鄒萬杰， 馬 媛， 李創(chuàng)第， 葛新廣

(廣西科技大學(xué) 土木建筑工程學(xué)院， 廣西 柳州 545006)

帶支撐Maxwell阻尼器多層隔震結(jié)構(gòu)的隨機(jī)地震響應(yīng)分析

鄒萬杰， 馬 媛， 李創(chuàng)第， 葛新廣

(廣西科技大學(xué) 土木建筑工程學(xué)院， 廣西 柳州 545006)

對隔震層附設(shè)帶支撐的五參數(shù)Maxwell阻尼器的多層基礎(chǔ)隔震結(jié)構(gòu)隨機(jī)地震響應(yīng)解析解法及平穩(wěn)響應(yīng)進(jìn)行了研究。首先將上部結(jié)構(gòu)用第一振型展開，采用帶支撐的五參數(shù)Maxwell阻尼器的積分型分析模型，用微分積分方程組實(shí)現(xiàn)對該結(jié)構(gòu)的時(shí)域非擴(kuò)階精確建模；然后采用傳遞矩陣法，直接在耗能隔震結(jié)構(gòu)原空間獲得結(jié)構(gòu)在任意激勵(lì)下的位移、速度和阻尼器的時(shí)域瞬態(tài)響應(yīng)解析表達(dá)式；最后在Kanai-Tajimi平穩(wěn)濾過白噪聲激勵(lì)下，基于該解析解，獲得了結(jié)構(gòu)的位移、速度和阻尼器受力的隨機(jī)響應(yīng)方差，并給出算例，從而建立了該多層隔震結(jié)構(gòu)在Kanai-Tajimi濾過白噪聲激勵(lì)下的隨機(jī)響應(yīng)解析分析方法。

五參數(shù)Maxwell阻尼器； 支撐； 多層隔震結(jié)構(gòu)； 傳遞矩陣法； 阻尼器受力

隔震結(jié)構(gòu)是在建筑物上部結(jié)構(gòu)與基礎(chǔ)之間設(shè)置滑移層、橡膠隔震支座等，阻止地震能量向上傳遞[1]。目前，國內(nèi)外應(yīng)用最廣泛的隔震技術(shù)是在基礎(chǔ)采用橡膠支座隔震系統(tǒng)[2]。在耗能隔震結(jié)構(gòu)體系中，阻尼器充分發(fā)揮耗能作用，消耗了輸入到結(jié)構(gòu)中的大部分地震能量，能夠有效地保護(hù)結(jié)構(gòu)主體，使其免受破壞，即，結(jié)構(gòu)的反應(yīng)會(huì)減小。因此，阻尼器的受力日益受到關(guān)注；為確保主體結(jié)構(gòu)的安全，將通過求解與分析阻尼器的受力，來確定結(jié)構(gòu)響應(yīng)的合理性。

黏彈性阻尼器是一種有效的被動(dòng)減振控制裝置[3]。Maxwell阻尼模型本構(gòu)方程簡單，易于擴(kuò)階，計(jì)算參數(shù)便于試驗(yàn)數(shù)據(jù)的擬合[4-5]。黏彈性阻尼器的力學(xué)模型可用Maxwell模型[6-11]或五參數(shù)Maxwell模型[12-14]來近似表示。

在試驗(yàn)及大量數(shù)值計(jì)算的基礎(chǔ)上，我國抗震規(guī)范通過限制最小支撐剛度來保證支撐與阻尼器串聯(lián)的復(fù)合阻尼元件發(fā)揮或接近純阻尼元件的效果[15]。為提高精度，有必要考慮有限支撐剛度的影響[16-17]。

黏彈性阻尼結(jié)構(gòu)的現(xiàn)有解析法有擴(kuò)階精確法和非擴(kuò)階近似法。擴(kuò)階精確法的不足在于擴(kuò)階方程組的物理意義不明確，變量個(gè)數(shù)劇增，計(jì)算效率低；非擴(kuò)階近似法有模態(tài)應(yīng)變能法[18]以及隨機(jī)平均法，由于采用較多近似假設(shè)，其精度及適用范圍有待提高。

