受彎構(gòu)件的斜截面受剪承載力應(yīng)符合：

式中：Vcs為斜截面受剪承載力設(shè)計(jì)值；Asv為箍筋截面面積；s為箍筋間距；ft為混凝土軸心抗拉強(qiáng)度設(shè)計(jì)值；fyv為箍筋抗拉強(qiáng)度設(shè)計(jì)值；b為截面寬度；h0為構(gòu)件截面有效高度。

當(dāng)同時配有箍筋和彎起鋼筋時，矩形、T形和I形截面受彎構(gòu)件的斜截面受剪承載力應(yīng)符合下列規(guī)定：

式中：Vu為配彎起鋼筋的剪力計(jì)算值；Vsb為彎起鋼筋承擔(dān)的拉力在垂直梁軸方向上的分力值；fy為彎起鋼筋的抗拉強(qiáng)度設(shè)計(jì)值；Asb為彎起鋼筋截面面積；αs為彎起鋼筋與構(gòu)件縱軸線的夾角。

2.2 基于共軛先驗(yàn)分布的剪力預(yù)測

參閱鋼筋混凝土構(gòu)件試驗(yàn)數(shù)據(jù)集[7]，整理集中荷載作用下鋼筋混凝土簡支梁抗剪試驗(yàn)數(shù)據(jù)，共得79組。鑒于篇幅原因，本文以數(shù)據(jù)出處為單位，根據(jù)鋼筋混凝土梁受剪承載力的影響因素對該試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行了統(tǒng)一整理，見表1。

表1 試驗(yàn)數(shù)據(jù)

圖1 Vexp/VGB頻數(shù)直方圖

圖1繪制了鋼筋混凝土梁剪力試驗(yàn)值與對應(yīng)試件規(guī)范剪力計(jì)算值比值Vexp∕VGB的頻數(shù)直方圖，呈倒鐘形，可見Vexp∕VGB近似服從正態(tài)分布?，F(xiàn)假設(shè)Vexp∕VGB～N(μ,σ2)，其中μ和σ均未知，利用上述貝葉斯參數(shù)估計(jì)法以及79組試驗(yàn)數(shù)據(jù)對其進(jìn)行估計(jì)。首先以前40組試驗(yàn)數(shù)據(jù)為樣本信息，根據(jù)無信息先驗(yàn)分布參數(shù)估計(jì)法對未知參數(shù)(μ,σ)進(jìn)行估計(jì)；然后以后39組試驗(yàn)數(shù)據(jù)為樣本信息，且假設(shè)σ已知，并以上一環(huán)節(jié)計(jì)算結(jié)果為參數(shù)(μ,σ)的先驗(yàn)信息，根據(jù)共軛先驗(yàn)分布參數(shù)估計(jì)法對未知參數(shù)μ進(jìn)行估計(jì)，結(jié)果見表2。據(jù)此對鋼筋混凝土梁抗剪承載力進(jìn)行預(yù)測，預(yù)測結(jié)果為VGB,B。

表2 參數(shù)估計(jì)結(jié)果

3 驗(yàn)證

表3給出了鋼筋混凝土梁基于先驗(yàn)?zāi)Ｐ偷募袅︻A(yù)測值VGB與基于共軛先驗(yàn)分布的剪力預(yù)測值VGB,B相對試驗(yàn)值Vexp的對比結(jié)果，其中μ(Vexp∕VGB,B)=1.024 8，較μ(Vexp∕VGB)=1.468 5更接近于 1；且σ2(Vexp∕VGB,B)=0.016 7，較方差σ2(Vexp∕VGB)=0.034 3顯著減小?？梢娀诠曹椣闰?yàn)分布的剪力預(yù)測值VGB,B與試驗(yàn)值Vexp更加吻合，且隨機(jī)性較小。

