仲寅生

（廣元廣播電視大學(xué)，四川 廣元 628017）

高等數(shù)學(xué)教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模的思考與探索

仲寅生

（廣元廣播電視大學(xué)，四川 廣元 628017）

高等數(shù)學(xué)是農(nóng)科與理工科的一門(mén)公共課程，且與其他專(zhuān)業(yè)有著極為密切的關(guān)聯(lián).而數(shù)學(xué)建模作為聯(lián)系高等數(shù)學(xué)理論與高等數(shù)學(xué)知識(shí)實(shí)際應(yīng)用之間的紐帶，唯有掌握數(shù)學(xué)建模的思想，才能進(jìn)一步學(xué)好高等數(shù)學(xué)，進(jìn)而促進(jìn)其他專(zhuān)業(yè)的發(fā)展.本文通過(guò)分析數(shù)學(xué)建模融入高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的具體步驟，并根據(jù)實(shí)際情況提出高中數(shù)學(xué)教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模的途徑，以便能夠全面提升高等數(shù)學(xué)課程的教學(xué)效率，幫助學(xué)生進(jìn)行拓展訓(xùn)練，有效增強(qiáng)高等學(xué)校學(xué)生的核心素養(yǎng).

高等數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)建模；實(shí)際運(yùn)用

高等數(shù)學(xué)教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的實(shí)際運(yùn)用意識(shí)與能力固然重要，但若能讓學(xué)生掌握建模的思想與方法，將能在極大程度上幫助學(xué)生理解高等數(shù)學(xué).且將建模的思想與方法融入高等數(shù)學(xué)教學(xué)中，還將有利于學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、思考問(wèn)題以及解決問(wèn)題能力的提升.因此，作為高等數(shù)學(xué)教師，在實(shí)際的教學(xué)過(guò)程中，應(yīng)注重教學(xué)與建模思想的結(jié)合，并采取有效的教學(xué)方法，以促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)綜合能力的發(fā)展.

1 在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模思想的作用

將數(shù)學(xué)建模思想融入高等數(shù)學(xué)教學(xué)中，不僅有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，促使學(xué)生積極主動(dòng)的學(xué)習(xí)與思考.還將有利于學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng)，進(jìn)而促進(jìn)學(xué)生概括、歸納、創(chuàng)新等綜合能力的發(fā)展.因此，作為高等數(shù)學(xué)教師，其在實(shí)際的教學(xué)過(guò)程中，應(yīng)對(duì)數(shù)學(xué)建模思想在高等數(shù)學(xué)中的運(yùn)用給予足夠重視，進(jìn)而積極利用數(shù)學(xué)建模思想，提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，從而確保良好的教學(xué)效果.

1.1 置身現(xiàn)實(shí)情境，激發(fā)學(xué)生的求知欲和學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)生運(yùn)用知識(shí)解決生活問(wèn)題的能力

傳統(tǒng)的高等數(shù)學(xué)教學(xué)，教師往往過(guò)于注重知識(shí)的傳授、公式的推導(dǎo)以及定理的證明.簡(jiǎn)言之，即教師的目光主要集中在了理論知識(shí)層面，其所追求的往往是嚴(yán)密的邏輯與完美的推理.而這樣的教學(xué)方式，常使學(xué)生感到難以理解，久而久之，也便失去了學(xué)習(xí)的信心.對(duì)此，數(shù)學(xué)建模思想的引進(jìn)將在一定程度上對(duì)原本的定理、概念起到有效的簡(jiǎn)化作用，繼而方便學(xué)生理解，并由此讓學(xué)生感受到高等數(shù)學(xué)的實(shí)用價(jià)值，進(jìn)而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)欲望，從而促使學(xué)生積極、主動(dòng)的展開(kāi)更深層次的探索.如針對(duì)固定起點(diǎn)最短路程的相關(guān)內(nèi)容教學(xué)，教師便可采取如下方式進(jìn)行問(wèn)題設(shè)計(jì)：最短路是一條路徑，且最短路的任一段也是最短路，現(xiàn)假設(shè)于—中只取一條最短路，則從到其余定點(diǎn)的最短路將構(gòu)成亦可以的根的數(shù).

針對(duì)以上題目，通過(guò)引進(jìn)數(shù)學(xué)建模的思想，將能讓學(xué)生觀察更為直觀、形象，繼而有利于激發(fā)學(xué)生解決問(wèn)題的欲望，相應(yīng)的也提升了學(xué)生對(duì)高等數(shù)學(xué)知識(shí)的實(shí)際運(yùn)用能力與解決問(wèn)題的能力.

