樂 英，庫 巍，盧 藝，張海威，趙東雷

(華北電力大學(xué) 能源動(dòng)力與機(jī)械工程學(xué)院，河北 保定 071000)

基于優(yōu)化的六自由度工業(yè)機(jī)器人NURBS軌跡規(guī)劃*

樂 英，庫 巍，盧 藝，張海威，趙東雷

(華北電力大學(xué) 能源動(dòng)力與機(jī)械工程學(xué)院，河北 保定 071000)

針對(duì)機(jī)器人在運(yùn)動(dòng)過程中遇到較大振動(dòng)和沖擊問題，為進(jìn)一步提高軌跡規(guī)劃的精度，減輕振動(dòng)和沖擊，延長機(jī)器人使用壽命。以實(shí)驗(yàn)室REBOT-V-6R機(jī)器人為研究對(duì)象，分別采用三次多項(xiàng)式、三次B樣條和三次NURBS在基于最短路程原則下對(duì)機(jī)器人軌跡進(jìn)行規(guī)劃。規(guī)劃結(jié)果表明，采用三次NURBS規(guī)劃的運(yùn)動(dòng)軌跡速度、加速度光滑，連續(xù)沒有突變，機(jī)器人軌跡精度較好，運(yùn)動(dòng)性能優(yōu)于三次多項(xiàng)式樣條和三次B樣條。

工業(yè)機(jī)器人；NURBS；軌跡規(guī)劃；優(yōu)化

0 引言

軌跡規(guī)劃是機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)的具體應(yīng)用，它研究的內(nèi)容是根據(jù)任務(wù)要求計(jì)算出預(yù)期的運(yùn)動(dòng)軌跡，從而對(duì)機(jī)器人的任務(wù)、軌跡等進(jìn)行描述[1]。常用的機(jī)器人軌跡規(guī)劃分為笛卡爾空間軌跡規(guī)劃和關(guān)節(jié)角度空間軌跡規(guī)劃，這里對(duì)機(jī)器人在關(guān)節(jié)角度空間進(jìn)行軌跡規(guī)劃。

在關(guān)節(jié)角度空間規(guī)劃中通常給出起始點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)軌跡上的中間點(diǎn)是通過插值來進(jìn)行求取的。具體的過程是在關(guān)節(jié)空間中描述各作業(yè)點(diǎn)的位姿，然后在插補(bǔ)點(diǎn)的基礎(chǔ)上擬合成光滑的函數(shù)。由于各關(guān)節(jié)函數(shù)描述了各關(guān)節(jié)所經(jīng)過的點(diǎn)，機(jī)器人在聯(lián)動(dòng)的情況下，各關(guān)節(jié)通過各自軌跡段的時(shí)間是相同的，所以它們在滿足各自的期望位姿之外并同時(shí)達(dá)到軌跡段的終點(diǎn)。機(jī)器人的軌跡規(guī)劃方法主要是利用多項(xiàng)式、拋物線、樣條曲線以及不同曲線相結(jié)合的方式來對(duì)關(guān)節(jié)進(jìn)行規(guī)劃。在實(shí)際工程應(yīng)用中，常采用三次多項(xiàng)式對(duì)關(guān)節(jié)軌跡進(jìn)行規(guī)劃[2]，華南理工大學(xué)的研究學(xué)者在曲線的拐角處采用五次多項(xiàng)式過渡法進(jìn)行軌跡規(guī)劃的研究[3]，相比三次多項(xiàng)式用五次多項(xiàng)式可以提高運(yùn)動(dòng)軌跡的精度，但是相應(yīng)的計(jì)算量也會(huì)增大。而由文獻(xiàn)[4]可知對(duì)機(jī)器人各關(guān)節(jié)用七次多項(xiàng)式進(jìn)行插值的時(shí)候容易發(fā)生“龍格現(xiàn)象”，針對(duì)單一的多項(xiàng)式進(jìn)行規(guī)劃已經(jīng)不能滿足實(shí)際情況的要求。文獻(xiàn)[5]采用S曲線插值，對(duì)機(jī)器人進(jìn)行直線插補(bǔ)和圓弧插補(bǔ)。文獻(xiàn)[6]提出了一種加速度為兩種不同的頻率組合而成的正弦函數(shù)軌跡規(guī)劃方法。文獻(xiàn)[7]為了克服正弦曲線和五次多項(xiàng)式插值的光順性不好的問題，采用非均勻有理B樣條對(duì)關(guān)節(jié)角度進(jìn)行插值。這些軌跡規(guī)劃方法沒有與優(yōu)化原則很好的綜合考慮，有的只是單一對(duì)關(guān)節(jié)進(jìn)行軌跡的插值，有一定的局限性。

