吳鳳和 李永欣 李樹枝 李少輝

燕山大學機械工程學院，秦皇島，066004

基于靈敏度權重的雙擺角銑頭傳動精度定量分配

吳鳳和 李永欣 李樹枝 李少輝

燕山大學機械工程學院，秦皇島，066004

針對基于行星減速機構的雙擺角銑頭傳動部分結構復雜，傳動誤差影響因素眾多，導致傳動精度分配困難的問題，提出了一種靈敏度計算與加權分配相結合的傳動精度定量分配方法。首先建立雙擺角銑頭傳動鏈的誤差模型，根據(jù)其定位精度要求和傳動誤差分析結果確定總傳動誤差允許值；然后根據(jù)各傳動誤差項對總傳動誤差影響的靈敏度值，篩選出對傳動精度影響較大的誤差項，并對其靈敏度值進行歸一化處理；最后對較大誤差項進行加權分配，得到符合精度設計要求的16種精度分配方案，進而選出滿足經(jīng)濟性要求的方案。該方法推導過程物理意義明確，操作性強，可避免低靈敏度誤差項對精度分配的干擾，提高了精度分配效率，對多誤差復雜系統(tǒng)的精度優(yōu)化分配具有指導意義。

精度分配；雙擺角銑頭；靈敏度權重；比例加權方法

0 引言

大扭矩雙擺角銑頭作為重型五軸聯(lián)動數(shù)控機床實現(xiàn)五軸加工的關鍵部件，主要用于實現(xiàn)航空發(fā)動機箱體、大型水輪機葉片、船用螺旋槳等大尺寸復雜曲面形狀的鈦合金、不銹鋼零件的高效、高精度加工[1-2]。

基于行星減速機構的A/C雙擺角銑頭[3]，其A軸與C軸均采用NN型少齒差行星減速機構與一對圓柱齒輪串聯(lián)的形式來實現(xiàn)A軸與C軸的轉(zhuǎn)動功能。該傳動形式具有結構緊湊、傳動比大、傳動效率高、承載能力強以及運行平穩(wěn)的特點，適合于重載切削工況[4]。作為精密傳動部件，雙擺角銑頭的A軸和C軸定位誤差要求不超過10″，然而受結構尺寸、零部件制造成本的限制，保證其傳動精度有一定難度。設計過程中倘若通過提高每個零件的精度來控制系統(tǒng)總精度，不僅設計效率低下，而且會增加技術難度、提高成本。傳統(tǒng)的精度設計主要采用類比、試湊、修正等經(jīng)驗分析法來實現(xiàn)精度分配，這種方法過分依賴于設計經(jīng)驗，準確度低、設計周期長、耗費大。針對傳統(tǒng)方法在設計效率上的不足，尚磊云等[5]采用蒙特卡洛方法對每個部件的誤差范圍進行抽樣取值，得到導彈制導設備的精度分配方案；KUMAR等[6]利用拉格朗日乘子法在最小成本基礎上進行制造誤差和設計誤差的分配。然而以上兩種方法在獲取各分系統(tǒng)成本函數(shù)時存在一定的難度，難以實現(xiàn)復雜傳動系統(tǒng)的精度分配，且其分配方法復雜，可操作性一般。為降低多誤差系統(tǒng)精度設計的難度，CHEN等[7]基于累積誤差模型對五軸機床進行靈敏度分析，得到不同誤差項的靈敏度值；CHENG等[8]基于多體理論和靈敏度分析，實現(xiàn)了機床關鍵幾何誤差識別；ZHANG等[9]利用乘法尺寸縮減法完成了CNC機床的靈敏度分析。然而上述研究僅給出了多誤差系統(tǒng)的簡化原則，未能提出合理的精度分配方法。余治民等[10]則提出基于可靠性靈敏度分析的精度設計方法，以精度均衡和可靠度最優(yōu)為目標對數(shù)控龍門導軌進行精度分配；HUANG等[11]提出了基于誤差預測的復雜機床結構精度分配方法；王海艷等[12]基于誤差靈敏度分析，分別采用改進的統(tǒng)計方法和遺傳算法對螺旋銑孔主軸系統(tǒng)進行精度分配；金增楠等[13]通過構造靈敏度系數(shù)、誤差項、總誤差間的一維關系式，基于遺傳算法進行精度分配；呂程等[14]基于多體運動理論和JSS矩陣實現(xiàn)了裝配誤差的精度分配；ZUO等[15]基于分級靈敏度分析，結合多目標優(yōu)化得到了成本較小的加工誤差組合。然而上述方法的計算過程復雜，且未給出各誤差的定量分配方法。