表3 貝葉斯更新前后對比

圖2以散點(diǎn)圖的形式描繪了鋼筋混凝土梁進(jìn)行貝葉斯更新前后的剪力預(yù)測值與試驗(yàn)值的對比情況，其中實(shí)心方框代表基于共軛先驗(yàn)分布的剪力預(yù)測值VGB,B，空心方框代表基于中國規(guī)范模型的剪力預(yù)測值VGB，位于斜直線上方的樣本點(diǎn)表示該構(gòu)件的剪力預(yù)測值較試驗(yàn)值偏大，相反，位于斜直線下方的樣本點(diǎn)表示預(yù)測值較試驗(yàn)值偏小。因此，由圖可知貝葉斯更新前后的兩組剪力預(yù)測值VGB與VGB,B分布相同，但VGB,B分布更為集中且更靠近直線。說明，經(jīng)貝葉斯更新后的鋼筋混凝土梁剪力預(yù)測值較更新前更接近試驗(yàn)值，認(rèn)為基于共軛先驗(yàn)分布的剪力預(yù)測模型可對鋼筋混凝土梁抗剪承載能力進(jìn)行無偏估計(jì)。

圖2 貝葉斯更新前后對比散點(diǎn)圖

4 結(jié)論

在已有研究基礎(chǔ)上，本文以規(guī)范模型為先驗(yàn)?zāi)Ｐ?，以試?yàn)數(shù)據(jù)為樣本信息，采用貝葉斯統(tǒng)計(jì)推斷的思想，利用共軛先驗(yàn)分布對未知模型參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，從而達(dá)到對鋼筋混凝土梁斜截面抗剪承載力預(yù)測的目的。研究表明，基于貝葉斯共軛先驗(yàn)分布的剪力預(yù)測值繼承了先驗(yàn)?zāi)Ｐ偷陌l(fā)展趨勢，且與試驗(yàn)值吻合良好，能對鋼筋混凝土梁抗剪承載力進(jìn)行無偏估計(jì)。

[1]劉伯權(quán),劉喜,吳濤.基于共軛先驗(yàn)分布的深受彎構(gòu)件受剪承載力概率模型分析[J].工程力學(xué),2015,32(4):160-177.

[2]潘亮,劉喜,邢國華.鋼筋混凝土梁受剪概率模型分析[J].世界地震工程,2015,31(3):107-113.

[3]Paolo Gardon,Armen Der Kiureghian.Probabilistic Capacity Models and Fragility Estimates for Reinforced Concrete Columns based on Experimental Observations[J].Journal of Engineering Mechanics,2002,128(10):1024-1038.

[4]中華人民共和國住房和城鄉(xiāng)建設(shè)部.混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范:GB 50010-2010[S].北京:中國建筑工業(yè)出版社,2010.

[5]張堯庭,陳漢峰.貝葉斯統(tǒng)計(jì)推斷[M].北京:科學(xué)出版社,1991.

[6]朱慧明,韓玉啟.貝葉斯多元統(tǒng)計(jì)推斷理論[M].北京：科學(xué)出版社,2006.

[7]中國建筑科學(xué)研究院.鋼筋混凝土構(gòu)件試驗(yàn)數(shù)據(jù)集-85年設(shè)計(jì)規(guī)范背景資料續(xù)編[M].北京:中國建筑工業(yè)出版社,1985.

[8]李艷艷.配置500MPa鋼筋的混凝土梁受力性能的試驗(yàn)研究[D].天津:天津大學(xué),2007.

〔責(zé)任編輯 王東〕

Shear Strength Prediction for Reinforced Concrete Beams Based on Conjugate Prior Information

LV Bei-bei，GOU Jing-guo，GAO Feng，TAN Zhao-ming

(School of Archi trcture and Surveying and Mapping Engineering,Shanxi Datong University,Datong Shanxi,037003)

Shear strength prediction of reinforced concrete beams is analyzed based on the Bayesian theory.Two types of informa ?tion,the prior model that shear capacity calculation formula in Chinese code,and the conjugate prior information,are synthesized into Bayesian posterior estimate for unknown parameters.It shows that this method inherits the completeness of prior model and the accura?cy of test data.The shear strength based on conjugate prior information can be conveniently used for the prediction of the shear capaci?ty for reinforced concrete beams,and the calculated results are proved good by test data.

conjugate prior information;reinforced concrete beams;shear strength;Bayesian parameter estimation

TU375.4

A

1674-0874(2017)05-0063-03

2017-05-08

呂貝貝（1989-），女，河北衡水人，碩士，助教，研究方向：鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)抗震。