馬一江， 陳國平

(南京航空航天大學 機械結構力學及控制國家重點實驗室，南京 210016)

高溫下含多條裂紋簡支鋼梁的模態(tài)分析

馬一江， 陳國平

(南京航空航天大學 機械結構力學及控制國家重點實驗室，南京 210016)

基于傳遞矩陣方法，提出了一種在高溫下對含多條裂紋簡支鋼梁進行模態(tài)分析的方法。在模態(tài)分析過程中，用無質量的扭轉彈簧來等效橫向裂紋，推導出每條裂紋產生的局部柔度；通過材料力學參數的變化引入溫度模塊，考慮溫度變化在簡支梁截面產生的軸向載荷的影響，推導出含溫度參數、裂紋條數和裂紋幾何參數的整條裂紋梁傳遞矩陣。根據簡支梁的邊界條件，求解出不同溫度下含多條裂紋簡支鋼梁的固有頻率。結果表明：簡支梁橫截面上的軸向溫度載荷對固有頻率的影響非常大，不能忽略不計；溫度的升高會顯著減小裂紋簡支鋼梁的各階固有頻率；隨著裂紋相對深度的增大，裂紋簡支鋼梁第一階固有頻率和臨界溫度均逐漸降低。

高溫；溫度載荷：多裂紋；簡支鋼梁；固有頻率

近年來，由于合金鋼材料的強度較高、力學性能較好以及對環(huán)境沒有污染等特點，合金鋼結構在工程實際中的應用變得越來越廣泛。但是，鋼結構材料有一個致命的弱點就是其抗高溫性能較弱，材料的力學性能對溫度變化非常敏感。溫度變化對結構動力學特性的影響主要有以下三種形式：①溫度的變化使得結構件尺寸發(fā)生變化；②溫度的變化使得結構件內部產生溫度載荷；③溫度的變化影響結構材料的力學特性。在高溫環(huán)境下，合金鋼的力學性能會發(fā)生很大程度的劣化現象，在較短的時間內就可能達到承載極限，嚴重危及結構件的安全性。因此，在高溫下對合金鋼構件進行動態(tài)特性研究具有很高的工程應用價值。

基于Euler-Bernoulli梁理論，李清祿等[1]考慮溫度變化在簡支梁橫截面上產生軸向載荷的作用，研究了溫度變化對簡支梁固有頻率和臨界軸向力的影響。王躍興等[2]利用有限元軟件ANSYS模擬了鋁合金梁在火荷載作用下的動力學響應，考察了端部約束條件和載荷比等因素對鋁合金梁彎曲失效行為的影響。錢海等[3]采用二維熱彈性力學理論，分析了在均勻熱荷載作用下層合簡支梁的振動特性，并通過有限元方法進行驗證。李小年等[4]推導了簡支梁固有頻率關于環(huán)境溫度的公式，并以一個獨塔組合梁彎斜拉橋為例，采用有限元方法來量化溫度對復雜結構頻率的影響。于艷玲[5]利用溫度傳感器測量簡支梁截面溫度，通過動態(tài)結構測試和模態(tài)參數識別對簡支梁進行分析，建立了環(huán)境溫度變化與結構模態(tài)頻率之間的模型。上述文獻研究了環(huán)境溫度變化對簡支梁結構動力學特性的影響，研究表明溫度的升高會不同程度地降低結構件各階固有頻率。

在工程實際應用中，在高溫環(huán)境中工作的結構件很容易出現不同程度的結構損傷，并且結構損傷大多以裂紋的形式出現。而裂紋的存在會破壞結構件的強度，降低結構件工作的安全性和可靠性，因此在高溫環(huán)境中對含裂紋結構件進行動力學分析受到了廣大學者的關注。王振清等[6]忽略溫度變化在簡支梁橫截面上產生的軸向溫度載荷，研究了不同溫度下含單條裂紋簡支梁各階固有頻率的變化規(guī)律。田慶斌[7]通過有限元方法求解不同溫度下含損傷簡支梁橋的固有頻率，并剔除溫度的影響，采用BP神經網絡方法識別簡支梁橋的損傷參數。梁亞斌等[8]引入計算經濟學的協(xié)整概念來剔除外界環(huán)境溫度變化的影響，并且采用Engle-Granger兩步法準確地識別出簡支梁的損傷參數。上述文獻探討了溫度對損傷簡支梁固有頻率的影響，但是忽略了簡支梁橫截面溫度載荷的作用。對簡支梁而言，溫度變化時簡支梁結構的長度和橫截面形狀并不發(fā)生變化，而是在簡支梁橫截面上會產生軸向溫度載荷，因此溫度載荷的影響不能忽略。