考慮到傳遞矩陣法[19]無需擴(kuò)階，可直接獲得一般黏滯阻尼對稱線性定常結(jié)構(gòu)的脈沖響應(yīng)矩陣的精確解[20-21]。故本文對帶支撐的五參數(shù)Maxwell阻尼隔震結(jié)構(gòu)進(jìn)行非擴(kuò)階微分積分方程進(jìn)行建模，選擇傳遞矩陣法，獲得該耗能隔震結(jié)構(gòu)在任意激勵(lì)下的非擴(kuò)階時(shí)域瞬態(tài)響應(yīng)解析解和基于Kanai-Tajimi濾過白噪聲激勵(lì)的隨機(jī)響應(yīng)解析解。

1 運(yùn)動(dòng)方程

圖1 結(jié)構(gòu)計(jì)算簡圖

(1)

k01x01=0

(2)

(3)

式中：I0=[1，1，…，1]T，hG(t)為帶支撐修正阻尼器的松弛函數(shù)。

圖2 隔震層阻尼器計(jì)算簡圖

在被動(dòng)隔震工程中，上部多層結(jié)構(gòu)一般為經(jīng)典結(jié)構(gòu)，可將位移向量x0按上部多層結(jié)構(gòu)第一振型φ1=[φ11,φ12,…,φ1n]T及其對應(yīng)的廣義坐標(biāo)x1(t)展開，即：

x0=φ1x1(t)

(4)

令：

(5)

式中：ξ1、ω1分別為上部結(jié)構(gòu)第一振型的阻尼比和頻率；、αiβi為比例系數(shù)，i=1～n。則方程式(1)～(3)可化為帶有積分的非對稱動(dòng)力方程：

(6)

式中：

(7)

(8)

(9)

式中：kG為修正后阻尼器的平衡模量；kQ為原阻尼器的平衡模量；kp為支撐剛度；x1為按第一階振型展開后的廣義位移；xb為隔震層位移；ξ2、ω2分別為隔震層的阻尼比和頻率。

2 結(jié)構(gòu)瞬態(tài)響應(yīng)的傳遞矩陣法

2.1結(jié)構(gòu)特征值分析

(10)

令：

(11)

對式(11)取拉氏變換得：

(12)

由式(10)，得：

(13)

(14)

(15)

其中，原阻尼器hQ(t)的拉氏變換為：

(16)

通過結(jié)構(gòu)的特征方程式(17)可求出結(jié)構(gòu)的Ne個(gè)特征值sj，其中有2對共軛復(fù)特征值和w個(gè)負(fù)實(shí)特征值，w與修正阻尼器松弛函數(shù)hG(t)的拉氏變換式有關(guān)。

(17)

每個(gè)sj對應(yīng)的右、左特征向量uj、vj可由式(18)求出：

(18)

2.2傳遞矩陣解析表達(dá)式

式(17)求出的特征值sj是傳遞矩陣H(s)的極點(diǎn)，可將H(s)按其極點(diǎn)sj的殘數(shù)矩陣展開[22]，即：

(19)

(20)

式中：adj[D(s)]為D(s)的伴隨矩陣。

根據(jù)式(17)，有：

D(sj)adj[D(sj)]=adj[D(sj)]D(sj)=

Idet[D(sj)]=0

(21)

式中：I為單位矩陣。

將式(18)與式(21)比較，可得：

(22)

式中：ak，bk(k=1～2)均為常數(shù)。

令：

uj=[u1j,u2j]T

(23)

從式(22)知：伴隨矩陣adj[D(s)]的兩行元素之比相等，即：

(24)

故有：

(25)

式中：lj是比例常數(shù)；k=1～2。

將式(25)代入式(22)，得：

(26)

將式(26)代入式(20)，得：

(27)

式中：ηj為常數(shù)。

下面求ηj的表達(dá)式。由式(19)和(27)，有：

(28)

(29)

且有：

(30)

(31)

式中：θi為常數(shù)，i=1～Ne，式(30)的表達(dá)式由式(14)得出。

由式(19)和(27)，得H(s)的解析式為：

(32)

式中：常數(shù)ηj由式(30)和(31)計(jì)算。

由式(19)、(20)，得sH(s)的解析式為：

(i=1～Ne)

(33)

將式(27)代入式(33)，有：

(34)

(35)

(i=1～Ne)

(36)

將式(27)代入式(35)、(36)，有：

(37)

2.3結(jié)構(gòu)位移、速度時(shí)域響應(yīng)解析表達(dá)式

由式(13)、(32)、(34)，得：

(38)

(39)

對式(38)、(39)取拉氏逆變換，并根據(jù)式(9)，得上部結(jié)構(gòu)廣義位移、速度和隔震層位移、速度響應(yīng)解析表達(dá)式：

(40)