作為五軸數(shù)控加工精度的重要保障，A/C雙擺角銑頭A軸和C軸的轉(zhuǎn)角定位精度要求很高，其傳動系統(tǒng)屬于典型的誤差影響度不明的復雜系統(tǒng)，且其傳動誤差影響因素眾多，僅子傳動系統(tǒng)就含19項傳動誤差。由于各誤差項對傳動系統(tǒng)精度的影響程度不同，精度控制實現(xiàn)的難易程度也不同，為避免在制造和裝配中造成不必要的設備、資源等生產(chǎn)成本的提高，在設計過程中必須對各組成零部件進行合理的精度分配。

為保證雙擺角銑頭這種典型多誤差復雜系統(tǒng)的精度設計效率和合理性，本文提出靈敏度分析與歸一化加權相結合的傳動精度定量分配方法,通過各分誤差項對總傳動誤差的靈敏度分析，篩選出靈敏度值小的誤差項，并將其誤差值直接取為各取值范圍的中間值；靈敏度值較大的誤差項則根據(jù)靈敏度的歸一化加權處理結果按權重比例進行分配，最終實現(xiàn)雙擺角銑頭傳動精度的定量分配。

1 雙擺角銑頭傳動誤差建模

1.1雙擺角銑頭誤差源分析

由于A軸與C軸均采用少齒差行星減速機構，其傳動原理相同(圖1)，只是傳動參數(shù)有所區(qū)別，因此本文以A軸為例進行雙擺角銑頭傳動精度設計。

1.殼體 2.轉(zhuǎn)臺軸承 3.A軸傳動鏈 4.A軸電機 5.叉形體 6.A軸組件 7.銑頭主軸 8.主軸傳動鏈 9.C軸傳動鏈 10.C軸電機 11.傳動軸圖1 基于少齒差行星減速機構的A/C雙擺角銑頭傳動原理圖Fig.1 Transmission diagram of A/C biaxial rotary milling head based on planetary gear reducer with few tooth difference

圖2為A軸傳動原理圖。在雙擺角銑頭A軸傳動系統(tǒng)中，內(nèi)齒輪5固定在擺角銑頭的殼體之上，外齒輪4、13組成雙聯(lián)齒輪安裝在偏心軸3之上，分別與內(nèi)齒輪5、9相嚙合，組成行星減速機構；外齒輪10與內(nèi)齒輪9的軸端通過鍵連接，并與外齒輪8相嚙合；A軸傳動系統(tǒng)由伺服電機驅(qū)動，通過行星減速機構實現(xiàn)A軸6的擺動。

1.深溝球軸承1 2.伺服電機 3.偏心軸 4.外齒輪a 5.內(nèi)齒輪b 6.A軸 7.交叉滾子軸承4 8.外齒輪f 9.內(nèi)齒輪d 10.外齒輪e 11.角接觸軸承3 12.深溝球軸承2 13.外齒輪c圖2 A軸傳動原理圖Fig.2 Transmission diagram of A axis

由于采用齒輪傳動，雙擺角銑頭的定位誤差主要來源于各零部件的傳動誤差與加工時的變形誤差。其中，由熱、力變形引起的變形誤差屬于系統(tǒng)誤差，可以通過后期的標定與補償將殘留誤差值控制在極小的范圍內(nèi)，因此可從總誤差中預留一定比例作為熱、力變形的誤差值;而雙擺角銑頭的A軸傳動誤差是各傳動件傳動誤差的綜合，各齒輪、軸、軸承等的制造和裝配誤差屬于隨機誤差，其大小和方向很難確定，成為影響雙擺角銑頭定位精度的主要因素。因此，為保證A軸系統(tǒng)具有足夠的定位精度，需在設計階段進行精度分配。

