尹業(yè)熙 秦衡峰 周后明

1.湘潭大學機械工程學院，湘潭,4111052.湘潭大學復雜軌跡加工工藝及裝備教育部工作研究中心，湘潭,411105

基于定向距離理論的五軸加工刀具軌跡規(guī)劃算法

尹業(yè)熙1,2秦衡峰1周后明1

1.湘潭大學機械工程學院，湘潭,4111052.湘潭大學復雜軌跡加工工藝及裝備教育部工作研究中心，湘潭,411105

針對環(huán)形刀五軸加工自由曲面的殘留誤差問題，在傳統(tǒng)等殘留高度算法的基礎上，提出了一種基于定向距離理論的等最大殘留高度刀具軌跡規(guī)劃算法。首先根據微分幾何理論計算已知刀觸點的初始側向行距，并在側向行距方向進行偏置得到相鄰刀觸點；然后以基于定向距離理論的殘高誤差計算模型對相鄰刀觸點間的實際殘高值進行計算；最后通過迭代計算規(guī)劃出等最大殘留高度的相鄰刀具軌跡。如此循環(huán)，從而獲得整個曲面的刀具軌跡。實驗結果表明，相對于商用軟件MasterCAM9.0，該算法在充分保證曲面加工質量的同時最大限度地減小了刀具軌跡的總長度，從而提高了加工效率。

環(huán)形刀；自由曲面；等最大殘留高度；定向距離理論；刀具軌跡規(guī)劃

0 引言

自由曲面五軸數控加工中，刀具軌跡的優(yōu)劣和規(guī)劃效率直接決定了加工精度和生產效率[1]。刀具軌跡生成的主要方法有等參數法[2]、截平面法[3]和等殘留高度法[4-12]等。對于等參數法和截平面法，為了保證加工精度，在進行刀具軌跡間的行距計算時通常較為保守，使得生成的刀具軌跡分布較為密集、冗余軌跡較多、加工效率低；而等殘留高度法的基本思想是在容許誤差范圍內控制兩相鄰軌跡間的殘留高度相等且使得刀具的切削寬度達到最大值。傳統(tǒng)的等殘留高度法由美國SURESH等[4]提出，以允許的弓高、殘高誤差最大值進行刀軌的步長和行距計算，經過偏置和擬合得到覆蓋整個自由曲面的刀具軌跡，在理論上可以最大限度地增加刀軌間的行距、縮短刀軌總長度，以獲得最高的加工質量和加工效率。許多學者對該算法進行了優(yōu)化。趙世田等[5]提出了一種改進后的等殘留算法；楊長祺等[6]以消除傳統(tǒng)等殘留高度算法中對相鄰刀軌在切削方向及局部幾何信息的近似為目的，對傳統(tǒng)等殘留高度算法進行了優(yōu)化；林志偉等[7-8]提出了基于切割曲面法矢的五軸等殘高刀具軌跡生成算法。上述算法的計算思想基本都是：首先計算刀具處于已知刀觸點時滿足精度要求的殘高點及其投影點，然后根據所求得的殘高點投影點尋找相鄰的刀軌，在計算過程中近似地認為所求得的殘高點投影點和相鄰刀軌中相對應的刀觸點擁有相同的局部幾何信息上述算法忽略了相鄰刀觸點的刀具姿態(tài)問題，對局部情況復雜的刀觸點進行這種近似處理會導致很大的計算誤差，使得實際殘留高度可能超出容許值范圍。

針對上述問題，本文以定向距離理論為基礎，提出一種環(huán)形刀加工自由曲面的等最大殘留高度刀具軌跡規(guī)劃算法，使得加工后的實際殘留高度恰好等于容許殘留誤差值，在充分保證曲面加工質量的基礎上最大限度地加大相鄰刀軌間的行距和縮短刀具軌跡總長度，從而提高加工效率。

1 定向距離理論

如圖1所示,在三維空間中有兩個曲面S1(u,v)、S2(u,v)，若E(u1,v1)、F(u2,v2)分別表示曲面S1、S2上的任意一點，那么兩曲面間的距離可表示為[13-14]：

d=inf‖E(u1,v1)-F(u2,v2)‖

(1)

其中，inf表示取范數集中的最小值，范數值‖·‖指歐氏域范數值，即對于空間上任意一點O(x,y,z)，則該點的范數值可表示為

(2)