(41)

x0i=φ1ix1(t)

(42)

(43)

Δx0i=x0i-x0(i-1)=(φ1i-φ1(i-1))x1(t)

(44)

(45)

根據(jù)式(40)～(45)，隔震層相對地面、上部結(jié)構(gòu)各層相對隔震層的位移、速度及上部結(jié)構(gòu)各層層間位移、速度均可統(tǒng)一表示為：

z=1,2,3,4,i=0～n

(46)

2.4結(jié)構(gòu)阻尼器響應(yīng)解析表達(dá)式

由式子(12)、(13)、(37)得

(47)

對式(47)取拉氏逆變換，并根據(jù)式(9)，得：

(48)

由式(3)、(7)、(11)知，隔震層修正后的黏彈性阻尼器的響應(yīng)，為：

mbp2(t)

(49)

(50)

根據(jù)式(46)，將xb(t)表達(dá)式和式(50)，代入式(49)，得隔震層阻尼器的響應(yīng)，為：

(51)

根據(jù)以上求解的結(jié)構(gòu)位移、速度及阻尼器的響應(yīng)表達(dá)式(46)、(51)，可以看出對于一般線性黏彈性阻尼多層隔震結(jié)構(gòu)，其位移、速度、層間位移、層間速度、阻尼器受力響應(yīng)量S(t)均可統(tǒng)一表示為：

(52)

(53)

(54)

3 結(jié)構(gòu)平穩(wěn)隨機(jī)響應(yīng)解析解

3.1經(jīng)典Kanai-Tajimi過濾白噪聲激勵(lì)

(55)

(56)

q=-α+jβ

(57)

(58)

(59)

相關(guān)參數(shù)S0、ωg、ξg的具體取值可參見文獻(xiàn)[24]。

3.2結(jié)構(gòu)平穩(wěn)響應(yīng)解析解

由式(52)和式(54)，可得平穩(wěn)地震激勵(lì)下結(jié)構(gòu)響應(yīng)協(xié)方差表達(dá)式：

(60)

(61)

(62)

式中：

(63)γjk=

(64)

將式(62)代入式(60)，得此情況下結(jié)構(gòu)響應(yīng)Szi(t)的平穩(wěn)協(xié)方差表達(dá)式。

4 算 例

某八層基礎(chǔ)隔震鋼筋混凝土框架結(jié)構(gòu)，上部結(jié)構(gòu)各層質(zhì)量m01至m08分別為300×103kg、300×103kg、270×103kg、270×103kg、270×103kg、270×103kg、270×103kg、130×103kg；層間剛度k01至k08分別為400×103kN/m、350×103kN/m、350×103kN/m、350×103kN/m、350×103kN/m、350×103kN/m、350×103kN/m、250×103kN/m；僅考慮上部結(jié)構(gòu)第一振型的影響，第一振型為，φ1=[0.174,0.366,0.541,0.695,0.822,0.916,0.973,1.000]T對應(yīng)的第一頻率ω1=7.170 s-1，阻尼比ξ1=0.05。隔震層質(zhì)量和剛度分別為mb=440×103kg，kb=40×103kN/m，阻尼比取為ξ2=0.20。隔震層附設(shè)一帶支撐的五參數(shù)Maxwell阻尼器，結(jié)構(gòu)計(jì)算模型如圖1。阻尼器取值為：平衡模量kq=1.00×103kN/m，兩分支標(biāo)準(zhǔn)Maxwell阻尼器的剛度都取為：kl=8×103kN/m(l=1,2)，松弛時(shí)間的倒數(shù)μ1=μ2=10 s-1,支撐剛度kp按照以下五種工況取值0.2kb、0.4kb、0.6kb、0.8kb、kb。在經(jīng)典Kanai-Tajimi平穩(wěn)過濾白噪聲地震激勵(lì)下的參數(shù)取值為(地震烈度為I=8度)：S0=0.013 87 m2/s3，ωg=16.5 s-1，ξg=0.8。

表1、表2分別給出了該8層隔震耗能結(jié)構(gòu)在支撐剛度取五種不同工況下以及在相同參數(shù)下，阻尼器不加支撐和隔震層無阻尼器結(jié)構(gòu)各樓層相對于地面的位移、速度響應(yīng)方差，相對應(yīng)的圖形如圖3、4所示；阻尼器的受力響應(yīng)方差如表3所示。