本文考慮梁橫截面上溫度載荷的影響，在高溫下對含多條橫向裂紋簡支鋼梁進行模態(tài)分析。利用無質量扭轉彈簧來代替裂紋梁上每條橫向裂紋，通過局部柔度的變化來表示橫向裂紋對梁結構強度的破壞程度。同時將溫度載荷轉化為裂紋簡支鋼梁橫截面的軸向壓力，推導出整段梁含溫度和裂紋參數的傳遞矩陣。并根據簡支梁的邊界條件，求解出不同溫度下含多條裂紋簡支鋼梁的固有頻率。

1 模型建立

如圖1所示，本文的研究對象是一條含n條橫向裂紋的簡支合金鋼梁，該梁為矩形等截面梁，且各向同性。該矩形截面梁的幾何尺寸為：長度L、寬度b、高度h；裂紋梁上每條橫向裂紋的位置為xi，且每條橫向裂紋的深度為ai(i=1,2,…,n)。

圖1 多裂紋簡支鋼梁模型

用無質量的扭轉彈簧來等效每段橫向裂紋，則裂紋對梁的破壞程度可以通過柔度的變化來表示。根據虛功原理，Dimarogonas等[9]推導出每條橫向裂紋產生局部柔度的公式，則該裂紋梁上每條橫向裂紋產生的局部柔度為：

(1)

式中：αi,T為不同溫度下每條裂紋產生的局部柔度；T為溫度；ET為不同溫度下合金鋼的彈性模量；νT為不同溫度下合金鋼的泊松比；I為梁橫截面的轉動慣量；ri=ai/h為每條裂紋的相對深度；f(ri)為每條裂紋對應的局部柔度函數，文獻[9]給出了表達式如下：

(2)

由于溫度的變化，簡支梁的橫截面受到溫度載荷的作用，并且該溫度載荷可以轉化為橫截面的軸向壓力NT，李清祿等給出了溫度變化在簡支梁橫截面產生的軸向壓力表達式：

NT=ETAαsT

(3)

式中：A為裂紋梁的橫截面面積；αT為在不同溫度下合金鋼的熱膨脹系數，文獻[10]給出了合金鋼的熱膨脹系數函數表達式：

αT=(11+0.062T)×10-6m/m·°C

(4)

式中：溫度T∈[0,600 °C]。

以每條橫向裂紋作為每段梁的斷點，則整段裂紋梁被n條裂紋分為由n條無質量扭轉彈簧連接的n+1段無損傷完整梁，且每段梁的長度為Li(i=1,2,…,n+1)。假設每段完整梁均為Euler-Bernoulli梁，則在軸向壓力作用下梁的無阻尼橫向振動微分方程[11]為：

(5)

式中：xi∈[0,Li]；ρT為不同溫度下合金鋼的密度。

根據模態(tài)分析方法，式(5)為四階常系數線性齊次偏微分方程，可以通過分離變量法求解。假設每段完整梁具有如下形式的橫向固有振動：

wi(xi,t)=Wi(xi)qi(t)

(6)

將式(6)代入式(5)，可以得到以下方程組：

(7)

(8)

2 傳遞矩陣法

根據材料力學理論，Euler-Bernoulli梁橫截面上的每個狀態(tài)矢量(轉角θ，彎矩M，剪力Q)具有如下表達形式：

(9)

(10)

通過矩陣方法將方程組(10)改寫為矩陣形式：

(11)

在每段梁的右端橫截面的狀態(tài)矢量組成的力學列陣可以表示為：

(12)

同樣地通過矩陣方法，將方程組(12)改寫為矩陣形式：

(13)

式中：

將式(11)代入式(13)可以得到每段梁左右兩端力學列陣的傳遞方程：

(14)

在每條橫向裂紋位置，文獻[12]給出了軸向壓力作用下裂紋左右表面力學列陣的傳遞方程：

(15)

所以，對于含n條橫向裂紋的簡支鋼梁，右端力學列陣與左端力學列陣之間的傳遞關系為：

(16)

通常情況下，簡支梁左右兩端截面的狀態(tài)矢量中撓度和彎矩為零：

(17)

因此可以從整段裂紋梁的傳遞矩陣中推導出一個2×2的特征矩陣HSS，則含多條橫向裂紋簡支鋼梁固有頻率的求解方程為：

detHSS=0

(18)