圖1 定向距離模型Fig.1 Directional distance model

由泛函數分析可知，對于兩個不相交的曲面，至少存在一對相對點使其距離最小；特別地，當有一對相對點間的距離為0時，那么兩曲面間至少有一個交點；其中各相對點之間的距離稱為有向距離。根據兩點間有向距離概念可知兩曲面間可以作無數條有向直線，若所作有向直線平行于一個預先給定的方向矢量，則稱所作的有向直線為定向直線，其距離為定向距離，定向直線與兩曲面的兩個交點稱為定向相對點。如圖1所示，假設給定的方向矢量為坐標系中的z軸，若E(x1,y1,z1)、F(x2,y2,z2)兩點分別位于兩曲面S1、S2上，且E、F間的有向直線EF平行于坐標軸z軸，則稱有向直線EF為定向直線，其有向距離LEF為定向距離DEF，E、F兩點稱為定向相對點，那么必有x1=x2、y1=y2，且定向距離DEF可表示為

(3)

因此對定向相對點可作以下定義：

如果在坐標軸z軸方向上，兩曲面S1:z=f2(x,y),S2:z=f2(x,y)上兩點的x、y坐標值相等，就可稱其為一對定向相對點，即若有

(4)

則稱P1、P2為一對定向相對點；同理，對x=f(y,z)或者y=g(x,z)也可以作出相似的定義。事實上，一對定向相對點就是用一系列平行于某給定矢量的直線截取兩曲面，所得到的兩交點就是一對定向相對點，如圖1所示，E、F兩點為一對定向相對點，而G、H兩點則不是。

2 等最大殘留高度刀具軌跡規(guī)劃

2.1初始側向行距計算

在環(huán)形刀五軸加工切削中，根據微分幾何理論可求得刀具位于當前刀觸點(刀觸點)時的有效切削半徑re[9,15]為

(5)

其中，R1、R2為環(huán)形刀刀具半徑尺寸，如圖2所示。λ、β分別為刀具姿態(tài)中的傾斜角和旋轉角。

圖2 環(huán)形刀與刀具局部坐標系Fig.2 Toroidal cutter and tool local coordinate system

若工件曲面在當前刀觸點的法曲率半徑為rb，容許殘留高度誤差值為δ，則可計算出行距D[9]為

(6)

式中，sgn(·)為取值函數，當工件曲面為凸曲面時取值為1，為平面時取值為0，為凹曲面時取值為-1。

令工件曲面S(u,v)的當前刀具路徑Pi=S(u(w),v(w))上的已知刀觸點為Ci,j=S(u(wj),v(wj))，則與其相對應的下一刀具路徑和刀觸點分別為Pi+1和Ci+1,j，假設在行距方向(垂直于Ci,j點進給方向)上尋找Ci+1,j，則有

(7)

D=‖Ci+1,j-Ci,j‖

(8)

將Ci+1,j在Ci,j處按泰勒公式展開并略去二階以后的余項，結合微分幾何理論可得

(9)

式中，E、F、G為曲面的第一類基本量。

根據式(9)即可求得Ci+1,j的參數坐標值：

Ci+1,j=S(u(wj)+Δu,v(wj)+Δv)

(10)

2.2殘留高度計算

在數控加工中，兩相鄰刀軌間刀具包絡曲面所形成的交線稱為殘高曲線，殘高曲線上的點稱為殘高點[16-17]，計算實際殘高點其實質是計算刀具位于兩相鄰刀軌間對應刀觸點時刀具包絡曲面的交點，而在CAM刀具軌跡規(guī)劃中，要規(guī)劃出滿足精度要求的相鄰刀軌，只要將已知刀軌中的所有刀觸點進行精確的偏置即可，因此，可以假設該偏置過程為刀具在兩刀觸點間的一個平移運動，偏置方向為刀具平移過程的終結運動方向，根據包絡加工理論[11,13,18]和定向距離理論[13-14]，可將殘高點的計算轉化為在終結運動方向上兩刀具切削面的定向最小距離計算，即為尋找定向相對點為一重合點的過程。