針對(duì)關(guān)節(jié)軌跡精度不高以及軌跡優(yōu)化的問題，本文以實(shí)驗(yàn)室深圳元?jiǎng)?chuàng)興REBOT-V-6R機(jī)器人為研究對(duì)象，采用三次NURBS基于最短路程的優(yōu)化原則下對(duì)機(jī)器人進(jìn)行軌跡規(guī)劃，并與三次多項(xiàng)式和三次B樣條等軌跡規(guī)劃方法進(jìn)行對(duì)比分析，來驗(yàn)證此軌跡規(guī)劃方法的有效性和可靠性。

1 關(guān)節(jié)空間軌跡規(guī)劃

為了進(jìn)行對(duì)比分析，分別采用三次多項(xiàng)式、三次B樣條和三次NURBS在關(guān)節(jié)空間對(duì)機(jī)器人軌跡進(jìn)行規(guī)劃。根據(jù)已知的工作空間原始路徑點(diǎn)，利用機(jī)器人逆運(yùn)動(dòng)學(xué)公式反求出關(guān)節(jié)空間中各關(guān)節(jié)對(duì)應(yīng)的角位移值。再根據(jù)各種規(guī)劃方法中具體的求解算法求出相應(yīng)的速度、加速度值，從而得到各關(guān)節(jié)軌跡曲線。

1.1 三次多項(xiàng)式樣條

三次多項(xiàng)式樣條中，任意兩節(jié)點(diǎn)之間是由三次多項(xiàng)式擬合生成的曲線段。三次多項(xiàng)式表達(dá)式中共有四個(gè)未知系數(shù)，對(duì)其求一階、二階導(dǎo)，可求出機(jī)器人末端關(guān)于時(shí)間t的速度、加速度的函數(shù)式[8]：

θ(t)=a0+a1t+a2t2+a3t3

(1)

(2)

(3)

其中，與始末時(shí)間點(diǎn)t0、tf對(duì)應(yīng)的角位移θ0和θf為已知，且滿足條件：

(4)

在每段多項(xiàng)式始末兩點(diǎn)處滿足二階連續(xù)，設(shè)置始末點(diǎn)的速度、加速度，且滿足條件：

(5)

每個(gè)點(diǎn)的角位移值已知，設(shè)定其角速度和角加速度為一常數(shù)，兩點(diǎn)共可得到四個(gè)已知條件。將已知條件代入公式(1)～公式(3)中并聯(lián)立求解，可解出全部未知的系數(shù)。

1.2 三次 B樣條

B樣條是一種特殊的NURBS曲線，在B樣條研究方法的基礎(chǔ)上引入了權(quán)因子等概念參數(shù)就變成了非均勻有理B樣條，即NURBS曲線。具體的理論知識(shí)在1.3節(jié)會(huì)有詳細(xì)的介紹。

1.3 三次NURBS曲線

NURBS又稱為非均勻有理B樣條，非均勻指的是控制頂點(diǎn)的影響程度可變；有理指的是表示曲線或曲面的方程加入權(quán)因子w(t)；B樣條則指的是在三個(gè)及以上控制點(diǎn)間插值構(gòu)造曲線的方法。一條k次NURBS曲線可表示為一分段的矢值有理多項(xiàng)式函數(shù)[9]：

(6)

其中，wi稱為權(quán)因子,首末權(quán)因子w0，wn>0，其余wi≥0，di為控制頂點(diǎn)，與權(quán)因子wi一一對(duì)應(yīng)。Ni,k(u)是由德布爾-考克斯遞推公式(7)推導(dǎo)的k次規(guī)范B樣條基函數(shù)。

(7)

為確定與型值點(diǎn)Pi相對(duì)應(yīng)的參數(shù)值ui+2，得對(duì)型值點(diǎn)進(jìn)行參數(shù)化處理。通常對(duì)型值點(diǎn)實(shí)行參數(shù)化的方法一般有：均勻參數(shù)化法，向心參數(shù)化法和累積弦長參數(shù)化[10]，這里采用累積弦長參數(shù)化。

其中B樣條曲線上任意一點(diǎn)處的r階導(dǎo)矢p(r)(u)，u∈[ui,ui+1]∈[uk,un+1]的求解公式如下：

(8)

