石宏巖，高 亮，張 偉，李鑫陽

（1.中國(guó)科學(xué)院大學(xué)工程科學(xué)學(xué)院，北京 100049；2.赤峰學(xué)院 建筑與機(jī)械工程學(xué)院，內(nèi)蒙古 赤峰 024000）

Ra=104時(shí)方腔內(nèi)熱圓管自然對(duì)流的位置優(yōu)化

石宏巖1,2，高 亮2，張 偉2，李鑫陽2

（1.中國(guó)科學(xué)院大學(xué)工程科學(xué)學(xué)院，北京 100049；2.赤峰學(xué)院 建筑與機(jī)械工程學(xué)院，內(nèi)蒙古 赤峰 024000）

本文采用計(jì)算流體力學(xué)（CFD）的模擬方法，計(jì)算了單個(gè)熱圓管在方腔內(nèi)自然對(duì)流的換熱過程.在瑞利數(shù)Ra=104，普朗特?cái)?shù)Pr=0.7070時(shí)，對(duì)于圓管在豎直軸（Y軸）不同的位置分別得到了穩(wěn)態(tài)溫度場(chǎng)及流線場(chǎng)，同時(shí)進(jìn)行了相關(guān)的物理分析.準(zhǔn)確地給出了熱圓管的平均努塞爾數(shù)Nu隨著Y軸位置變化的經(jīng)驗(yàn)公式，進(jìn)而可以直接的計(jì)算出自然對(duì)流換熱系數(shù)，在X/D=a-7時(shí)出現(xiàn)最大的Nu，可以知道方腔內(nèi)熱圓管換熱的最佳位置，同時(shí)也可以為工業(yè)應(yīng)用提供優(yōu)化的參考價(jià)值.

自然對(duì)流；瑞利數(shù)；努塞爾數(shù)；數(shù)值模擬

自然對(duì)流是一種在熱能轉(zhuǎn)換與傳遞過程中常見的對(duì)流換熱方式，是由流體中的浮力引起的，沒有受迫速度[1].浮力是與密度成比例的物體力作用在有密度梯度的流體上而產(chǎn)生的，流體的密度與溫度有關(guān)，通常會(huì)隨著溫度的升高而降低，當(dāng)重力作用在有溫度梯度的流體上時(shí)，就會(huì)發(fā)生自然對(duì)流換熱[2].自然對(duì)流獨(dú)特的物理起因和換熱特性，再加上其流動(dòng)過程中不需要外力做功，相比于強(qiáng)迫對(duì)流更具有經(jīng)濟(jì)性，使自然對(duì)流換熱長(zhǎng)期以來一直是傳熱學(xué)研究的重點(diǎn)、熱點(diǎn)之一[2,3].大部分對(duì)流換熱需要解決的問題是找到對(duì)流換熱系數(shù)，在自然對(duì)流中Nu可以直接的反映出對(duì)流換熱系數(shù)，故而得到準(zhǔn)確Nu的關(guān)聯(lián)公式是自然對(duì)流需要解決的最基本問題，也是本文的核心點(diǎn).

在中國(guó)的北方供暖是非常普遍的現(xiàn)象，在高溫的暖通管道通入到房間后，此時(shí)將房間看為封閉腔體，而將暖通管道看為單個(gè)的熱圓管，熱圓管在房間內(nèi)的位置直接的影響房間內(nèi)的換熱情形，進(jìn)而影響人的舒適程度.在確定房間內(nèi)的最適宜供熱溫度以后，熱圓管在房間中的什么位置換熱最大就直接的影響到供暖所需熱量，從而決定熱量的供給.故而尋找房間內(nèi)換熱的最佳位置是需要解決的生活實(shí)際問題.本文將房間的實(shí)際三維模型在水平方向看為無限長(zhǎng)，其長(zhǎng)度不影響其他的兩個(gè)方向.將三維簡(jiǎn)化為二維的方腔，對(duì)單個(gè)熱圓管的位置進(jìn)行優(yōu)化，進(jìn)而得到最佳的換熱位置.