圖3 殘留高度示意模型Fig.3 Schematic model of scallop-height

圖3所示為環(huán)形刀加工自由曲面過程中刀具位于相鄰刀軌相對應的刀觸點時的切削狀態(tài)，S(u,v)為工件曲面，Pi、Pi+1為兩相鄰刀軌，坐標系Ww(Owxwywzw)和Wc(Cxcyczc)分別表示工件坐標系和位于刀觸點Ci,j上的工件局部坐標系，其中,xc軸和zc軸分別表示位于當前刀觸點Ci,j的進給方向(即為該刀軌Pi在參數t=ti處的切向方向)和工件曲面在Ci,j點的法矢(單位矢量為n)，Ci+1,j為Pi+1刀軌上與Ci,j相對應的刀觸點，AS表示Ci,j、Ci+1,j間的實際曲面曲線，D和h分別表示兩相鄰刀軌間的行距和殘留高度值，M為殘高點。假設刀觸點Ci,j的刀位點(CL點)與刀軸矢量分別用O和T表示，以O點為支點繞yc軸旋轉一個λ角(刀具傾斜角，λ∈(-π/2,π/2))，然后再以刀觸點C為支點繞zc軸旋轉一個β角(刀具旋轉角，β∈(0,2π))，即可得到刀具位于Ci,j時的刀具局部坐標系Wt(Oxtytzt)， 在Wt(Oxtytzt)下環(huán)形刀如圖2所示，其刀具的圓環(huán)切削面參數方程可由下式表示:

(11)

ω∈(-π/2,0)θ∈(0,2π)

根據切削原理可知：計算相鄰刀軌間的殘留高度，其實質是計算相鄰刀軌中所有相對應的刀觸點間的殘留高度，現以計算刀觸點Ci,j、Ci+1,j間的殘留高度為例進行描述。

2.2.1殘高點計算

根據圖2，刀觸點Ci+1,j由已知刀觸點Ci,j向yc軸方向偏置一個初始行距D所得，位于該點的進給方向f′可表示為

(12)

式中，Ci+1,j-1與Ci+1,j為同一刀軌的相鄰刀觸點。

在Ci+1,j點按上述方法建立工件局部坐標系Wc′(C′xc′yc′zc′)和刀具局部坐標系Wt′(O′xt′yt′zt′)，由式(11)可得刀具位于Ci,j、Ci+1,j點時的刀具切削面參數表達式Ti,j(ω,θ)、Ti+1,j(ω,θ)，假設Ci,j、Ci+1,j的刀具姿角分別為(λ,β)、(λ′,β′)，通過坐標平移、旋轉可得到在坐標系Wc(Cxcyczc)中的參數表達式：

(13)

(14)

式中，α、γ分別為yc軸與yc′軸、zc軸與zc′軸的夾角；Δx、Δy、Δz為刀具位于Ci點時刀位點到Ci點的平移距離；Δx′、Δy′、Δz′為刀具位于Ci+1點時刀位點到Ci+1點的平移距離。

在坐標系Wc(Cxcyczc)中，令刀具位于Ci,j、Ci+1,j點的切削面分別為曲面A、B，根據定向相對點定義，要求兩曲面在終結方向yc軸方向上的定向相對點，其實質是用一系列平行于yc軸的截交線分別截曲面A、B，其交點即為在yc軸方向上的定向相對點。假設某截交線與曲面A上的交點為M(x,y,z)，若曲面B存在一點N與其為定向相對點，那么N點的坐標值定為N(x,y′,z)。根據上述對殘高點計算的轉化可知，若某定向相對點為刀觸點Ci,j與Ci+1,j間形成的殘留高度的殘高點，那么該定向相對點必定為一重合點，即M、N兩點的x、y、z坐標值全都相等，此時將出現以下三種情況：

(1)不存在符合條件的定向相對點。刀具分別位于刀觸點Ci,j、Ci+1,j進行包絡加工后，兩刀觸點間仍有一部分區(qū)域刀具無法對其進行切削，很顯然，該情況下所產生的殘留高度必然會大于殘留高度允許值，此時殘高點輸出為空集。

(2)存在符合條件的定向相對點且僅有一個。刀具位于刀觸點Ci,j、Ci+1,j進行包絡加工時，兩刀具切削面在該定向相對點處接觸且相切，則此定向相對點為所求殘高點。

(3)存在符合條件的定向相對點且不止有一個。刀具位于刀觸點Ci,j、Ci+1,j進行包絡加工時，兩刀具切削面相交，此時選取符合條件的定向相對點中z坐標軸值最小的點作為殘高點。

