■河南省沈丘縣第一高級中學 謝志遠

等差數(shù)列的前n項和Sn的最值問題的研究

■河南省沈丘縣第一高級中學 謝志遠

數(shù)列是一類特殊的函數(shù),因此,數(shù)列不僅具備函數(shù)的性質(zhì),且可以用函數(shù)的知識或方法來解決數(shù)列的問題。在研究等差數(shù)列時,等差數(shù)列前n項和Sn的最大值問題是其中的一個熱點,也是重點。

問題1:在等差數(shù)列{an}中,a1=29,S10=S20,則數(shù)列{an}的前n項和Sn的最大值為( )。

A.S15B.S16

C.S15或S16D.S17

解析:a1=29,S10=S20,10a1+解得d=-2。

所以當n=15時,Sn取得最大值。

【變式一】若將條件“a1=29,S10=S20”改為“a1＞0,S5=S12”,如何求解?

解法1:設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,由S5=S12得,5a1+10d=12a1+66d,解得d=

因為a1＞0,n∈N*,所以當n=8或n=9時,Sn有最大值。

解法2:設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,同解法1得

又n∈N*,所以當n=8或n=9時,Sn有最大值。

解法3:設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,同解法1得d=-

由于Sn=na1+設(shè)f(x)=則函數(shù)y=f(x)的圖像為開口向下的拋物線,由S5=S12知,拋物線的對稱軸為(如圖1所示)。

圖1

由圖可知,當1≤n≤8時,Sn單調(diào)遞增;當n≥9時,Sn單調(diào)遞減。又n∈N*,所以當n=8或n=9時,Sn最大。

【變式二】若將條件“a1=29,S10=S20”改為“a3=12,S12＞0,S13＜0”,如何求解?

解析:因為a3=a1+2d=12,所以a1=12-2d。

解法1:由d＜0可知{an}為遞減數(shù)列,

因此,在1≤n≤12中,必存在一個自然數(shù)n,使得an≥0,an+1＜0。

此時對應(yīng)的Sn就是S1,S2,…,S12中的最大值。

解法2:由d＜0可知{an}是遞減數(shù)列,令

所以5.5＜n＜7,故n=6,即S6最大。

由上例可總結(jié)求等差數(shù)列前n項和Sn的最值的方法:

1.二次函數(shù)法:將等差數(shù)列的前n項和Sn=An2+Bn(A、B為常數(shù))看作二次函數(shù),根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值。

2.圖像法:利用二次函數(shù)圖像的對稱性來確定n的值,使Sn取得最值。一般地,等差數(shù)列{an}中,若a1＞0,且Sp=Sq(p≠q),則:①若p+q為偶數(shù),則當n=時,Sn最大;②若p+q為奇數(shù),則當n=或n=時,Sn最大。

3.轉(zhuǎn)折項法:當a1＞0,d＜0時,滿足的項數(shù)n,使Sn取最大值;當a1＜0,d＞0時,滿足的項數(shù)n,使Sn取最小值,即正項變負項處最大,負項變正項處最小,若有零項,則使Sn取最值的n有兩個。

(責任編輯 徐利杰)