■鄭州市回民中學(xué) 蘆國賢

等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用例析

■鄭州市回民中學(xué) 蘆國賢

等差數(shù)列的知識在數(shù)列學(xué)習(xí)中占重要位置,該單元的知識點多而繁雜,同學(xué)們掌握起來比較困難。下面就等差數(shù)列的知識進行細致梳理,幫同學(xué)們形成系統(tǒng)的知識網(wǎng)絡(luò),以便牢固地掌握該知識點,為后續(xù)數(shù)列的學(xué)習(xí)打下良好的基礎(chǔ)。

一、知識點總結(jié)

1.等差數(shù)列的基本定義。

an-an-1=d(d為常數(shù)),n≥2。

2.等差數(shù)列通項公式及推廣公式。

an=a1+(n-1)d=dn+a1-d(n∈N*),首項為a1,公差為d,末項為an。

推廣:an=am+(n-m)d,從而d=

3.等差中項。

(1)如果a,A,b組成等差數(shù)列,那么A叫作a與b的等差中項,即A=或2A=a+b。

(2)數(shù)列{an}是等差數(shù)列?2an=an-1+an+1(n≥2)?2an+1=an+an+2。

4.等差數(shù)列的前n項和公式。

Sn=n=An2+Bn,其中A、B是常數(shù),所以當d≠0時,Sn是關(guān)于n的二次式且常數(shù)項為0。

二、等差數(shù)列的性質(zhì)

1.當公差d≠0時,等差數(shù)列的通項公式an=a1+(n-1)d=dn+a1-d是關(guān)于n的一次函數(shù),且斜率為公差d。

前n項和Sn=na1+是關(guān)于n的二次函數(shù)且常數(shù)項為0。

2.若公差d＞0,則{an}為遞增等差數(shù)列;若公差d＜0,則{an}為遞減等差數(shù)列;若公差d=0,則為常數(shù)列。

3.當m,n,p,q∈N*且m+n=p+q時,則有am+an=ap+aq,特別地,當m+n=2p時,則有am+an=2ap。一般地:a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…。

4.若{an},{bn}為等差數(shù)列,則{λan+bn},{λ1an+λ2bn}都為等差數(shù)列。

5.若{an}是等差數(shù)列,則Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…,也是等差數(shù)列。

6.數(shù)列{an}為等差數(shù)列,每隔k(k∈N*)項取出一項,即am,am+k,am+2k,am+3k,…仍為等差數(shù)列。

7.設(shè)數(shù)列{an}是等差數(shù)列,d為公差,S奇是奇數(shù)項的和,S偶是偶數(shù)項的和,Sn是前n項的和。

其中an+1是項數(shù)為2n+1的等差數(shù)列的中間項。

②當項數(shù)為偶數(shù)2n時,

S奇=a1+a3+a5+…+a2n-1=

S偶=a2+a4+a6+…+a2n=

S偶-S奇=nan+1-nan=nd;

8.{an},{bn}的前n項和分別為An,Bn,且則:

9.等差數(shù)列{an}的前n項和Sn=m,前m項和Sm=n,則前m+n項和Sm+n=-(m+n)。

10.求Sn的最值。

方法一:因等差數(shù)列前n項和是關(guān)于n的二次函數(shù),故可轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值,但要注意數(shù)列的特殊性n∈N*。

方法二:(1)當a1＞0,d＜0時,由可得Sn達到最大值時的n值。

(2)當a1＜0,d＞0時,由可得Sn達到最小值時的n值。

這樣就找到了數(shù)列{an}中正負分界項。

方法三:直接利用二次函數(shù)的對稱性,由于等差數(shù)列前n項和的圖像是過原點的二次函數(shù),故n取離二次函數(shù)對稱軸最近的整數(shù)時,Sn取最大值(或最小值),若Sp=Sq,則其對稱軸為

三、思想方法及應(yīng)用技巧

1.等差數(shù)列的判定方法。

(1)定義法:an-an-1=d或an+1-an=d(常數(shù)n∈N*)?{an}是等差數(shù)列。

(2)等差中項:數(shù)列{an}是等差數(shù)列?2an=an-1+an+1(n≥2)?2an+1=an+an+2。

(3)數(shù)列{an}是等差數(shù)列?an=kn+b(其中k,b是常數(shù))。

(4)數(shù)列{an}是等差數(shù)列?Sn=An2+Bn(其中A,B是常數(shù))。

2.等差數(shù)列中的方程思想。

(1)等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式中,涉及5個元素:a1、d、n、an及Sn,其中a1、d為基本元素。只要已知這5個元素中的任意3個,便可求出其余2個,即知3求2。

(2)設(shè)項技巧。

①一般可設(shè)通項an=a1+(n-1)d;

②奇數(shù)個數(shù)成等差數(shù)列,可設(shè)為…,a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,…(公差為d);

③偶數(shù)個數(shù)成等差數(shù)列,可設(shè)為…,a-3d,a-d,a+d,a+3d,…(公差為2d)。

總之,解決等差數(shù)列問題時,首先,要熟練掌握基本知識點及性質(zhì),其次,要充分運用函數(shù)和方程思想,巧妙結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì),化繁為簡,減少運算量,順利解答。

練一練:

1.已知數(shù)列{an}中,a1=1

2.已知數(shù)列{an}中,a3=2,a7=1,數(shù)列為等差數(shù)列,求an。

3.已知公差為1的等差數(shù)列{an},Sn是它的前n項的和,若S8=4S4,求a10。

4.設(shè)數(shù)列{an}的通項為an=2n-7求的值。

5.已知等差數(shù)列{an}中,Sn是它的前n項的和,Sn=36,S2n=12,求S3n。

6.已知等差數(shù)列{an}中,前15項之和為S15=90,求a8的值。

7.已知等差數(shù)列{an},{bn}的前n項和分別為Sn,Tn,已知則求

8.已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且S10=100,S100=10,求S110的值。

9.在等差數(shù)列{an}中,Sn為前n項和:

(1)若a1+a9+a12+a20=20,求S20;

(2)若S4=1,S8=4,求a17+a18+a19+a20的值;

(3)若已知首項a1=13,且S3=S11,問此數(shù)列前多少項的和最大。

參考答案:1.a49=2.an=3.94.153。 5.S3n=-72。6.a8=6。 78.S110=-110。 9.(1)S20=100。(2)9。(3)7。

(責(zé)任編輯 徐利杰)