文︳株洲市石峰區(qū)小學(xué)數(shù)學(xué)教研團隊 瀟湘數(shù)學(xué)教育工作室

“小數(shù)乘小數(shù)”教學(xué)研究報告

文︳株洲市石峰區(qū)小學(xué)數(shù)學(xué)教研團隊 瀟湘數(shù)學(xué)教育工作室

一、問題

“小數(shù)乘小數(shù)”是人教版教材五年級上冊的內(nèi)容，教學(xué)基礎(chǔ)是四年級中因數(shù)的變化引起積變化的規(guī)律和五年級小數(shù)乘整數(shù)的知識。修訂后的課標(biāo)教材淡化了小數(shù)乘法意義的教學(xué)，把重點放在對算理的理解和對算法的總結(jié)上，引導(dǎo)學(xué)生利用因數(shù)的變化引起積的變化規(guī)律來解釋小數(shù)乘法的算理，并由此總結(jié)小數(shù)乘法的一般方法。在教學(xué)實踐中，我們產(chǎn)生了一些問題和困惑。

1.如何有效處理小數(shù)乘小數(shù)與小數(shù)乘整數(shù)的關(guān)系。相對于小數(shù)乘整數(shù)而言，小數(shù)乘小數(shù)在計算方法上更為抽象，算理更難理解。比如：積的小數(shù)點與因數(shù)的小數(shù)點位置需不需要對齊，小數(shù)乘小數(shù)得到的積有時候為什么比兩個因數(shù)都小，等等。這是學(xué)生認知的難點，也是學(xué)生乘法學(xué)習(xí)中的一個破舊立新點。對此，教師在教學(xué)時該如何處理？

2.如何處理理解算理與掌握算法之間的關(guān)系。如果只是讓學(xué)生掌握小數(shù)乘小數(shù)的計算方法，本節(jié)課將非常簡單，只需告訴學(xué)生按整數(shù)乘法的方法進行計算，最后看因數(shù)中共有幾位小數(shù)，就從積的右邊起數(shù)出幾位，點上小數(shù)點。想必有了小數(shù)乘整數(shù)的基礎(chǔ)，學(xué)生順利掌握沒有多少難度。但如此一來，學(xué)生將只是一名機械計算工，雖能達到技能上的熟練，但對于為什么要這么做卻知之甚少，不利于學(xué)生的發(fā)展。教師該如何幫助學(xué)生溝通算理，掌握算法呢？

3.計算教學(xué)除了發(fā)展學(xué)生的計算能力，還應(yīng)該教給學(xué)生什么？現(xiàn)實教學(xué)中的計算往往定位在掌握計算方法，能夠正確計算，提高計算能力上。這無可厚非，然而這種單一化的教學(xué)目標(biāo)，使得學(xué)生望“算”生畏。我們認為，計算教學(xué)應(yīng)該從關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)發(fā)展和需要出發(fā)，引領(lǐng)學(xué)生在具體的情境中經(jīng)歷過程，理解算理，明確算法，并從中歸納學(xué)習(xí)方法，提升思維能力，實現(xiàn)計算的再創(chuàng)造。

為了解決這些問題，我們在深入研讀教材的基礎(chǔ)上，形成了如下的思路：充分利用學(xué)生對小數(shù)乘整數(shù)的已有認知，引導(dǎo)合理遷移，幫助學(xué)生理解算理并掌握算法。同時及時打破學(xué)生的定式思維，引導(dǎo)學(xué)生進行合理質(zhì)疑，為什么積會比其中的一個因數(shù)??；歸納小數(shù)乘整數(shù)與小數(shù)乘小數(shù)在計算上的共同點；在發(fā)現(xiàn)算法的時候，啟發(fā)學(xué)生進行深層思考，為什么可以這樣算，從而讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中感悟、反思。