1 數(shù)理模型及計(jì)算方法

本文的模擬結(jié)構(gòu)如圖1所示，方腔的邊界長(zhǎng)度L是熱圓管直徑D的11倍，熱圓管的位置沿著Y軸變化，而變量x是自圓管上表面到方腔上邊界的距離.在模型中熱圓管表面是定溫的，即TH，周圍靜止空氣的溫度也設(shè)為一定值，即，由于流動(dòng)邊界和圓管附近的溫度不同TH＞TC，圓管附近的空氣與圓管表面存在一定的溫度梯度，在氣體的熱膨脹性下，圓管附近被加熱的空氣密度將會(huì)降低，導(dǎo)致熱空氣與遠(yuǎn)處的冷空氣之間存在一個(gè)密度梯度，進(jìn)而在空氣中產(chǎn)生浮力，空氣圍繞圓管附近發(fā)生對(duì)流傳熱[4,5].其工質(zhì)環(huán)境可以被認(rèn)為是二維、層流、穩(wěn)態(tài)、不可壓縮，流體的熱物性參數(shù)等是不依賴于溫度的獨(dú)立常量.另外，流體的熱物性參數(shù)都用膜溫TM()的值，且除Y方向動(dòng)量方程中的密度項(xiàng)外，其余變量都假設(shè)與溫度無關(guān)[2,3].在溫差較小的范圍內(nèi)，它們之間的關(guān)系可由Boussinesq近似假設(shè)[1]得到：

式中ρ是工質(zhì)的密度，ρ∞是無窮遠(yuǎn)處的密度，β是體積熱膨脹系數(shù)，在常溫情況下它的定義是：

由于流動(dòng)的溫差極小，β可以按照理想氣體方程，將其設(shè)定為β=1/TM.

圖1 模擬模型的示意圖

假設(shè)工質(zhì)是不可壓縮的，并且忽略能量方程中的粘性耗散和輻射.控制方程組的數(shù)學(xué)表達(dá)式如下所示[1-3]，

連續(xù)性方程：

X軸的動(dòng)量方程：

Y軸的動(dòng)量方程：

能量方程：

上述的控制方程中，u、v分別是x、y方向的速度，p是相對(duì)于無窮遠(yuǎn)處標(biāo)準(zhǔn)大氣壓 p∞的表壓力，▽2=?2/?x2+?2/?y2,g、?、α是重力加速度、工質(zhì)的運(yùn)動(dòng)粘度和熱擴(kuò)散系數(shù).

綜合上述數(shù)理模型及無滑移條件，設(shè)置的邊界條件[4,5]如下：

圓管表面：無滑移和定溫邊界條件：

方腔四周：無滑移和定溫邊界條件：

引入變量圓管直徑D，對(duì)上述控制方程及邊界條件中的所有變量進(jìn)行無量綱化：

帶入方程中，得到無量綱數(shù)：

瑞利數(shù)（Ra）:

其中,Gr是格拉曉夫數(shù)，代表著作用在流體上的浮力與黏性力之比，定義式為 Gr=gβΔTD3/?2；Pr=?/α.Ra是衡量自然對(duì)流傳熱強(qiáng)度不可避免的參數(shù)，通常其值越大，表明圓管周圍的流動(dòng)越劇烈，本文選擇Ra=104.

努塞爾數(shù)（Nu）：衡量對(duì)流熱傳遞速率的無量綱參數(shù).圓管表面某個(gè)點(diǎn)的Nu稱為局部努塞爾數(shù)，其定義為：

其中，h、k分別是對(duì)流換熱系數(shù)和熱導(dǎo)率，r表示熱圓管表面向外法線方向的單位法向量，θ則表示在圓管表面上的點(diǎn).將圓管表面上所有點(diǎn)的Nuθ積分求和再平均得到的就是平均努塞爾數(shù)，其定義為：

上述控制方程在CFD里通過有限體積法被離散化[5].壓力-速度耦合格式采用壓力耦合方程組的半隱式方法SIMPLE聯(lián)立求解，動(dòng)量和能量方程中的對(duì)流項(xiàng)采用二階迎風(fēng)格式進(jìn)行離散化[5,6].為了獲得更加準(zhǔn)確的結(jié)果，連續(xù)性、動(dòng)量和能量方程的收斂標(biāo)準(zhǔn)都設(shè)定為10-6.

2 計(jì)算結(jié)果及分析

2.1 結(jié)果驗(yàn)證

在自然對(duì)流的數(shù)值研究中，網(wǎng)格是影響計(jì)算結(jié)果的一個(gè)重要因素，對(duì)其合理的劃分可以得到準(zhǔn)確的結(jié)果，減小網(wǎng)格數(shù)量，提高計(jì)算效率.圖2是方腔內(nèi)熱圓管計(jì)算的網(wǎng)格示意圖，在熱圓管附近的區(qū)域，網(wǎng)格采用加密結(jié)構(gòu)網(wǎng)格，有利于精確捕獲邊界層內(nèi)的速度和溫度的變化，這是由于圓管附近的對(duì)流換熱邊界層變化劇烈.其自熱圓管表面向外輻射稀疏的網(wǎng)格，采用的網(wǎng)格膨脹比（即后一個(gè)網(wǎng)格的尺寸與前一個(gè)網(wǎng)格尺寸的比值）為1.01.需要說明的是：本文熱圓管附近兩個(gè)網(wǎng)格之間的距離δ與圓管的直徑D的比值，即為δ/D≤0.0025, 這樣就能夠保證計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性，滿足網(wǎng)格質(zhì)量不產(chǎn)生影響的基本要求[7].

