于曉明，劉廣達(dá)，吳英男，趙業(yè)平，寧 靖

一種基于線性矩陣不等式的離散網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)鎮(zhèn)定方法

于曉明，劉廣達(dá)，吳英男，趙業(yè)平，寧 靖

（遼東學(xué)院機(jī)械電子工程學(xué)院，遼寧 丹東，118003）

針對(duì)網(wǎng)絡(luò)傳輸時(shí)延隨機(jī)且有界的離散網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)，選擇適當(dāng)?shù)腖yapunov-Krasovskii泛函，獲得系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定的充分條件。進(jìn)而，通過線性矩陣不等式（linear matrix inequalities，LMI）的等價(jià)變換和合理假設(shè)，推導(dǎo)出相應(yīng)的狀態(tài)反饋控制器設(shè)計(jì)方法。在結(jié)論的推導(dǎo)過程中，引入自由權(quán)矩陣，以獲得更大的網(wǎng)絡(luò)傳輸時(shí)延允許上界，降低保守性。數(shù)字仿真結(jié)果表明了該方法的正確性和有效性。

線性矩陣不等式；網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)；自由權(quán)矩陣

網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)（Networked control systems,NCSs）將通信網(wǎng)絡(luò)引入傳統(tǒng)閉環(huán)控制系統(tǒng)，在獲得成本低、模塊化、布線少和容易安裝維護(hù)等優(yōu)點(diǎn)的同時(shí)，通信網(wǎng)絡(luò)同時(shí)也為閉環(huán)控制系統(tǒng)傳感器信號(hào)和控制信號(hào)的傳輸帶來了網(wǎng)絡(luò)傳輸時(shí)延問題，造成傳感器信息和控制信號(hào)無法在當(dāng)前采樣周期被使用。網(wǎng)絡(luò)傳輸時(shí)延問題已經(jīng)成為網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)面臨的主要問題，大量文獻(xiàn)從采樣理論、網(wǎng)絡(luò)理論、信息論和時(shí)滯理論等不同角度給予了積極關(guān)注［1-3］。本文基于時(shí)滯理論，采用目前應(yīng)用比較廣泛的Lyapunov-krasovskii方法［4-8］，尋找適當(dāng)?shù)腖yapunov泛函，引入LMI和自由權(quán)矩陣，進(jìn)一步降低系統(tǒng)的保守性，獲得更大的網(wǎng)絡(luò)傳輸時(shí)延上界。

1 NCSs的數(shù)學(xué)描述

如圖1所示的一般NCSs中，線性控制對(duì)象的離散化方程為

圖1 NCSs框圖

其中，x（k）∈Rn×1是系統(tǒng)的狀態(tài)向量，u（k）∈Rm×1是系統(tǒng)的控制向量，y（k）∈Rr×1系統(tǒng)的輸出向量，w（k）∈Rp×1和 v（k）∈Rq×1分別是狀態(tài)變量測(cè)量時(shí)和輸出測(cè)量時(shí)的外部擾動(dòng)向量，A∈Rn×n是系統(tǒng)矩陣，B∈Rn×m是輸入矩陣，C∈Rr×n是輸出矩陣，E∈Rn×p和 F∈Rr×q分別是狀態(tài)變量測(cè)量時(shí)和輸出測(cè)量時(shí)的外部擾動(dòng)控制矩陣。

由于引入了通信網(wǎng)絡(luò)而產(chǎn)生有界且隨機(jī)的網(wǎng)絡(luò)傳輸時(shí)延τ，控制信號(hào)可表示為

其中，u表示控制信號(hào)，k表示采樣時(shí)刻，K表示控制律，x表示狀態(tài)變量，τ表示網(wǎng)絡(luò)傳輸時(shí)延，整個(gè)時(shí)延由三部分組成，分別是傳感器到控制器的網(wǎng)絡(luò)傳輸時(shí)延τsc、控制器到執(zhí)行器的網(wǎng)絡(luò)傳輸時(shí)延τca和控制信號(hào)的計(jì)算時(shí)延τc。將三種時(shí)延合并考慮，即網(wǎng)絡(luò)傳輸時(shí)延τ=τsc+τca+τc∈［0,τ］，τ為網(wǎng)絡(luò)傳輸時(shí)延的上界。