式(18)可以求解出該裂紋梁任意階固有頻率，而每階固有頻率對應的固有振型可以通過式(8)求解出來。

3 結果與討論

如圖(1)所示，假設該含多條橫向裂紋簡支鋼梁的幾何參數為：L=1 m，h=0.06 m，b=0.02 m；該裂紋簡支鋼梁的材料為低碳合金鋼AISI1050[13]，常溫狀態(tài)下的材料參數為：E20 °C=210 GPa，ν20 °C=0.3，ρ20 °C=7 860 kg/m3。根據文獻[10]，結構鋼的材料密度和泊松比受到溫度的影響非常小，在高溫下可以用常溫下的密度值和泊松比來代替，即ρT=ρ20 °C和νT=ν20 °C；而溫度對結構鋼彈性模量的影響非常大，因此不同溫度下該低碳合金鋼的彈性模量可以用以下的公式進行求解：

ET=εE20 °C

(19)

(20)

式中：ε為不同溫度下結構鋼彈性模量的比例系數，且溫度T∈[0,600 °C]。

3.1溫度變化時無裂紋簡支鋼梁固有頻率的變化規(guī)律

假設該簡支鋼梁沒有橫向裂紋，溫度的升高導致簡支梁的尺寸發(fā)生膨脹，在簡支梁的橫截面產生軸向壓力。若該簡支梁的第一階固有頻率為零時(ω1,Tcr=0)，可以推導該簡支鋼梁的臨界溫度Tcr和臨界壓力Ncr。在不同溫度下，當考慮簡支鋼梁橫截面上的溫度載荷NT=ETAαsT和忽略溫度載荷NT=0時，該簡支鋼梁前三階固有頻率的變化規(guī)律,如圖2所示。

如圖2所示，考慮溫度載荷與忽略溫度載荷時該簡支鋼梁的前三階固有頻率均相差很大，所以溫度變化在簡支梁橫截面產生的軸向壓力不能忽略。考慮簡支鋼梁橫截面的溫度載荷時，隨著溫度的升高，該簡支鋼梁的前三階固有頻率均逐漸減小，且固有頻率減小的速度隨著溫度的升高逐漸增大。由圖2(a)可以得到溫度升高使得簡支鋼梁橫截面產生軸向壓力，當該軸向壓力隨著溫度升高達到臨界壓力Ncr=8.017 7×105N時，該簡支鋼梁第一階固有頻率迅速減小為零，此時簡支鋼梁的臨界溫度為Tcr=147.1 °C。

(a) 第一階固有頻率

(b) 第二階固有頻率

(c) 第三階固有頻率

Fig.2 Comparison of the first three orders natural frequencies of the simply supported steel beam in two cases

3.2含有不同條數裂紋時簡支鋼梁固有頻率的變化規(guī)律

假設該裂紋簡支鋼梁存在以下三種裂紋情況：

1) 該簡支鋼梁僅有一條橫向裂紋，且裂紋的幾何參數為：x1/L=0.5，a1/h=0.1。

2) 該簡支鋼梁有兩條橫向裂紋，且裂紋的幾何參數為：x1/L=0.3，a1/h=0.3；x2/L=0.5，a2/h=0.1。

3) 該簡支鋼梁有三條橫向裂紋，且裂紋的幾何參數為：x1/L=0.3，a1/h=0.3；x2/L=0.5，a2/h=0.1；x3/L=0.7，a3/h=0.3。

若每種裂紋情況的簡支鋼梁均處于臨界溫度范圍內，考慮溫度載荷時該簡支鋼梁的前三階固有頻率,如圖3所示。

(a) 第一階固有頻率

(b) 第二階固有頻率

(c) 第三階固有頻率

Fig.3 First three orders natural frequencies of the simply supported beam with different number of cracks

圖3所示為該裂紋簡支鋼梁含有不同裂紋條數時前三階固有頻率的對比圖。由圖3可以得到，隨著溫度的升高，裂紋簡支鋼梁的前三階固有頻率均逐漸減小，且減小的速度隨著溫度的升高逐漸增大。當溫度不變時，隨著裂紋條數的增加，裂紋對簡支鋼梁的破壞程度也逐漸增大，該裂紋簡支鋼梁的前三階固有頻率也逐漸減?。徊⑶也徽摿鸭y參數如何，固有頻率減小的速度隨著溫度的升高逐漸增大。由圖3(a)可以得到，隨著裂紋條數的增加，該裂紋簡支鋼梁的臨界溫度也逐漸降低。

3.3裂紋位置不同時簡支鋼梁固有頻率的變化規(guī)律

假設該裂紋簡支鋼梁僅有一條橫向裂紋，且該裂紋的相對位置和相對深度分別為為：x1/L∈[0,1]，a1/h=0.3。若溫度參數為T=0 °C,50 °C,100 °C保持不變，該裂紋簡支鋼梁的前三階固有頻率如圖4所示。