1.2 提升學(xué)生概括、歸納的能力，增強(qiáng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)

無(wú)論社會(huì)或個(gè)人，要想獲得長(zhǎng)足、穩(wěn)定的發(fā)展，便必然需要不斷地創(chuàng)新.唯有創(chuàng)新才能為社會(huì)乃至個(gè)人生活增添內(nèi)動(dòng)力，進(jìn)而促進(jìn)社會(huì)或個(gè)人的發(fā)展.對(duì)此，數(shù)學(xué)模型在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用便有利于學(xué)生創(chuàng)新能力的發(fā)展，且對(duì)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)的激發(fā)亦能起到良好的促進(jìn)作用，從而確保學(xué)生的全面發(fā)展.

2 高等數(shù)學(xué)中數(shù)學(xué)建模的具體步驟

數(shù)學(xué)建模的過(guò)程，實(shí)則亦可將其視之為對(duì)實(shí)際問(wèn)題的簡(jiǎn)化或?qū)?shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的重新梳理過(guò)程.與此同時(shí)，在數(shù)學(xué)建模的牽引下，學(xué)生在收集相關(guān)數(shù)據(jù)資料時(shí)，還將有利于掌握對(duì)象固有的特征一級(jí)內(nèi)在規(guī)律，繼而通過(guò)觀察問(wèn)題的主要特征，以反映問(wèn)題真實(shí)的數(shù)量關(guān)系，從而方便利用相應(yīng)的數(shù)學(xué)方法與理論去解決問(wèn)題.

通常，數(shù)學(xué)建模的過(guò)程需歷經(jīng)準(zhǔn)備、假設(shè)、建立、求解、分析以及檢驗(yàn)等多重環(huán)節(jié).其中，模型的準(zhǔn)備是為了掌握研究對(duì)象的信息而進(jìn)行了關(guān)于問(wèn)題實(shí)際背景以及意義的調(diào)查，進(jìn)而方便利用數(shù)學(xué)思想來(lái)探索問(wèn)題的精髓，從而將數(shù)學(xué)思想貫穿于問(wèn)題的全過(guò)程，以實(shí)現(xiàn)以數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)表達(dá)問(wèn)題.對(duì)此，關(guān)于模型的假設(shè)便必然需要與數(shù)學(xué)的理論相吻合，且需照顧到數(shù)學(xué)的習(xí)慣，如此方能確保條理的清晰與準(zhǔn)確.當(dāng)然，考慮到數(shù)學(xué)模型的建立是基于假設(shè)的前提，因而針對(duì)各量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，可適當(dāng)利用數(shù)學(xué)工具來(lái)表達(dá).至于之后的求解則是利用前期所獲取的數(shù)據(jù)資料來(lái)模擬計(jì)算模型的所有參數(shù)，以進(jìn)一步明確模型的建立思路，進(jìn)而方便展開(kāi)數(shù)學(xué)上的分析.最終通過(guò)比較并分析模型分析結(jié)果與實(shí)際情形，以此來(lái)對(duì)模型的準(zhǔn)確性與合理性進(jìn)行驗(yàn)證，若兩者吻合，則需給對(duì)相應(yīng)結(jié)果的實(shí)際含義進(jìn)行解釋?zhuān)粗畡t需對(duì)假設(shè)進(jìn)行修改，使其滿(mǎn)足以上條件.

在許多領(lǐng)域中，都能見(jiàn)到數(shù)學(xué)建模的身影，如疾病的預(yù)測(cè)便是一個(gè)絕佳的典范，如針對(duì)某類(lèi)病菌感染情況的預(yù)測(cè)，首先需對(duì)該并需的危害、潛伏期以及傳播途徑等基礎(chǔ)知識(shí)進(jìn)行了解，而之后的數(shù)學(xué)建模則分別做出以下幾種假設(shè)，分別為：

（1）現(xiàn)有感染者與單位時(shí)間感染人數(shù)的比例；（2）現(xiàn)有感染者與單位時(shí)間內(nèi)痊愈人數(shù)的比例；（3）現(xiàn)有感染者與單位時(shí)間內(nèi)死亡人數(shù)比；（4）患者痊愈后不再次出現(xiàn)感染現(xiàn)象；（5）忽略自然死亡的現(xiàn)象；（6）忽略遷移現(xiàn)象.

以以上假設(shè)為基礎(chǔ)，設(shè)I(t)為t天時(shí)，病菌感染著數(shù)，b(t)為感染數(shù)，d(t)為死亡率，c(t)為治愈率，則模型的建立應(yīng)為：

根據(jù)感染此病句數(shù)據(jù)按天公布之特點(diǎn)，進(jìn)而得出I(t+1)=I(t)+r(t)I(t).至此，只需了解病菌最初的感染人數(shù)及其函數(shù)r（t），則可利用該模型進(jìn)行預(yù)測(cè).