圖2 方腔內(nèi)熱圓管的網(wǎng)格示意圖

表1 網(wǎng)格無關(guān)性驗(yàn)證

網(wǎng)格的數(shù)量多少是對(duì)計(jì)算結(jié)果產(chǎn)生直徑影響的因素，本文在變量a=5的時(shí)候?qū)ζ渚W(wǎng)格的無關(guān)性進(jìn)行了驗(yàn)證，如表1 所示，可以看到在最小網(wǎng)格間距δ/D≤0.0025時(shí)對(duì)結(jié)果的影響非常微小了，其主要變化參數(shù)Nu和單位面積上的熱流密度q的相對(duì)誤差全部在0.3%以內(nèi)，這充分的說明網(wǎng)格的密度已經(jīng)達(dá)到了模擬網(wǎng)格無關(guān)性驗(yàn)證的基本需求.

圖3 不同位置時(shí)溫度場(chǎng)的分布

2.2 溫度場(chǎng)分布

在分析傳熱問題的時(shí)候，借助于溫度場(chǎng)分布可以很方便的展示要研究的傳熱問題.圖3是a不同位置時(shí)溫度場(chǎng)的分布，在a的值發(fā)生變化的過程中，方腔內(nèi)部的溫度場(chǎng)也會(huì)產(chǎn)生較為明顯的變化，圖示中原點(diǎn)位置始終在方腔的中心，邊界的尺寸和溫度都進(jìn)行了無量綱處理.總體而言，在重力作用下，熱流體繞著圓管表面向下游流動(dòng)，故而在圓管的后方形成尾流.尾流會(huì)受到方腔上方邊界的影響而產(chǎn)生向兩邊的分流，進(jìn)而溫度場(chǎng)產(chǎn)生了蘑菇的形狀，其分流的影響區(qū)域隨著a的增加而增大，蘑菇扇區(qū)邊界尺寸也隨之增加.在a=1的時(shí)候，扇區(qū)尺寸邊界為3.2，在a=5的時(shí)候，扇區(qū)尺寸邊界為-1.3，而在a=8.5的時(shí)候，扇區(qū)尺寸邊界達(dá)到了-4.8.溫度的分布沿著熱圓管表面向外法線方向變厚，在熱圓管附近的區(qū)域受到熱流的影響較強(qiáng)，故而熱邊界層的梯度較大，邊界層區(qū)域較薄，而在相對(duì)于熱圓管遠(yuǎn)處的區(qū)域，熱圓管的影響較小，故而梯度小邊界層較厚.

2.3 流線場(chǎng)分布

流線分布可以展示要研究的流動(dòng)問題，圖4是a不同位置時(shí)流場(chǎng)的分布.總體而言，流動(dòng)繞著圓管表面到方腔上方邊界，受其影響而產(chǎn)生分流，在兩邊形成對(duì)稱的旋渦，其旋渦的尺寸隨著a值的變化而變化.在熱流體到達(dá)上邊界以后產(chǎn)生分流，其一分部沿著邊界流動(dòng)，由于邊界的溫度要低于熱圓管的溫度，熱圓管就會(huì)卷吸這部分溫度低的氣體形成裹夾，進(jìn)而產(chǎn)生回流，形成旋渦.在a＜7的時(shí)候，其熱圓管水平方向的上方只會(huì)形成兩個(gè)對(duì)稱的旋渦，在a≥7以后會(huì)形成多個(gè)旋渦，這是由于卷吸效應(yīng)的影響.在a=7時(shí)，其上方和下方均形成旋渦，只是流形和尺寸不同，這也是在方腔內(nèi)熱圓管最特別的位置，由于流形的差異和旋渦的數(shù)量都會(huì)影響熱圓管的換熱能力.在熱圓管附近流場(chǎng)的分布，由于密度梯度大，速度邊界層的梯度較大，邊界層區(qū)域較薄，而在相對(duì)于熱圓管遠(yuǎn)處的區(qū)域，密度梯度較小，故而速度邊界層較小.