(a) 第一階固有頻率

(b) 第二階固有頻率

(c) 第三階固有頻率

由圖4可以得到，從圖形上來看，該裂紋簡支鋼梁的前三階固有頻率變化曲線關于簡支梁中點位置的橫截面是左右對稱的。當裂紋處于簡支鋼梁的中點時，該裂紋對簡支鋼梁的破壞程度最大，同時該裂紋簡支鋼梁的第一階固有頻率最小；該裂紋簡支鋼梁的第二階模態(tài)存在一個節(jié)點，并且節(jié)點位于簡支梁中點位置；該裂紋簡支鋼梁的第三階模態(tài)存在兩個節(jié)點，且節(jié)點位置如圖4(c)所示。隨著溫度地逐漸升高，該裂紋簡支鋼梁的前三階固有頻率均逐漸減小。

3.4裂紋條數對簡支鋼梁固有頻率的影響

假設該裂紋簡支鋼梁存在以下四種裂紋情況：

1) 該簡支鋼梁不含橫向裂紋。

2) 該簡支鋼梁僅有一條橫向裂紋，且裂紋的幾何參數為：x1/L=0.5，a1/h=0.3。

3) 該簡支鋼梁有兩條橫向裂紋，且裂紋的幾何參數為：x1/L=0.3，a1/h=0.3；x2/L=0.5，a2/h=0.3。

4) 該簡支鋼梁有三條橫向裂紋，且裂紋的幾何參數為：x1/L=0.3，a1/h=0.3；x2/L=0.5，a2/h=0.3；x3/L=0.7，a3/h=0.3。

若溫度T=100 °C保持不變，則四種不同裂紋情況下該簡支鋼梁前三階固有頻率如表1所示。

表1裂紋條數不同時簡支鋼梁前三階固有頻率

Tab.1Firstordernaturalfrequenciesofthesimplysupportedsteelbeamwithdifferentnumbersofcracks

Hz

如表1所示，當每條裂紋均不在各階模態(tài)節(jié)點位置時，隨著裂紋條數的增加，裂紋簡支鋼梁的前三階固有頻率逐漸減小。若簡支鋼梁僅有一條裂紋且該裂紋處于第二階模態(tài)節(jié)點，裂紋的存在對裂紋簡支鋼梁第二階固有頻率影響不大。

3.5溫度和裂紋深度不同時簡支鋼梁固有頻率的變化規(guī)律

假設該裂紋簡支鋼梁僅有一條橫向裂紋，且該裂紋的幾何參數為：x1/L=0.5、a1/h∈[0,0.5]。若溫度T∈[0,100 °C]，則溫度和裂紋深度不同時對應的裂紋簡支鋼梁前三階固有頻率變化規(guī)律,如圖5所示。

圖5所示為當裂紋相對位置不變時，不同裂紋相對深度和溫度下裂紋簡支鋼梁前三階固有頻率的變化規(guī)律。隨著溫度的降低，該裂紋簡支鋼梁的各階固有頻率均逐漸減小，并且減小的速度逐漸增大。隨著裂紋相對深度的增大，該裂紋簡支鋼梁的第一、三階固有頻率逐漸減?。挥捎诹鸭y位于簡支鋼梁的第二階模態(tài)節(jié)點上，因此，隨著裂紋相對深度的增大，該裂紋簡支鋼梁的第二階固有頻率基本保持不變。

(a) 第一階固有頻率

(b) 第二階固有頻率

(c) 第三階固有頻率

3.6裂紋深度和位置不同時簡支鋼梁固有頻率的變化規(guī)律

假設該裂紋簡支鋼梁僅有一條橫向裂紋，且該裂紋的相對位置和相對深度為：x1/L∈[0,1]，a1/h∈[0,0.5]。若溫度T=0 °C保持不變，則裂紋相對位置和相對深度不同時該裂紋簡支鋼梁前三階固有頻率的變化規(guī)律,如圖6所示。

(a) 第一階固有頻率

(b) 第二階固有頻率

(c) 第三階固有頻率

圖6所示為裂紋的相對位置和相對深度不同時該簡支鋼梁前三階固有頻率的變化規(guī)律。隨著裂紋相對深度的增大，該裂紋簡支鋼梁的前三階固有頻率逐漸減小；僅當裂紋位置處于簡支鋼梁的各階模態(tài)的節(jié)點時，該裂紋簡支鋼梁相對應階固有頻率受裂紋相對深度的影響不是很大。簡支鋼梁的第二階模態(tài)有且僅有一個節(jié)點，位于簡支梁中點位置；簡支鋼梁的第三階模態(tài)有兩個節(jié)點，從圖4(c)可以看出。