3 數(shù)學(xué)建模思想融入高等數(shù)學(xué)教學(xué)的途徑

高等數(shù)學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的實(shí)際運(yùn)用意識(shí)與能力固然重要.但若能讓學(xué)生掌握建模的思想與方法，將能在極大程度上幫助學(xué)生理解高等數(shù)學(xué)，且將建模的思想與方法融入高等數(shù)學(xué)教學(xué)中，還將有利于學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、思考問(wèn)題以及解決問(wèn)題能力的提升.一切數(shù)學(xué)的概念與知識(shí)均是由現(xiàn)實(shí)世界所構(gòu)建的各種模型中抽象而來(lái)，因而針對(duì)數(shù)學(xué)理論與應(yīng)用，利用建模的思想將是最佳手段.對(duì)此，作為高等數(shù)學(xué)教師，其在實(shí)際的教學(xué)過(guò)程中，應(yīng)時(shí)刻滲透數(shù)學(xué)建模的思想，并注重將數(shù)學(xué)建模的思想滲透至高等數(shù)學(xué)的各個(gè)角落，包括問(wèn)題的應(yīng)用、基本概念的應(yīng)用高一級(jí)課后作業(yè)的滲透，注重教學(xué)與建模思想的結(jié)合，并采取有效的教學(xué)方法，以促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)綜合能力的發(fā)展.

3.1 在概念引入時(shí)滲透數(shù)學(xué)建模思想

眾所周知，數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，因而針對(duì)數(shù)學(xué)概念的形成過(guò)程也硬背學(xué)生所熟知，如此方有利于學(xué)生在面對(duì)生活中的實(shí)際問(wèn)題時(shí)，嘗試引進(jìn)數(shù)學(xué)相關(guān)概念，進(jìn)而從多角度去體會(huì)，以抽象出客觀事物的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而了解實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)原理，從而建立與其他領(lǐng)域之間的聯(lián)系.

例如，針對(duì)導(dǎo)數(shù)概念的引進(jìn)，教師便可首先引導(dǎo)學(xué)生就導(dǎo)致的本質(zhì)，即相對(duì)變化率的極限展開(kāi)思考，隨后通過(guò)建立與實(shí)際問(wèn)題之間的聯(lián)系，嘗試運(yùn)用數(shù)學(xué)模型，從而深化學(xué)生對(duì)導(dǎo)數(shù)本質(zhì)概念的理解.當(dāng)然，在實(shí)際的教學(xué)過(guò)程中，教師除了引用經(jīng)典例子外，還可參照實(shí)際問(wèn)題，如經(jīng)濟(jì)模型中的成本變化率、人口模型中的出生與死亡率等.通過(guò)對(duì)照實(shí)際原型，以從中篩選出有價(jià)值的數(shù)據(jù)與信息，繼而通過(guò)建立數(shù)學(xué)模型的方式來(lái)達(dá)到解決問(wèn)題的目的.

3.2 在數(shù)學(xué)應(yīng)用時(shí)體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模思想

在實(shí)際的教學(xué)過(guò)程中，為進(jìn)一步體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模的思想，教師可在學(xué)生學(xué)完每一章節(jié)的知識(shí)后，聯(lián)系實(shí)際應(yīng)用設(shè)計(jì)一些與本章內(nèi)容相關(guān)的問(wèn)題，而后要求學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型對(duì)問(wèn)題進(jìn)行合理的簡(jiǎn)化與建設(shè)，繼而求出問(wèn)題的答案.與此同時(shí)，教師還可在此前數(shù)學(xué)建模經(jīng)典范例的基礎(chǔ)上進(jìn)行適當(dāng)?shù)臄U(kuò)充，使其范圍不再局限于幾何、物理等領(lǐng)域，而是涉及更多方面，如生物、生態(tài)、交通、經(jīng)濟(jì)管理等.通過(guò)對(duì)這些實(shí)例的研究，一方面能可促使學(xué)生初步掌握建模的方法，另一方面則是有利于學(xué)生分析問(wèn)題與解決問(wèn)題能力的提升，繼而讓學(xué)生感受到高等數(shù)學(xué)于實(shí)際生活的重要作用，從而充分發(fā)揮數(shù)學(xué)的獨(dú)特魅力與價(jià)值，以激發(fā)學(xué)生的學(xué)興趣，最終確保良好的教學(xué)校規(guī).

例如，當(dāng)進(jìn)行微分方程的相關(guān)內(nèi)容教學(xué)時(shí)，教師便可將歷史上的著名問(wèn)題引進(jìn)課堂，如人口增長(zhǎng)預(yù)報(bào)模型，贗品鑒定問(wèn)題等.