二、實踐

按照以上思路，我們進行了如下實踐。

（一）情境導(dǎo)入

師：同學(xué)們，老師家要裝修房子了，這是房子的部分平面圖（如圖所示）。想知道每個房間的面積是多少，你可以幫忙列出算式嗎？

學(xué)生說算式，教師板書：

入戶花園的面積：4×0.8；陽臺的面積：10.3×0.6；書房的面積：3×3；臥室的面積：5.13×3.2；客廳的面積：10.3×4。

師：同學(xué)們真棒！仔細觀察這些算式，你能把它們分分類嗎？

生1：我分成可以口算的和需要筆算的兩類。4×0.8、3×3 是可以口算的，10.3×0.6、5.13×3.2、10.3×4是需要筆算的。

生2：我分成三類，第一類是整數(shù)乘整數(shù)，第二類是小數(shù)乘整數(shù)，第三類是小數(shù)乘小數(shù)。

師：標(biāo)準(zhǔn)不同，分類的結(jié)果也不同。那哪些算式你能計算？請試一試。（學(xué)生口算4×0.8、3×3，然后上臺板演其他題的豎式）

師（指著10.3×4的豎式）：小數(shù)乘整數(shù)列豎式時，為什么末尾對齊？

生3：因為先把10.3看成103，也就是看成整數(shù)計算，所以是末尾對齊。

師：說得很好。（指著 10.3×0.6、5.13×3.2的豎式）看來大家計算這兩道題有困難，這節(jié)課我們一起研究小數(shù)乘小數(shù)的計算。（板書）

設(shè)計意圖：利用具體情境促使學(xué)生產(chǎn)生計算的現(xiàn)實需求。接著放手讓學(xué)生嘗試計算，暴露學(xué)生的思維過程，為接下來的教學(xué)找到最佳切入口。

（二）引導(dǎo)探究

1.嘗試計算，引導(dǎo)推理

師：根據(jù)算式10.3×0.6，你能估計一下陽臺的面積大約是多少平方米嗎？

生4：我將 10.3 看成 10，10×0.6=6，10.3×0.6的結(jié)果比6大。

生5：我將 10.3 看成 11，11×0.6=6.6，10.3×0.6的結(jié)果比6.6小。

師：通過剛才的估計，我們知道10.3×0.6的積應(yīng)該大于6而小于6.6。根據(jù)我們以往的計算經(jīng)驗，請同學(xué)們大膽猜測一下：10.3×0.6可以怎樣算？

學(xué)生嘗試計算，教師巡視，選擇具有代表性的方法進行展示。

方法1

方法2

方法3

方法4

方法5

師：仔細觀察這幾位同學(xué)的方法，你跟誰的做法相同？這幾種方法有什么相同的地方？有什么不同的地方？

學(xué)生觀察發(fā)現(xiàn)前三種都是橫式計算，后兩種都是豎式計算。教師引導(dǎo)學(xué)生匯報：比較前面三種方法，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生6：這三種方法都是將因數(shù)轉(zhuǎn)化為整數(shù)計算的。但是方法1是把長和寬分別看成103分米和6分米，算出面積是618平方分米，再化成平方米作單位；方法2是把兩個因數(shù)都化成了整數(shù)再計算，方法3則只把其中的一個因數(shù)化成整數(shù)再計算。

生7：這三種方法的答案都一樣，都是6.18。

師：那比較后面的兩個豎式，你又有什么發(fā)現(xiàn)？

生8：方法4的豎式中小數(shù)點沒有對齊，方法5的豎式中小數(shù)點對齊了。這兩種方法肯定只有一種是對的！

師：那究竟誰的對呢？

生9：我認為結(jié)果應(yīng)該是兩位小數(shù)，因為剛才我們估算了10.3×0.6的積應(yīng)該大于6而小于6.6，所以正確的答案是6.18。

生10：前面三種方法的結(jié)果都是6.18，而且這三種方法都有道理，我也同意方法4的答案。

師：10.3×0.6明明是一位小數(shù)乘一位小數(shù)，它們的積為什么是兩位小數(shù)？（學(xué)生先在小組里交流，再派代表匯報）

生11：我們組是這樣想的，第一個因數(shù)擴大了10倍，第二個因數(shù)也擴大了10倍，要使積不變，就必須縮小到它的百分之一，所以積是兩位小數(shù)。

生12：因為我們把兩個小數(shù)都看成整數(shù)，它們各擴大了10倍，所以乘得的積要除以100才是正確的。

師：我想請小老師幫老師完成完整的計算過程。誰愿意來？

生13上臺邊板演邊介紹計算方法：先把10.3乘 10，就是 103，再把 0.6 乘 10，就是 6；103 乘 6等于618，618是擴大了10個10倍，要求原來的積，就要縮小到它的百分之一，也就是把小數(shù)點往左移動兩位，結(jié)果等于6.18。