將控制信號(hào)(2)代入被控對(duì)象(1)，同時(shí)，由于本文僅討論NCSs的漸進(jìn)穩(wěn)定性，因此可以不考慮外部擾動(dòng)對(duì)系統(tǒng)的影響，從而，可得到離散閉環(huán)狀態(tài)反饋NCSs的一般數(shù)學(xué)模型

式(3)就是本文的研究對(duì)象，其建模過程暗含以下條件：①傳感器模塊是時(shí)間驅(qū)動(dòng)的，即傳感器模塊每隔固定的時(shí)間間隔進(jìn)行采樣；②執(zhí)行器模塊和控制器模塊是事件驅(qū)動(dòng)的，即執(zhí)行器模塊每當(dāng)接收到控制信號(hào)就立刻開始執(zhí)行控制動(dòng)作，控制器模塊每當(dāng)接收到傳感器信號(hào)就立刻開始控制量的計(jì)算；③數(shù)據(jù)能夠單包傳輸。

以下給出獲得本文結(jié)論需要用到的引理［7］。

引理：對(duì)于任意適當(dāng)維數(shù)的向量a、b和矩陣N、X、Y、Z，其中，X和Z是對(duì)稱的，若

則

3 狀態(tài)反饋網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

本節(jié)以定理的形式給出狀態(tài)反饋離散網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定的充分條件，并加以證明。

定理1：對(duì)于狀態(tài)反饋離散網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)(3)，如果存在對(duì)稱矩陣 P∈Rn×n，Q∈Rn×n，S∈Rn×n，M∈R2n×2n和 L∈Rn×n，以及非對(duì)稱矩陣 Y∈R2n×n，滿足下列矩陣不等式：

則對(duì)于任意網(wǎng)絡(luò)傳輸時(shí)延τ∈［0,τ］，離散網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)（3）是漸進(jìn)穩(wěn)定的。其中，*表示矩陣中的對(duì)稱部分，且

證明：試選擇Lyapunov泛函如下

其中，V1（k）=xτ（k）Px（k）

由給定條件 P＞0，Q＞0，S＞0，顯然有 V（k）＞0。依次計(jì)算泛函（9） 中各個(gè)部分的差分，可得

引入恒等式

則，根據(jù)上節(jié)給出的引理，可以得到如下不等式

綜合考慮等式（15） 和不等式（17），可得如下約束

再考慮對(duì)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型(3)進(jìn)行變形，可以得到等式如下

將式 （13）、 （18） 和 （20） 相加，可得

由Lyapunov-Krasovskii穩(wěn)定性理論可知，定理1得證。

4 狀態(tài)反饋網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)鎮(zhèn)定策略

當(dāng)控制矩陣K已知時(shí)，定理1中涉及的矩陣不等式都是LMI。此時(shí)，利用定理1，通過觀察相應(yīng)的LMI是否成立，可以容易地確定系統(tǒng)是否是漸進(jìn)穩(wěn)定的。但是，當(dāng)一個(gè)已知的離散NCSs的控制對(duì)象需要求取一個(gè)控制器，使該系統(tǒng)是漸進(jìn)穩(wěn)定的，通過定理1便無法滿足要求了。因?yàn)楫?dāng)控制矩陣K未知時(shí)，矩陣不等式（8） 不再是LMI，而成為雙線性矩陣不等式（bilinear matrix inequalities，BMI）。

為了解決了離散NCSs控制器的求取問題，對(duì)定理1中LMI的矩陣關(guān)系進(jìn)行強(qiáng)制假設(shè)，將BMI轉(zhuǎn)化為L(zhǎng)MI，以下提出定理2并加以證明。

定理2：對(duì)于狀態(tài)反饋離散網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)（3），如果存在對(duì)稱矩陣∈Rn×n，∈Rn×n，∈Rn×n，∈R2n×2n和，∈Rn×n以及非對(duì)稱矩陣∈R2n×n，滿足下列矩陣不等式：

證明：當(dāng)式（25） 成立時(shí)，對(duì)定理1中的矩陣不等式（4） 至（6） 左右兩側(cè)同時(shí)乘以矩陣L-1，可以得到矩陣不等式（22） 至（24），其中，