由于A/C軸雙擺銑頭的定位精度要求10″，當采用閉環(huán)伺服控制時，其定位精度比采用開環(huán)伺服控制時的精度高一個數(shù)量級[16]，因此A/C軸機械傳動部分的定位誤差允許值為100″。在進行加工時，熱誤差占總誤差的40%～70%，經(jīng)過補償后可以減小60%左右，即熱誤差在補償后占總誤差的16%～28%[17-18]，除去該部分的誤差值，系統(tǒng)總的傳動誤差允許值為72″～84″。

1.2傳動誤差模型建立

為定量表示擺角銑頭的傳動誤差，需建立各誤差源數(shù)學模型。影響雙擺角銑頭傳動誤差的因素主要有零件的制造誤差、齒輪與軸的配合誤差、軸的徑向跳動誤差、軸承徑向游隙、偏心軸的偏心量等。根據(jù)傳動誤差的計算公式[19]，A軸傳動系統(tǒng)的傳動誤差φA為

(1)

(2)

(4)

由于雙擺角銑頭的A軸傳動誤差是包含19個誤差項的函數(shù)，在精度分配時，若考慮所有的誤差項，不僅會增加求解難度、降低設計效率，而且很難對誤差進行合理分配，分配結果也無法滿足成本低、精度均衡的要求。

2 各誤差項敏感權重分析

2.1靈敏度計算的整體思路

2.2靈敏度數(shù)學描述與誤差項賦值

傳動誤差的靈敏度可用來表示各誤差項對總傳動誤差的敏感程度，其絕對值越大，表明其敏感程度越大。傳動誤差的靈敏度定義為：系統(tǒng)的傳動誤差對各影響因素(如雙擺角銑頭零件的制造誤差、裝配誤差等)的變化率。以每一個誤差項xi作為自變量，總傳動誤差φA作為因變量，有靈敏度ε的表達式：

(5)

式中，xi為第i個誤差項。

靈敏度值越高，其誤差項的取值對總傳動誤差的影響程度就越大。為均衡各誤差項對總傳動誤差的影響程度，靈敏度值越小的誤差項可賦予的最終值就越大；而靈敏度值大的誤差項，由于其對總傳動誤差較敏感，其最終誤差必須合理設定。

以齒輪a切向綜合精度分配為例(其余18項誤差取各自取值范圍的初始值或者中間值)，則齒輪a的切向綜合誤差靈敏度公式為

(6)

綜合雙擺角銑頭使用工況、傳動功率、圓周速度等技術條件，A軸外齒輪取4～5級精度，內(nèi)齒輪取5～6級精度；齒輪孔與軸的配合為H6/k5、H6/m5；軸承軸向游隙為0～22 μm ；軸承精度為4級，軸的徑向跳動為0～16 μm；偏心軸的位置精度為IT6～IT7級。根據(jù)式(1) ～式(6)，可得A軸各傳動誤差項的靈敏度值(表1)，其標準差為0.1142 μm。

表1 A軸傳動誤差項的初始值及靈敏度分析結果

圖4 不同誤差項靈敏度值Fig.4 Sensitivity values of different error terms

由表1與圖4可以看出，最后3項誤差的靈敏度值較小，即提高該3項誤差對應的精度，對系統(tǒng)總傳動精度的提高貢獻不大，因此，在精度設計時，將這3項誤差取為其取值范圍內(nèi)的任何值均不會對傳動精度造成明顯影響；而剩余誤差項靈敏度數(shù)值較大，其誤差值的大小對總傳動誤差的影響較大，因此，需要對其進行精度分配，以滿足總傳動精度分配的合理性與均衡性要求。

3 較大誤差項的精度定量分配

3.1較大誤差項的取值范圍分析

3.2靈敏度權重的歸一化處理

為反映不同誤差項間的相互作用，本文對剩余誤差項(軸孔配合誤差Rd、Re、Rf和軸承徑向游隙S3)的靈敏度值進行加權處理，使其總影響度為1，并根據(jù)原始靈敏度值求各靈敏度的加權平均值。構造加權平均值和歸一化靈敏度分別如下：