師：接下來，到了小老師解疑時間。大家還有什么問題或者要補充的嗎？

生14：積為什么要縮小到它的百分之一呢？

生13：（指著算式）兩個因數(shù)都擴大了10倍，10×10=100，所以積要縮小到它的百分之一。你弄懂了嗎？（生14點頭）

生15：為什么小數(shù)加減法的數(shù)位要對齊，而小數(shù)乘小數(shù)卻是末尾對齊呢？

生13：因為加減法是相同的數(shù)位相加減，所以要對齊，而小數(shù)乘小數(shù)是看成整數(shù)乘整數(shù)來計算的，先不看小數(shù)點，所以不用對齊。

生16：為什么結(jié)果會越乘越小呢？

生13（為難，思考后）：有誰能回答這個問題嗎？

生17：因為 10.3×1=10.3，但 0.6 比 1 小，10.3×10.3小。（同學(xué)們自發(fā)鼓掌）

生13：謝謝你。我明白了。

師：同學(xué)們提出的問題非常好，只有認真思考了才能提出好問題。其實不管用哪種方法做，都是把小數(shù)轉(zhuǎn)化成整數(shù)進行計算?？磥韱栴}的關(guān)鍵是積到底是幾位小數(shù)。

設(shè)計意圖：學(xué)生自主探索、合作交流，教師適當(dāng)點撥，學(xué)生逐步理解小數(shù)乘小數(shù)的算理，并對計算中的注意點有了清晰的認識。

2.獨立推理，實現(xiàn)轉(zhuǎn)化

師：剛才我們求出了陽臺的面積，那臥室的面積你會計算嗎？請用自己的方法算一算。

學(xué)生獨立計算5.13×3.2，教師巡視。

師：老師這里有幾種做法（如下所示），你認為哪些方法是正確的？其他的方法有哪些地方不合理？為什么？

生18：第一種方法是對的。第二種方法的答案錯誤?？吹谝环N方法就很明白，這兩個因數(shù)共擴大了1000倍，所以積的小數(shù)點應(yīng)該往左移三位，積是三位小數(shù)。而他把小數(shù)乘法當(dāng)成了小數(shù)加法，讓小數(shù)點對齊，這不符合積的變化規(guī)律，使得積的小數(shù)點位置錯了，所以是不對的。第三種方法的錯誤是把算式直接寫成整數(shù)乘整數(shù)。

師：那么做小數(shù)乘法時要注意什么？

生19：我認為要注意，一是列豎式時末尾對齊；二是要抄原題，不能直接寫成整數(shù)乘整數(shù)；三是計算完后要記得點上小數(shù)點，先看清兩個因數(shù)共擴大了幾倍，再將積縮小到它的幾分之一。

設(shè)計意圖：學(xué)生通過展示、比較、交流，深化對算理的理解，對小數(shù)乘小數(shù)的書寫格式有了正確的認識。

3.專項對比，概括方法

師：回顧10.3×0.6和5.13×3.2的計算過程，思考以下問題：積的小數(shù)位數(shù)與因數(shù)的小數(shù)位數(shù)有什么關(guān)系？小數(shù)乘小數(shù)應(yīng)該怎么計算？

學(xué)生先獨立思考，再在小組內(nèi)交流，然后分組匯報。

生20：我們組發(fā)現(xiàn)，小數(shù)乘小數(shù)時，兩個因數(shù)共有幾位小數(shù)，積就有幾位小數(shù)。

生21：我們組也發(fā)現(xiàn)了這個規(guī)律。比如，0.2×0.6=0.12。兩個因數(shù)的小數(shù)點一共往右移動了兩位，積的小數(shù)點就往左移動兩位。

師：在做題中發(fā)現(xiàn)規(guī)律并概括出來是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的好方法。那誰能夠概括小數(shù)乘小數(shù)的計算方法？

生22：先把小數(shù)乘法轉(zhuǎn)化為整數(shù)乘法，按照整數(shù)乘法的方法進行計算；再數(shù)一數(shù)兩個因數(shù)一共有幾位小數(shù)，就從積的右邊起數(shù)出幾位點上小數(shù)點。