圖4 不同位置時(shí)流場(chǎng)的分布

2.4 平均努塞爾數(shù)

Nu是衡量幾何結(jié)構(gòu)整體平均傳熱速率的一個(gè)重要參數(shù)，在實(shí)際工程的計(jì)算中通常是不可或缺的.對(duì)于工業(yè)應(yīng)用，Nu可以直接的反映出熱圓管的整體換熱能力強(qiáng)弱，在知道圓管直徑，工質(zhì)物性的時(shí)候，根據(jù)公式（11）、（12）可以得知，如果知道Nu的公式就可以得出對(duì)流換熱系數(shù)，而自然對(duì)流的核心問題就是計(jì)算出對(duì)流換熱系數(shù).本文對(duì)Ra=104，Pr=0.7070時(shí)的不同a的值進(jìn)行公式擬合，根據(jù)泰勒公式[8]，可以知道一個(gè)函數(shù)均可以用多項(xiàng)式的形式進(jìn)行表達(dá)，本文的擬合公式就將Nu擬合為多項(xiàng)式的形式，如圖5所示：

擬合公式的可決系數(shù)為0.9993，其中擬合公式與模擬數(shù)據(jù)的最大相對(duì)誤差出現(xiàn)在a=7的時(shí)候，為0.08%，可以看出擬合的公式是相當(dāng)精確的.在圖5中可以看到，a∈1-9的時(shí)候，Nu的數(shù)值先隨著a值的增大而增加，在到達(dá)最大值以后，Nu與a呈負(fù)變化關(guān)系，其最大值出現(xiàn)在7處，Nu=4.3538（按公式13最大值在6.9處，為4.3539，與7處的值非常接近，所以本文直接選擇7處的值為最大值）這也符合上文的流場(chǎng)分布的分析.

圖5 模擬的數(shù)據(jù)及擬合公式

3 結(jié)論

本文利用CFD數(shù)值模擬的方式，在，Ra=10-4，Pr=0.7070時(shí)，準(zhǔn)確的給出Nu隨著不同a值的關(guān)聯(lián)式，進(jìn)而可以得到最佳的位置和最大的對(duì)流換熱系數(shù)，為方腔內(nèi)的優(yōu)化參數(shù)提供基礎(chǔ).結(jié)果表明：

1）尾流會(huì)受到方腔上方邊界的影響而產(chǎn)生分流，溫度場(chǎng)形成蘑菇的形狀，蘑菇扇區(qū)邊界尺寸與a的值呈正相關(guān)性.

2）在a＜7時(shí)，熱圓管水平方向的上方只會(huì)形成兩個(gè)對(duì)稱的旋渦，在a≥7以后會(huì)形成多個(gè)旋渦.

3）Nu的數(shù)值隨著a值的增大先增加后減小，在7時(shí)出現(xiàn)最大值，Nu=4.3537也就是熱圓管在方腔中的最佳位置，對(duì)流換熱系數(shù)最大.

〔1〕Incropera F P,Dewitt D P,Bergman T L,et al.Fundamentals of Heat and Mass Transfer [M].Seventh ed.Indiana:John Wiley&Sons,2011:595-630.

〔2〕楊世銘,陶文銓.傳熱學(xué) [M].北京:高等教育出版社,2006.197-276.

〔3〕Holman J P.Heat Transfer[M].Tenth ed.New York:Mcgraw-Hill Education,2010:215-375.

〔4〕田麗亭,賈篤雨,閔春華.封閉方腔內(nèi)叉排管間熔融鹽自然對(duì)流換熱[J].熱能動(dòng)力工程，2017,32(4):86-92.

〔5〕Liu J,Liu H,Zhen Q,et al.Numerical investigation of the laminar natural convection heat transfer from two horizontally attached horizontal cylinders[J].International Journal of Heat and Mass Transfer,2017,104:517-532.

〔6〕陶文銓.數(shù)值傳熱學(xué)[M].西安:西安交通大學(xué)出版社,2001.

〔7〕Shyam R,Sasmal C,Chhabra R P,Natural convection heat transfer from two vertically aligned circular cylinders in power-law fluids [J].International Journal of Heat and Mass Transfer,2013,64:1127-1152.

〔8〕菲赫金哥爾茨.微積分學(xué)教程[M].北京:高等教育出版社,2006.205-220.

TK124

A

1673-260X（2017）11-0035-03

2017-08-12