(7)

(8)

根據(jù)式(7)、式(8)可得到除各切向綜合誤差之外的剩余誤差項(軸孔配合誤差Rd、Re、Rf和軸承徑向游隙S3)的加權靈敏度值及歸一化靈敏度值，如表2所示。

表2 剩余誤差的加權靈敏度值

3.3基于靈敏度權重的精度定量分配

在已知各切向綜合誤差取值的前提下，其余3項誤差的取值可按照歸一化后的加權靈敏度值進行分配。則非待分配誤差的目標值為

φ′=f(x4,x5,…,x8,x10,…x18,x19)

(9)

為保證設計的精確性，將總誤差值不超過72″作為精度分配的限制條件，則待分配誤差項的誤差分配值表示為

Δi=(72″-φ′)λε″i

(10)

式中，φ′為已確定的各靈敏度較小的誤差項之和；λ為權重系數(shù)。

經(jīng)試運算發(fā)現(xiàn)，權重系數(shù)隨各切向誤差取值不同而變化，誤差等級越高，λ值越小，故構造各誤差項值與權重的關系式，使其滿足誤差值越大、權重系數(shù)越大的規(guī)律，可令

λ=lb+η(q-L)/d

(11)

式中，lb為權重系數(shù)的下限值；η為權重系數(shù)區(qū)間長度；q為此時的4個切向誤差之和；L為4項切向誤差的下限值之和；d為4項切向誤差上限和與下限和之差。

實際總誤差為

φA=f(Δ1,Δ2,Δ3,Δ9,x4,x5,…,x8,x10,x11,…,x19)

(12)

由表3可以看出，隨著各齒輪切向綜合誤差值的增大，即齒輪制造精度的降低，各配合誤差的數(shù)值減小，軸承的徑向游隙減小，即安裝精度要求提高。但是，當齒輪c、d、e、f均采用4級精度時，其軸孔配合誤差的分配值Rd、Re、Rf僅分別比齒輪c、d、e、f均采用5級時高6 μm、7 μm、6 μm，軸承徑向游隙僅高8 μm。當齒輪d、e、f的安裝孔徑分別為50 mm、64 mm和100 mm時，方案1至方案16的分配結果均滿足軸孔配合H6/k5或H6/m5的配合要求，而軸承徑向游隙可通過外部預緊力的方式調(diào)整至所需大小。由于提高齒輪精度等級所消耗的成本遠遠高于提高軸承配合精度等級時的情況，因此，綜合考慮各分配方案的實際誤差與其各項靈敏度貼合程度，以及工件加工時的成本問題，第16種方案是雙擺角銑頭精度設計的最佳方案。

表3 A軸精度分配結果

此時的各誤差項實際靈敏度值如圖5所示。同時，表3的結果也說明，前文所提的權重計算式是可行的，但16種分配方案中仍存在多個權重系數(shù)相同、實際誤差值差別較大的情況，說明令權重呈線性變化還不夠準確，可能還與每項切向誤差的靈敏度有關。對比圖4和圖5可知，經(jīng)過誤差分配后，有多項誤差的靈敏度數(shù)值明顯下降，其中原本數(shù)值最高的4項誤差的靈敏度減小明顯，證明了所用精度分配方法的合理性；原本靈敏度值較大的8項待分配誤差，經(jīng)分配后有6項的靈敏度值基本相同，說明此時的各項誤差對系統(tǒng)總體誤差的影響程度非常接近，系統(tǒng)各部分的精度設置更為合理。盡管分配后有2項誤差的靈敏度值明顯增大，但這是在誤差分配時忽略了靈敏度較小值及減少了待分配誤差項個數(shù)所致，由系統(tǒng)簡化產(chǎn)生，不影響所提精度定量分配方法的正確性與可行性。

圖5 誤差分配后的各項靈敏度值Fig.5 Sensitivity values after accuracy distribution

4 結論

(1)在建立雙擺角銑頭傳動誤差模型的基礎上，基于各誤差項對總傳動誤差的靈敏度值，提出歸一化加權的精度分配方法，有效避免了低影響度誤差項對精度分配的干擾，在滿足傳動精度要求前提下，得到16種精度分配方案，不僅降低了精度設計難度，還提高了精度設計效率。