對(duì)定理1中的矩陣不等式（7） 和（8） 左右兩側(cè)同時(shí)乘以矩陣

可以得到矩陣不等式（26） 和（27），其中，

至此，定理2得證。

定理2選用了更加合理的Lyapunov-Krasovskii泛函并引入權(quán)矩陣消除無關(guān)項(xiàng)來處理控制系統(tǒng)的時(shí)滯情況，與Razumikhin方法相比，能夠明顯降低保守性。

5 數(shù)值仿真

針對(duì)被控對(duì)象（33），采用文獻(xiàn)［9］的方法設(shè)計(jì)了狀態(tài)反饋控制器［0.700 1 0］，對(duì)應(yīng)的最大網(wǎng)絡(luò)傳輸時(shí)延為3個(gè)采樣周期，沖激響應(yīng)狀態(tài)曲線仿真結(jié)果如圖2所示；文獻(xiàn)［8］設(shè)計(jì)了狀態(tài)反饋控制器［-0.163 2 0.864 7］，對(duì)應(yīng)的最大網(wǎng)絡(luò)傳輸時(shí)延為5個(gè)采樣周期，沖激響應(yīng)狀態(tài)曲線仿真結(jié)果如圖3所示。采用本文定理2設(shè)計(jì)了狀態(tài)反饋控制器［-0.001 3 -0.012 1］，對(duì)應(yīng)的最大網(wǎng)絡(luò)傳輸延時(shí)為7個(gè)采樣周期，沖激響應(yīng)狀態(tài)曲線仿真結(jié)果如圖4所示。三個(gè)仿真采用相同的網(wǎng)絡(luò)傳輸時(shí)延和相同的采樣周期（0.1 s）。從不同方法仿真結(jié)果的對(duì)比可見，應(yīng)用本文所提供的定理2設(shè)計(jì)的控制器能夠有效地提升NCSs的最大網(wǎng)絡(luò)傳輸時(shí)延上界；同時(shí)，系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能也有明顯的提升，能獲得更快的響應(yīng)時(shí)間。

圖2 文獻(xiàn)[10]設(shè)計(jì)的控制器沖激響應(yīng)狀態(tài)曲線

圖3 文獻(xiàn)[8]計(jì)的控制器沖激響應(yīng)狀態(tài)曲線

圖4 應(yīng)用本文定理2設(shè)計(jì)的控制器沖激響應(yīng)狀態(tài)曲線

6 小結(jié)

本文考慮了存在隨機(jī)且有界網(wǎng)絡(luò)傳輸時(shí)延的離散NCSs，以定理的形式給出了其漸進(jìn)穩(wěn)定的充分條件和狀態(tài)反饋控制器的設(shè)計(jì)方法。在定理的推導(dǎo)過程中，考慮了相關(guān)文獻(xiàn)的推導(dǎo)，并在泛函的選取、權(quán)矩陣的選擇等方面進(jìn)行了改進(jìn)，以提升允許的最大網(wǎng)絡(luò)傳輸時(shí)延上界，降低保守性。最后，數(shù)字仿真證明了本文所提供方法的可行性和優(yōu)越性。

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Stabilization of descrete networked control system:A linear matrix inequality based method

YU Xiao-ming,LIU Guang-da,WU Ying-nan,ZHAO Ye-ping，NING Jing
（College of mechanical and Electronic Engineering，Eastern Liaoning University，Dandong 118003，China）

For a discretenetworked control system with random and bounded network transmission delay，an appropriate Lyapunov-Krasovskii function was chosen and sufficient conditions for the asymptotic stability of the system were obtained.Furthermore，through the equivalent transformation and reasonable assumptions of linear matrix inequalities， the corresponding state feedback controller was derived.In the derivation process， free weight matrices were introduced in order to obtain wider allowable bound of network transmission delay and reducetheconservatism.The numerical simulation resultsshow that theproposed method iscorrect and effective.

linear matrix inequality；networked control system；freeweight matrix

TP273

A

1673-4939（2017）04-0271-05

10.14168/j.issn.1673-4939.2017.04.10

2017-07-14

于曉明（1979-），男，遼寧岫巖人，博士研究生，講師，研究方向：網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)。

（責(zé)任編輯：龍海波）