3.7裂紋深度不同時簡支鋼梁臨界溫度的變化規(guī)律

假設該裂紋簡支鋼梁存在以下三種裂紋情況：

1) 該簡支鋼梁僅有一條橫向裂紋，且裂紋的幾何參數為：x1/L=0.5，a1/h∈[0,0.5]。

2) 該簡支鋼梁有兩條橫向裂紋，且裂紋的幾何參數為：x2/L=0.3，a2/h=0.3；x1/L=0.5，a1/h∈[0,0.5]。

3) 該簡支鋼梁有三條橫向裂紋，且裂紋的幾何參數為：x2/L=0.3，a2/h=0.3；x1/L=0.5，a1/h∈[0,0.5]；x3/L=0.7，a3/h=0.3。

則三種不同裂紋情況下該裂紋簡支鋼梁臨界溫度的變化規(guī)律,如圖7所示。

圖7 不同裂紋參數對應的簡支鋼梁臨界溫度

Fig.7 Critical temperatures of the simply supported steel beam with different parameters of cracks

圖7所示為裂紋條數和相對深度不同時該裂紋簡支鋼梁臨界溫度的變化規(guī)律。隨著第一條裂紋相對深度的增大，該裂紋簡支鋼梁的臨界溫度逐漸降低，并且降低的速度逐漸增大。隨著裂紋條數的逐漸增加(裂紋對簡支鋼梁的破壞程度逐漸增大)，該簡支鋼梁的臨界溫度也逐漸降低。

4 結 論

溫度的升高引起簡支梁結構出現熱膨脹現象，在簡支梁的橫截面產生軸向壓力。在含多條裂紋簡支鋼梁的模態(tài)分析過程中，考慮到溫度變化對材料力學特性以及簡支梁橫截面載荷的影響，利用扭轉彈簧來代替橫向裂紋，并通過傳遞矩陣方法分析溫度變化對含多條裂紋簡支鋼梁模態(tài)的影響。主要得到以下結論：

(1) 溫度變化在簡支梁橫截面產生的軸向壓力對簡支鋼梁模態(tài)的影響非常大，不能忽略。隨著溫度的升高，簡支鋼梁的各階固有頻率均逐漸減小。

(2) 若裂紋不處于簡支鋼梁各階模態(tài)節(jié)點位置，隨著裂紋相對深度的逐漸增大(裂紋對簡支鋼梁破壞程度的增大)，簡支鋼梁的各階固有頻率均逐漸較小。

(3) 當裂紋簡支鋼梁僅有一條橫向裂紋時，該裂紋簡支鋼梁的各階固有頻率隨著裂紋相對位置的變化關于簡支鋼梁中點橫截面是左右對稱的。

(4) 隨著裂紋相對深度的增大，裂紋簡支鋼梁的臨界溫度也逐漸降低，并且降低的速度逐漸增大。

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Modalanalysisofasimplysupportedsteelbeamwithmutiplecracksunderhightemperature

MAYijiang,CHENGuoping

(The State Key Laboratory of Mechanics and Control for Mechanical Structures, Nanjing University of Aeronautics and Astronautics, Nanjing 210016, China)

Based on the transfer matrix method, an analytical method was proposed to conduct the modal analysis of a simply supported beam with multiple cracks under high temperature. In the modal analysis, transverse cracks were replaced by torsional springs without mass, and the local flexibility of each crack was derived. The temperature module was introduced by the change of the mechanical parameters of the structural material. Considering the axial load of the simply supported beam caused by the variation of temperature, the transfer matrix of the whole cracked beam including the temperature parameter and the number and geometric parameters of cracks was obtained. According to the boundary conditions, the natural frequencies of the simply supported steel beam with multiple cracks were calculated. The results indicate that the influence of the axial temperature load on the natural frequencies of the simply supported steel beam is rather great, and can not be ignored. The increase of the temperature can significantly decrease each order of natural frequencies of the cracked simply supported steel beam. The first order natural frequency and critical temperature of the cracked simply supported steel beam gradually decrease as the relative depth of cracks increases.

high temperature; temperature load; multiple cracks; simply supported steel beam; natural frequency

V224

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.21.009

江蘇高校優(yōu)勢學科建設工程基金(PAPD)

2016-05-03 修改稿收到日期：2016-08-18

馬一江 男，博士，1989年8月生

陳國平 男，博士，教授，博士生導師,1956年生。Email：gpchen@nuaa.edu.cn