(2)利用歸一化分析和加權處理方法，構建各誤差項靈敏度值與分配誤差間的函數(shù)關系，簡化了精度分配流程，實現(xiàn)了傳動誤差的定量比例分配。

(3)實現(xiàn)了雙擺角銑頭A軸精度設計，結合成本分析得出了較經(jīng)濟的精度分配方案，為雙擺角銑頭的合理設計奠定了基礎，對多誤差復雜系統(tǒng)的精度優(yōu)化分配具有指導意義。

[1] YANG Q D，LIU G Q，WANG K S H. Dynamics Analysis of Special Structure of Milling-head Machine tool[J].Chinese Journal of Mechanical Engineering, 2008,21 (6):103-107.

[2] HU S W, YANG Q D，PENG B Y，et al. Direct-drive Bi-Rotary Milling Head Variable Load Thermal Characteristics Analysis[J]. AASRI Procedia，2012(3)：270-276.

[3] 吳鳳和, 李樹枝, 李少輝,等. 行星齒輪傳動式A/C雙擺角銑頭: 中國，CN201510564197.6[P]. 2015-11-25.

WU Fenghe, LI Shuzhi, LI Shaohui, et al. Planetary Gear Transmission Type A/C Double-swing-angle Milling Head: China, CN201510564197.6 [P]. 2015-11-25.

[4] CHEN E P，LI S H，WU F H. Structure Design of Biaxial Rotary Milling Head with High-torque, High-precision and Mechanical Spindle[J]. Key Engineering Materials，2014，621：337-345.

[5] 尚磊云, 唐碩. 基于方差分析的Monte-Carlo制導精度分配方法研究[J]. 飛行力學，2009，27(3):93-96.

SHANG Leiyun, TANG Shuo. Research on the Guidance Precision Distribution Method Based on the Variance Analysis[J]. Flight Dynamics, 2009, 27(3): 93-96.

[6] KUMAR M S, STALIN B. Optimum Tolerance Synthesis for Complex Assembly with Alternative Process Selection Using Lagrange Multiplier Method[J]. The International Journal of Advanced Manufacturing Technology,2009，44(3/4):405-411.

[7] CHEN G D, LIANG Y C , SUN Y Z,et al.Volumetric Error Modeling and Sensitivity Analysis for Designing a Five-axis Ultra-precision Machine Tool[J].The International Journal of Advanced Manufacturing Technology,2013,68 (9):2525-2534.

[8] CHENG Q, ZHAO H W, ZHANG G J,et al. An Analytical Approach for Crucial Geometric Errors Identification of Multi-axis Machine Tool Based on Global Sensitivity Analysis[J]. The International Journal of Advanced Manufacturing Technology, 2014,75(1):107-121.

[9] ZHANG X F, ZHANG Y M, MAHESH D P. Global Sensitivity Analysis of a CNC Machine Tool: Application of MDRM[J].The International Journal of Advanced Manufacturing Technology, 2015,81(1):159-169.

[10] 余治民, 劉子建, 艾彥迪,等. 大型數(shù)控龍門導軌磨床幾何誤差建模與基于可靠性理論的精度分配[J]. 機械工程學報,2013, 49(17):142-151.

YU Zhimin, LIU Zijian, AI Yandi, et al. Geometric Error Model and Precision Distribution Based on Refiabifity Theory for Large CNC Gantry Guideway Grinder[J]. Journal of Mechanical Engineering, 2013,49(17):142-151.

[11] HUANG Q, ZHANG G B. Precision Design for Machine Tool Based on Error Prediction[J].Chinese Journal of Mechanical Engineering, 2013，26(1):151-157.

[12] 王海艷, 秦旭達. 螺旋銑孔主軸單元的精度分配[J]. 中國機械工程,2014, 25(20):2729-2734.

WANG Haiyan, QIN Xuda. Tolerance Allocation of a Helical Milling Spindle Unit[J]. China Mechanical Engineering, 2014, 25(20): 2729-2734.