(9)

根據(jù)公式(7)的遞推公式，編寫NURBS基函數(shù)方便調(diào)用。部分程序如下：

function out =NBbasefcn(i,k,u,t)

?

if u(i+k)-u(i)==0

xishu1=0;

else

xishu1=(t-u(i))/(u(i+k)-u(i));

end

if u(i+k+1)-u(i+1)==0

xishu2=0;

else

xishu2=(u(i+k+1)-t)/(u(i+k+1)-u(i+1));

end

out= xishu1* NBbasefcn (i,k-1,u,t)+ xishu2* NBbasefcn (i+1,k-1,u,t);

end

公式(8)、公式(9)中的求導(dǎo)程序可根據(jù)MATLAB編寫，其中需要調(diào)用NURBS基函數(shù)。但值得注意的是：關(guān)于NURBS曲線的求導(dǎo)過程中，由于涉及到中間參數(shù)u求導(dǎo)，具體的求導(dǎo)公式如下。

(10)

(11)

式(10)和式(11)結(jié)合式(8)和式(9)可得到NURBS的各階導(dǎo)數(shù)，更高階次的導(dǎo)數(shù)問題方法類似。

2 機(jī)器人建模及軌跡優(yōu)化

2.1 機(jī)器人建模

以實(shí)驗(yàn)室深圳元?jiǎng)?chuàng)興REBOT-V-6R機(jī)器人為研究對(duì)象，通過D-H法建立機(jī)器人的幾何模型，該機(jī)器人各關(guān)節(jié)及連桿參數(shù)如表1所示。

表1 六自由度機(jī)器人的D-H參數(shù)表

其中，Li為各關(guān)節(jié)編號(hào)，theta為關(guān)節(jié)變量，d為連桿偏移量，a為連桿長度，alpha連桿扭角。機(jī)器人在初始的姿態(tài)下，機(jī)器人末端在笛卡爾空間的三維坐標(biāo)為[4.1 0 0.71],也稱為零點(diǎn)坐標(biāo)，綜合精度和計(jì)算量的考慮，這里共取40個(gè)點(diǎn)。40個(gè)點(diǎn)的三維坐標(biāo)如下：

X=[4.1 4.1 4.1 4.1 4.1 4.1 4.1 4.1 4.1 4.1 4.1 3.8 3.5 3.2 2.9 2.6 2.3 2 1.7 1.4 1.1 1.1 1.1 1.1 1.1 1.1 1.1 1.1 1.1 1.1 1.1 1.4 1.7 2 2.3 2.6 2.9 3.2 3.5 3.8];

Y=[0 0.3 0.6 0.9 1.2 1.5 1.8 2.1 2.4 2.7 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2.7 2.4 2.1 1.8 1.5 1.2 0.9 0.6 0.3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0];

Z方向坐標(biāo)值均為0.71。

2.2 軌跡優(yōu)化

機(jī)器人在運(yùn)動(dòng)學(xué)反解的過程中會(huì)出現(xiàn)多解的情況，在避免碰撞的前提下，通常按照“最短行程”的準(zhǔn)則來選擇，即選擇一組6關(guān)節(jié)移動(dòng)量最小的解。實(shí)際算法中可以對(duì)6個(gè)關(guān)節(jié)作加權(quán)處理，遵照“多移動(dòng)小關(guān)節(jié)，少移動(dòng)大關(guān)節(jié)”原則。在工業(yè)機(jī)器人中，大關(guān)節(jié)一般指前3個(gè)關(guān)節(jié)，小關(guān)節(jié)一般指后3個(gè)關(guān)節(jié)[11]。選取各關(guān)節(jié)加權(quán)系數(shù)k1,k2,k3,…k6，具體的公式如下：

(12)

這里以建立的機(jī)器人模型為對(duì)象，以機(jī)器人末端為作業(yè)點(diǎn)，使末端在三維空間中畫一個(gè)矩形，為了計(jì)算方便，機(jī)器人在畫圖過程中末端的姿態(tài)保持不變。為便于觀察，以機(jī)器人零點(diǎn)為矩形的一個(gè)頂點(diǎn)。