3.3 在課程大作業(yè)中突出數(shù)學(xué)建模思想

在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中引進(jìn)數(shù)學(xué)建模的思想，除了要求學(xué)生要熟練掌握基本的數(shù)學(xué)概念、原理以及方法同時(shí)，還需對(duì)建模的思想與方法有相當(dāng)程度的了解，如此方能達(dá)到解決有難度實(shí)際問(wèn)題的目的，而這樣的目的僅是利用現(xiàn)有的課時(shí)還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠，因而作為高等數(shù)學(xué)教師，可充分利用課程大作業(yè)環(huán)節(jié).其中包括總結(jié)性的論文、與生活密切相關(guān)的綜合性應(yīng)用題以及數(shù)學(xué)方法的實(shí)現(xiàn)等.如此方能進(jìn)一步促進(jìn)學(xué)生綜合分析問(wèn)題以及解決問(wèn)題能力的發(fā)展，繼而增強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的實(shí)際應(yīng)用意識(shí).當(dāng)然，在課程大作業(yè)中，教師還可提出許多現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，然后要求學(xué)生從中抽象出相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，以此突出數(shù)學(xué)建模思想并提升學(xué)生的建模能力，進(jìn)而達(dá)到解決實(shí)際問(wèn)題的目的.

3.4 融入數(shù)學(xué)建模思想的教學(xué)案例

針對(duì)在高等數(shù)學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模的思想，相應(yīng)的也給任課教師提出了一定的要求.任課教師必須對(duì)相關(guān)專(zhuān)業(yè)知識(shí)了若指掌，且具備較寬的知識(shí)面，方可對(duì)學(xué)生進(jìn)行有效的指導(dǎo)，進(jìn)而讓學(xué)生感受到建模對(duì)學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的重要幫助.在實(shí)際的教學(xué)過(guò)程中，教師還應(yīng)結(jié)合各章節(jié)的具體內(nèi)容，選取其中最具代表性的案例，將數(shù)學(xué)建模的思想融入其中.

例如，針對(duì)函數(shù)極限中與“存款”相關(guān)的問(wèn)題，教師便可通過(guò)數(shù)學(xué)建模思想的引進(jìn)讓學(xué)生感受極限在生活中的實(shí)際運(yùn)用；當(dāng)學(xué)習(xí)函數(shù)的零點(diǎn)存訂立后，則可提出相應(yīng)的“登山問(wèn)題”；當(dāng)學(xué)習(xí)數(shù)列時(shí)提出“生小兔問(wèn)題”以及學(xué)習(xí)定積分后提出的“訂貨存儲(chǔ)問(wèn)題”.

在實(shí)際的教學(xué)過(guò)程中融入創(chuàng)新意識(shí)，教師具體可通過(guò)一題多解的方式，要求學(xué)生尋求新的解題思路與方法，進(jìn)而加強(qiáng)對(duì)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng).高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，遇到難解的難題是極為常見(jiàn)之事.若此時(shí)能勇于打破常規(guī)，便可能收獲意想不到的效果.如針對(duì)求極限、求不定積分的一題多解以及與最優(yōu)價(jià)格問(wèn)題相關(guān)的建模.

應(yīng)用意識(shí)的引進(jìn)，其主要目的在于通過(guò)解決一些實(shí)質(zhì)性的問(wèn)題，來(lái)讓學(xué)生感受到相關(guān)知識(shí)的具體應(yīng)用，進(jìn)而懂得運(yùn)用什么方法講課解決怎樣類(lèi)型的問(wèn)題.與通過(guò)零點(diǎn)定理便可有效解決諸如“存款”“極限”以及“登山”一類(lèi)的問(wèn)題.與此同時(shí)，應(yīng)用意識(shí)的融入還將有利于實(shí)踐意識(shí)的激發(fā)，如極限、定積分等文斗都是融入實(shí)踐意識(shí)的有效載體.

某些對(duì)生活現(xiàn)象的解釋?zhuān)蚪?jīng)過(guò)轉(zhuǎn)化后最后得以解決或證明，這便是模型化意識(shí)融入的最大幫助.與此同時(shí)，融入模型化意識(shí)，還將有利于將具體問(wèn)題符號(hào)化，進(jìn)而方便以模型化的方式進(jìn)行處理.如Fibonacci數(shù)列便可運(yùn)用模型化的思想去進(jìn)行轉(zhuǎn)化，且模型化后的結(jié)果，無(wú)論是在應(yīng)用或是推廣等各方面都更具價(jià)值性.

總之，將數(shù)學(xué)建模的思想融入高等數(shù)學(xué)教學(xué)中，不僅有利于學(xué)生的發(fā)展與提高，且對(duì)青年教師而言，亦可同等收益.因而針對(duì)數(shù)學(xué)建模思想在高等數(shù)學(xué)中的引進(jìn)應(yīng)當(dāng)因其廣大高等數(shù)學(xué)教師的廣泛重視，并在實(shí)際的教學(xué)過(guò)程中注重體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模的思想，如此方有利于學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題能力的發(fā)展，且將帶動(dòng)學(xué)科教育的共同進(jìn)步，進(jìn)而促進(jìn)教師與學(xué)生整體水平的提高.

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