2.2.2殘留高度計算

已知殘高點計算殘留高度的過程，其實質是計算殘高點M到該點在工件曲面上垂足點的距離。若點Q(uQ,vQ)為S(u,v)上的任意一點，其偏導數為SuQ和SvQ，如圖4所示，根據微分幾何理論，其領域內的點P(up,vp)可表示為

P=Q+ΔuSuQ+ΔvSvQ

(15)

其中,當Δu=0，Δv=0時，P、Q兩點為曲面上的重合點。

圖4 殘留高度計算模型Fig.4 Calculation model of scallop-height

那么M到Q的有向線段可表示為

MQ=Q-M+ΔuSuQ+ΔvSvQ

(16)

將式(16)兩邊同時乘以SuQ和SvQ可得

(17)

理論上，如果Q為殘高點M在曲面的垂足點，那么MQ與曲面垂直，則一定有

(18)

因此，若滿足式(18)，則Q為殘高點M在工件曲面S(u,v)上的垂足點M′，MQ間的距離即為殘留高度；若不成立，根據式(17)計算Δu、Δv，在曲面上以Q(uQ,vQ)為起點、(Δu，Δv)為步長尋找下一可能滿足要求的點Qi+1，直到滿足式(18)停止迭代；在殘留高度計算時可以選擇Ci,j或Ci+1,j作為迭代起點進行迭代計算。

綜上所述,殘留高度h計算流程如圖5所示。

圖5 殘留高度h計算流程Fig.5 Calculation procedure of scallop-height h

2.3刀具軌跡規(guī)劃

設工件曲面為S(u,v)，以參數方向u=0的曲面邊界曲線作為初始刀具軌跡線，記為Pi(u(t),v(t))，Pi,1,Pi,2,…,Pi,n-1,Pi,n為初始刀具軌跡線上的刀觸點，根據這些已知刀觸點，利用等最大殘留高度方法來確定下一條刀具軌跡線Pi+1上的刀觸點Pi+1,1,Pi+1,2,…,Pi+1,n-1,Pi+1,n，殘留高度誤差允許值為δ，為了使行距在殘留高度誤差允許值內達到極限值，設置殘留高度差值的迭代閾值為h′，則等殘留高度軌跡線計算流程如下：

(1)對刀觸點Pi,n在參數方向v向上偏置一個初始行距D的距離得到相鄰刀軌Pi+1上的刀觸點Pi+1,1，按式(10)計算點Pi+1,1參數坐標值u，并比較u與1的大小，若u≤1,則ui+1,1=u,否則取ui+1=1。

(6)對最終確定的刀觸點進行曲線插值，得到第i+1條刀具軌跡線Pi+1(u(t),v(t))。

(7)重復步驟(1)～步驟(6)直到生成的刀具軌跡線覆蓋整個工件曲面。

綜上，等殘留高度刀具軌跡規(guī)劃流程如圖6所示。

3 實例分析

對圖7所示的自由曲面進行刀具軌跡生成，所選的環(huán)形刀半徑為R1=2.5 mm，R2=2.5 mm，殘留高度差值的迭代閾值為h′=0.001 mm，刀具傾斜角和旋轉角分別為λ=10°，β=0°。以參數方向u=1的曲面邊界曲線為初始刀軌，初始刀軌的刀觸點采用圓弧近似法進行規(guī)劃，其容許弓高誤差值ε=0.02 mm，同時在相同的規(guī)劃參數情況下，利用商用軟件MasterCAM 9.0對該自由曲面進行刀具軌跡生成。當容許殘留高度值δ取值分別為0.01 mm、0.02 mm和0.04 mm時，其兩種方法刀軌規(guī)劃結果的參數對比如表1所示，若取δ=0.02 mm，其規(guī)劃出的刀具軌跡曲線如圖8、圖9所示。

由上述刀軌規(guī)劃過程可知，本文算法在進行刀軌規(guī)劃時可以極大地減小刀軌的總長度、加大刀軌的側向行距。對上述兩種刀具軌跡進行后置處理并在Vericut軟件上進行五軸加工仿真，半精加工后的仿真時間如表2所示，仿真結果如圖10所示。確認刀具軌跡無誤后，在Mikron UCP800 Duro雙回轉工作臺AC型五軸加工中心進行實驗驗證，其半精加工結果如圖11所示，通過與表面粗糙度對比樣塊進行對比，其半精加工后的工件表面粗糙度均可定為Ra=3.2 μm。從實際加工結果可以看出，相對于MasterCAM 9.0，本文算法規(guī)劃的刀具軌跡加工自由曲面后的刀具切削路徑和殘留分布較為均勻，保證了自由曲面的加工表面質量。