[13] 金增楠, 王軍, 吳文嘉, 等.基于遺傳算法與靈敏度分析的誤差分配方法研究[J].組合機床與自動化加工技術，2015(6):44-48.

JIN Zengnan, WANG Jun, WU Wenjia, et al. Research on Method of Error Distribution Based on Genetic Algorithm and Sensitivity Analysis[J]. Modular Machine Tool amp; Automatic Manufacturing Technique, 2015(6):44-48.

[14] 呂程,劉子建. 基于JSS矩陣的裝配精度分配方法[J]. 中國機械工程,2016,27(2):149-155.

LYU Cheng, LIU Zijian. Assembly Accuracy Allocation Method Based Oil JSS Matrix[J]. China Mechanical Engineering, 2016, 27(2): 149-155.

[15] ZUO X Y, LI B Z, YANG J G. Error Sensitivity Analysis and Precision Distribution for Multi-operation Machining Processes Based on Error PropagationModel[J]. The International Journal of Advanced Manufacturing Technology, 2016,86(1):269-280.

[16] WU S M, NI J. Precision Machining without Precise Machinery[J].Annals of the CIRP,1989,38 (1):533-536.

[17] WECK M, MCKEOWN P, BONSE R,et al. Reduction and Compensation of Thermal Errors in Machine Tools[J]. Annals of the CIRP, 1995,44 (2): 589-598.

[18] 崔崗衛(wèi), 高棟, 姚英學. 重型數(shù)控機床熱誤差的分離與建模[J]. 哈爾濱工業(yè)大學學報，2012，44 (9)：51-56.

CUI Gangwei, GAO Dong, YAO Yingxue.Thermal Error Separating and Modeling for Heavy-duty CNC Machine Tools[J]. Journal of Harbin Institute of Technology, 2012,44(9): 51-56.

[19] 李西建.大扭矩高精度大傳動比傳動系統(tǒng)精度分析和設計仿真[D]. 秦皇島：燕山大學, 2004.

LI Xijian. Precision Analysis and Design Simulation of Drive System with High Torque High Precision and Large Transmission Ratio[D]. Qinhuangdao: Yanshan University, 2004.

(編輯蘇衛(wèi)國)

TransmissionAccuracyQuantitativeDistributionofBiaxialRotaryMillingHeadsBasedonSensitivityWeights

WU Fenghe LI Yongxin LI Shuzhi LI Shaohui

College of Mechanical Engineering,Yanshan University，Qinhuangdao,Hebei，066004

A biaxial rotary milling head with planetary gear reducer possessed complicated transmission systems and multiple transmission errors, which might cause difficulties in the transmission accuracy distribution. A new method of accuracy quantitative distribution was proposed based on sensitivity analysis and proportional weight method. Firstly, the transmission chain error model of the biaxial rotary milling heads was established and the total transmission errors were determined by the positioning accuracy requirements and transmission error analysis. Then, the errors which had greater influence on the transmission accuracy were filtered by sensitivity values. At last, the normalized weighted method was applied to distribute proportionally the errors with larger sensitivity to meet the requirements of accuracy design. And sixteen feasible error distribution schemes were gotten. The method has clear physical expression, high maneuverability and improves the accuracy design efficiency, which may lay a foundation for the accuracy distribution of the complex systems with multiple error factors.

accuracy distribution; biaxial rotary milling head; weight of sensitivity; proportional weight method

TP202.2；TH115

10.3969/j.issn.1004-132X.2017.22.005

2016-08-24

國家自然科學基金資助項目 (51405427)；國家科技重大專項 (2013ZX04001-041)；河北省自然科學基金資助項目(E2017203372)；內(nèi)燃機可靠性國家重點實驗室開放課題(skler-201701)

吳鳳和，男，1968年生。燕山大學機械工程學院教授、博士研究生導師。主要研究方向為數(shù)字化設計與制造。授權發(fā)明專利3項。發(fā)表論文60余篇。E-mail:risingwu@ysu.edu.cn。李永欣，女，1984年生。燕山大學機械工程學院講師。李樹枝，男，1990年生。燕山大學機械工程學院碩士研究生。李少輝，男，1990年生。燕山大學機械工程學院碩士研究生。