根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)正逆解公式，用MATLAB編寫逆運(yùn)動(dòng)學(xué)求解程序，在基于最短路程原則的情況下對(duì)機(jī)器人的軌跡進(jìn)行優(yōu)化，分別求出機(jī)器人各關(guān)節(jié)對(duì)應(yīng)的三次多項(xiàng)式、三次B樣條和三次NURBS運(yùn)動(dòng)曲線。三種規(guī)劃方法均是關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)，這里總時(shí)間t取為12s，對(duì)機(jī)器人每個(gè)關(guān)節(jié)都分別用三種規(guī)劃方法進(jìn)行規(guī)劃。對(duì)求出的三次多項(xiàng)式、三次B樣條和三次NURBS三種曲線依次求導(dǎo)，可得到各關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)軌跡的角速度、角加速度。為便于觀察比較，從圖中任意截取一段，這里取t=[4.5s,5.5s]時(shí)間段，且只列出1、2、3關(guān)節(jié)基于三種軌跡規(guī)劃的運(yùn)動(dòng)曲線，得到機(jī)器人關(guān)節(jié)1，關(guān)節(jié)2，關(guān)節(jié)3的運(yùn)動(dòng)曲線見圖1、圖2和圖3。

圖1 截取的三次多項(xiàng)式規(guī)劃1～3關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)曲線

圖2 截取的三次B樣條規(guī)劃1～3關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)曲線

圖3 截取的三次NURBS規(guī)劃1～3關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)曲線

由圖1～圖3可以看出，在[4.5,5.5]區(qū)間內(nèi)，三種規(guī)劃方法得到的角位移曲線的趨勢差別不大，但三次NURBS的角位移曲線比另外兩種曲線更平緩；三次多項(xiàng)式和三次B樣條的角速度趨勢相差不大，范圍都在[0,0.4]之間上下波動(dòng)，但三次NURBS的角速度范圍在0.2上下波動(dòng)，且都比另兩種曲線光滑，曲線近似一條直線；三次多項(xiàng)式和三次B樣條的角加速度趨勢相差不大，范圍都在[-7,7]之間上下波動(dòng)，形狀近似于鋸齒形，而三次NURBS的范圍大小接近于0，曲線近似一條直線，且都比另兩種曲線光滑。因此基于最短行程的三次NURBS規(guī)劃方法可使機(jī)器人性能更穩(wěn)定，壽命更長。

3 結(jié)論

為進(jìn)一步提高軌跡規(guī)劃的精度，減輕振動(dòng)和沖擊，延長機(jī)器人使用壽命，以實(shí)驗(yàn)室REBOT-V-6R機(jī)器人為研究對(duì)象，分別采用三次多項(xiàng)式、三次B樣條和三次NURBS且都基于最短路程原則對(duì)機(jī)器人軌跡進(jìn)行規(guī)劃。規(guī)劃結(jié)果表明，采用三次NURBS規(guī)劃的角位移、角速度、角加速度都較光滑，連續(xù)沒有突變，而且在運(yùn)動(dòng)過程中角速度和角加速度都小于另兩種規(guī)劃方法，軌跡規(guī)劃精度更高。在不考慮計(jì)算量的狀況下，三次NURBS軌跡規(guī)劃方法的運(yùn)動(dòng)性能優(yōu)于三次多項(xiàng)式樣條和三次B樣條，是一種穩(wěn)定可靠的軌跡規(guī)劃方法。

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BasedontheOptimizedofSix-DOFIndustrialRobotNURBSTrajectoryPlanning

YUE Ying , KU Wei , LU Yi , ZHANG Hai-wei , ZHAO Dong-lei

(School of Energy , Power and Mechanics Engineering , North China Electric Power University,Baoding Hebei 071000 ,China)

Base on the larger vibration and shock problems encountered in the movement of robot, in order to further improve the accuracy of trajectory planning, reduce the vibration and impact, extend the service life. in laboratory REBOT-V-6R robot as the research object, using thrice polynomial and thrice B spline and thrice NURBS based on the shortest path principle of robot path planning. The results show that the thrice NURBS could achieve smoother planning trajectory velocity and acceleration, continuous no mutation, robot trajectory precision is better, sports performance is better than that the remaining two methods.

industrial robot; NURBS; trajectory planning; optimization

1001-2265(2017)11-0041-03

10.13462/j.cnki.mmtamt.2017.11.011

2017-01-04；

2017-02-14

河北省自然科學(xué)基金項(xiàng)目(E2014502042)；中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金項(xiàng)目(11QJ61)

樂英(1971—)，女，河南信陽人，華北電力大學(xué)(保定)副教授，博士，研究方向?yàn)闄C(jī)器人運(yùn)動(dòng)控制技術(shù)，(E-mail)yueying71@163.com。

TH165;TG659

A

(編輯李秀敏)