圖6 刀具軌跡規(guī)劃流程Fig.6 Tool path planning flow

4 結論

(1)提出了一種基于定向距離理論的環(huán)形刀加工自由曲面刀具軌跡規(guī)劃算法，首先根據定向距離理論精確計算相鄰刀軌中相對應的刀觸點間實際殘留高度，根據容許誤差值對初始行距進行精確修正，獲得最大限度的加工行距，充分的利用環(huán)形刀的有效切削寬度。

圖7 原自由曲面Fig.7 Original free-surface

容許殘留高度值δ(mm)采用方法刀軌曲線總條數總刀軌長度L(mm)平均行距D(mm)0．01本文算法677262．35881．6418MasterCAM9．09911176．65371．11110．02本文算法475082．56512．3913MasterCAM9．0738331．38681．52780．04本文算法343681．63423．2353MasterCAM9．0536．63．64752．0755

圖8 本文算法刀軌規(guī)劃圖Fig.8 The tool-path planning of the proposed algorithm

圖9 MasterCAM 9.0刀軌規(guī)劃圖Fig.9 The tool-path planning of MasterCAM 9.0

方法本文算法MasterCAM9．0方法仿真時間54min3s1h17min24s

(a)本文方法

(b)MasterCAM 9.0方法圖10 Vericut仿真加工結果Fig.10 Vericut simulation results

圖11 實際加工結果Fig.11 Actual machining results

(2)本文算法相對于商用軟件MasterCAM 9.0生成的刀軌總長度和加工仿真時長分別減少了38.99%和29.87%。

(3)采用本文算法生成刀具軌跡時，不存在工件曲面形狀、環(huán)形刀具尺寸及切削形態(tài)等方面的假設，適用于任意尺寸的環(huán)形刀以及各種形狀的自由曲面刀具軌跡規(guī)劃，算法通用性好。

(4)實驗結果表明，該研究提供了一種自由曲面加工刀路規(guī)劃的方法，此方法生成的刀軌在加工自由曲面后刀具切削路徑和殘留高度分布較為均勻，既能充分地保證自由曲面的表面質量，又能提高加工效率。

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(編輯王旻玥)

ToolPathPlanningAlgorithmofFive-axisMachiningBasedonDirectionalDistanceTheory

YIN Yexi1,2QIN Hengfeng1ZHOU Houming1

1.School of Mechanical Engineering，Xiangtan University，Xiangtan，Hunan，411105 2.Engineering Research Center of Complex Track Processing Technology and Equipment， Ministry of Education，Xiangtan University，Xiangtan,Hunan，411105

For the residual error problems of five-axis machining free-form surface of toroidal cutter, a tool path planning algorithm with maximum ISO-scallop due to directional distance theory was proposed based on traditional ISO-scallop algorithm. Firstly, the initial lateral spacing distance of the known cutter contact (CC) point was calculated according to differential geometry theory, and the adjacent CC point was obtained in lateral direction. And then the actual scallop height of the adjacent CC point was calculated by scallop error calculation model based on the directional distance theory. Finally, the maximum ISO-scallop of the adjacent tool path was planned through the iterative calculation. Repetitions went on until the tool paths of the whole surface were obtained. The experimental results show that compared with the commercial software MasterCAM 9.0, the algorithm may greatly reduce total length of tool paths while ensuring the quality of surface machining, and improving the processing efficiency.

toroidal cutter; free-form surface; maximum ISO-scallop; directional distance theory; tool path planning

TG659

10.3969/j.issn.1004-132X.2017.22.006

2017-05-03

國家自然科學基金資助項目(51375418)；湖南省自然科學基金資助項目(2017JJ4038)

尹業(yè)熙，男，1990年生。湘潭大學機械工程學院碩士研究生。主要研究方向為數控系統(tǒng)軌跡規(guī)劃。秦衡峰(通信作者)，男，1973年生。湘潭大學機械工程學院副教授。E-mail: qinhfxtu@sina.cn。周后明，男，1970年生。湘潭大學機械工程學院教授。