設(shè)計意圖：再次安排小組討論和交流，讓學(xué)生在合作交流中互相碰撞，隨后歸納概括出小數(shù)乘小數(shù)的計算方法也就水到渠成了。

（三）精練活用

1.你能給下面各題的積點上小數(shù)點嗎？

學(xué)生先獨立完成，再交流。

師：積是多少？你是怎么想的？（生答略）

師：7.29×0.04，小數(shù)點點在哪？怎么處理？

生23：積是四位小數(shù)，所以小數(shù)點點在2916的前面，整數(shù)部分添0表示。

2.巧算顯身手

0.8 ×0.4 0.25×3.2 0.56×0.04

學(xué)生先獨立完成，再訂正答案，然后交流。

師：0.56×0.04的積是多少？你是怎么算的？

生24：0.56×0.04的積是0.0224。但 56×4=224，積只有三位，數(shù)位不夠，所以要在前面添0補足四位再點上小數(shù)點。

師：其余兩題有沒有用不同方法解決的？

生25：0.8×0.4可以直接口算；0.25×3.2可以用簡便方法計算，0.25×3.2=0.25×4×0.8=0.8。

3.頭腦體操：試一試，你有多少種填法？

（ ）×（ ）=0.24

學(xué)生先獨立思考完成，然后全班交流。

師：你是怎樣想的？發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？

生26：我是先填上24的兩個因數(shù)，再考慮積是兩位小數(shù)，所以兩個因數(shù)一共就是兩位小數(shù)。填好一個算式后，再調(diào)整因數(shù)小數(shù)點的位置，就可以想出多種填法。如 0.6×0.4=0.24、0.06×4=0.24、6×0.04=0.24。

生27：我發(fā)現(xiàn)這和小數(shù)乘法計算一樣，先看成整數(shù)，填好兩個因數(shù)，再根據(jù)積的小數(shù)位數(shù)確定因數(shù)小數(shù)點的位置。

設(shè)計意圖：這一組練習(xí)從易到難，從順向思考到逆向思考，循序漸進，既重視學(xué)生知識的鞏固，又重視學(xué)生思維能力的培育。

（四）總結(jié)提升（略）

三、討論

1.收獲

小數(shù)乘法和整數(shù)乘法從整體上看是一個系統(tǒng)。不同的是，小數(shù)乘小數(shù)中積的小數(shù)點的定位稍顯復(fù)雜?；谶@樣的認識，我們在實踐中重視對算理的理解和對轉(zhuǎn)化思想的感悟。學(xué)生在多次的交流和辨析中加深對算理的理解，很好地突破了積的小數(shù)點定位這一認知難點。這樣的認知方式和學(xué)習(xí)體驗同樣可以遷移到隨后的小數(shù)除法的學(xué)習(xí)中去，實現(xiàn)學(xué)習(xí)方法的結(jié)構(gòu)化。

尤其值得一提的是“小老師”的出場，是本課的精彩之處。“小老師”既對例題進行了完整的講解和分析，又敢于接受同學(xué)們的質(zhì)疑和挑戰(zhàn)，這不僅是對“小老師”個人表達能力和思維能力的培養(yǎng)，更是讓其他學(xué)生樂學(xué)、易學(xué)，培養(yǎng)他們提出問題的能力和敢于質(zhì)疑的精神。

2.思考

新課改的今天，計算教學(xué)除了關(guān)注計算技能的掌握之外，更應(yīng)該關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)過程，讓學(xué)生在自身的實踐探索中發(fā)展思維能力，培養(yǎng)良好的學(xué)習(xí)品質(zhì)。

我們時常在思考一個問題，現(xiàn)在的學(xué)生怎么不愛思考了呢？原因除了有學(xué)生方面的，我們教師應(yīng)該也有責(zé)任：低估學(xué)生的能力，代替他們說出他們需要的思考，只選擇個別能夠配合教學(xué)發(fā)展的思考，為了完成教學(xué)任務(wù)而限制思考的時間等。結(jié)合這次研究來看，給足學(xué)生思考、探究的空間，學(xué)生將會還你一個精彩課堂！小數(shù)乘小數(shù)的教學(xué)，在解決了算理、算法的前提下，如何提高計算的正確率和速度等還有待我們繼續(xù)研究?！颈疚南岛鲜〗逃茖W(xué)“十二五”規(guī)劃2014年度立項課題（編號：XJK014CZXX086）研究成果】

（執(zhí)筆：吳利軍、徐志敏、陶冶、徐旺、李闖）