表1 結(jié)構(gòu)各層位移方差

表2 結(jié)構(gòu)各層速度方差

表3 阻尼器受力響應(yīng)方差

圖3 Kanai-Tajimi譜下的位移方差

圖4 Kanai-Tajimi譜下的速度方差

由表1、表2數(shù)據(jù)可看出在隔震層設(shè)置了阻尼器之后結(jié)構(gòu)的位移和速度響應(yīng)方差相對于無阻尼結(jié)構(gòu)均減小了，且最大減小比例在隔震層處；由此可見，在隔震層設(shè)置阻尼器可有效抑制隔震層的地震響應(yīng)。由表3數(shù)據(jù)可得隨著支撐剛度的增加，阻尼器的受力也隨之逐漸變大，也就是說，通過增加支撐剛度來增大阻尼器的受力可以減小結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)，有效提高結(jié)構(gòu)的耗能減震性能；算例表明，帶支撐的阻尼器結(jié)構(gòu)隨著支撐剛度的無限增大，結(jié)構(gòu)的位移、速度及阻尼器響應(yīng)方差將無限逼近于不帶支撐的阻尼器結(jié)構(gòu)；而且，由圖3、圖4可直觀看出，支撐剛度越大，各樓層相對地面的位移和速度響應(yīng)方差越小，且均小于無阻尼結(jié)構(gòu)的位移和速度響應(yīng)方差，說明增加支撐剛度對提高結(jié)構(gòu)的耗能減震效果有良好的作用。

5 結(jié) 論

本文對帶支撐五參數(shù)Maxwell阻尼多層隔震結(jié)構(gòu)在Kanai-Tajimi濾過白噪聲激勵(lì)下的平穩(wěn)響應(yīng)進(jìn)行了研究。首先用第一振型展開，利用帶支撐黏彈性阻尼的積分型分析模型建立了時(shí)域非擴(kuò)階精確建模，然后運(yùn)用傳遞矩陣法獲得了結(jié)構(gòu)的位移、速度以及阻尼器的響應(yīng)方差的解析解。計(jì)算結(jié)果比應(yīng)用模態(tài)應(yīng)變能和隨機(jī)平均法等近似方法計(jì)算結(jié)果更為精確。算例分析還表明，支撐剛度對結(jié)構(gòu)減震效果有著明顯的影響，因此考慮支撐剛度更加符合工程實(shí)際情況。由于本文所得結(jié)構(gòu)及阻尼器響應(yīng)為解析解，因此可以更加方便地為隔震結(jié)構(gòu)的隔震層參數(shù)、阻尼器及支撐剛度等參數(shù)的優(yōu)化提供依據(jù)，更加有利于工程應(yīng)用。

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Randomseismicresponsesofmulti-layervibrationisolationstructuresmountedwithsupporterattachedMaxwelldampers

ZOUWanjie，MAYuan，LIChuangdi，GEXinguang

(Department of Civil Engineering, Guangxi University of Science and Technology, Liuzhou 545006, China)

The analytical solutions of stochastic seismic responses and steady state responses of a multi-storey base isolation structure whose isolation layers were mounted with five parameters Maxwell dampers attached with supporters were studied. The upper structure was expanded by thefirst vibration mode shape and then by using the integral type analysis model for the supporter attached five parameters Maxwell damper, a non-extended accurate model for the structure was realized in time domain by using the integral-differential equations. By using the transfer matrix method, the analytic expressions in original structural space for the displacement, velocity and damper transient responses of the multi-layer isolation structure in time domain under arbitrary excitations were obtained. Finally,based on the analytical solutions,the random response variances of the displacement, velocity and damper’s force of the multi-layer isolation structure under Kanai-Tajimi stationary filtered white noise excitations were obtained. A complete analytical method for solving the stochastic responses of multi-layer isolation structures under Kanai-Tajimi filtered white noise excitations was thus established. A numerical example was given to verify its effectiveness.

five-parameters Maxwell damper; supporting; multi-layer isolation structure; transfer matrix method; damper’s force

TU352.1

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.21.031

國家自然科學(xué)基金(51468005)；廣西自然科學(xué)基金(2011GXNSFA018032;2014GXNSFAA118315)；廣西科技大學(xué)創(chuàng)新團(tuán)隊(duì)支持計(jì)劃

2016-10-12 修改稿收到日期：2017-01-18

鄒萬杰 男，副教授，博士，1974年生