徐銀娣

摘 要：幾何證明題跟代數(shù)計(jì)算類(lèi)題目不同，代數(shù)計(jì)算類(lèi)題出的題型比較固定，考查的知識(shí)點(diǎn)也相對(duì)明確，所以容易總結(jié)出解題方法解題；而幾何證明題相當(dāng)靈活，不局限于固定的公式，它對(duì)學(xué)生的邏輯思維能力要求比較高，需要通過(guò)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)囊蚬P(guān)系和邏輯條件一步步銜接證明，最終得出所要證明的結(jié)論。

關(guān)鍵詞：幾何證明；方法技巧；思路；原理公式

幾何證明作為數(shù)學(xué)幾何學(xué)習(xí)內(nèi)容其中一項(xiàng)重點(diǎn)難點(diǎn)，常常成為學(xué)生解題的絆腳石，面對(duì)點(diǎn)、線組成的圖形和各種前提條件，如何入手？怎樣證明？往往讓學(xué)生無(wú)從下手，其實(shí)，幾何證明題并不難。著名的匈牙利數(shù)學(xué)家George Polya曾說(shuō)過(guò)：“解題的成功要靠正確思路的選擇，要靠從可以接近它的方向去攻擊堡壘。為了辨別哪一條思路正確，哪一個(gè)方向可接近它，就要試探各種方向和思路。”這位偉大的數(shù)學(xué)家給了我們很大啟示，解決幾何證明題需要循序漸進(jìn)，善于在探索證題過(guò)程中善于運(yùn)用不同的解題思路，最終找到解題方法與技巧。接下來(lái)就如何運(yùn)用不同思路解決幾何證明題提一些看法：

首先，我們需要積累不同的解題方法與技巧去解決不同類(lèi)型的題目，一般來(lái)說(shuō)，推薦以下三種常用思維來(lái)打開(kāi)解題思路：

一、正向思維

顧名思義，面對(duì)一些直接可以通過(guò)套用公式定理或給出的已知條件就能輕而易舉地證出的題目，可以直接運(yùn)用正向思維去推理證明。例如：

如圖1，點(diǎn)E在AB上，AC=AD，∠CAB=∠DAB，求證△ACE≌△ADE。

由已知條件中可知，根據(jù)“SAS”可輕松證明△ACB≌△ADB，△ACE≌△ADE。

二、逆向思維

這種思維比較獨(dú)特，需要從相反方向?qū)で蠼鉀Q思路?？梢韵燃僭O(shè)證明結(jié)論成立，往回推理結(jié)論成立后將會(huì)有什么條件成立，再通過(guò)論證條件成立的可能性，倒推證明結(jié)論的正確。運(yùn)用逆向思維的好處是能通過(guò)讓學(xué)生從不同的角度、不同的方向思索問(wèn)題，尋找解題方法，最終拓寬學(xué)生的解題思路。這種逆向思維在初中數(shù)學(xué)是一種不可或缺的思維方法，尤其在證明題中體現(xiàn)得更加重要。比如：

已知，如圖2，∠BEO=∠BDC，BE=CD.求證：∠1=∠2。

想證明∠1=∠2，可考慮證明△AOE≌△AOD或△AOB≌△AOC，由條件不難發(fā)現(xiàn)前者有∠ADO=∠AEO，AO=AO，后者有∠C=∠B，AO=AO，二者具備的條件一樣，很難判斷出哪一個(gè)更好，因此，必須進(jìn)一步分析條件，不難發(fā)現(xiàn)△BOE≌△COD，從而得出OB=OC，OE=OD，但這兩個(gè)條件加進(jìn)去之后，又不難發(fā)現(xiàn)兩組待證的全等三角形所滿(mǎn)足的條件都是“SSA”，而它不能判定兩個(gè)三角形全等，因此還須進(jìn)一步掌握條件，BD=CE，不難發(fā)現(xiàn)△ABD≌△ACE，這樣便有AD=AE，AB=AC。于是兩組待證的全等三角形均可由“SSS”證明。通過(guò)以上證題思路可以看出，面對(duì)這種類(lèi)型的題目，我們可以先假設(shè)求證成立，從題目的問(wèn)題向條件一步步往回推理，然后求證目的條件成立與否，最后從這一過(guò)程中推導(dǎo)出證明結(jié)論成立，即運(yùn)用逆向思維推理達(dá)到求證的目的。

三、正逆結(jié)合

如何面對(duì)難以從結(jié)論分析出思路的題目，我們可以結(jié)合結(jié)論和已知條件認(rèn)真分析，一般幾何證明題中，所給的每一個(gè)已知條件都是解題過(guò)程中要用到的，所以可以從已知條件中尋找思路。比如：

已知，如圖3，在△ABC中，AD是角的平分線，EF垂直平分AD交AD與E，交BC的延長(zhǎng)線與F，求證：∠B=∠CAF。

∠B和∠CAF不在同一個(gè)三角形內(nèi)，而且這兩個(gè)角所在的兩個(gè)三角形也不全等，因此要考慮與這兩個(gè)角有關(guān)的角。由EF是AD的垂直平分線，可知FD=FA，∴∠FDA=∠FAD。而∠FAD=∠FAC+∠DAC，∠ADF是△ABD的外角，則∠ADF=∠B+∠BAD。又由AD是角的角平分線，則可知∠BAD=∠DAC，因此，問(wèn)題得證。從這個(gè)例子可知，在證題過(guò)程中，當(dāng)要證的兩個(gè)角關(guān)系不明顯時(shí)，把它們轉(zhuǎn)化為有聯(lián)系的角，這是逆向思維，然后觀察這兩個(gè)有聯(lián)系的角，再?gòu)暮?jiǎn)單的正向思維就可以輕松地得以證明結(jié)論。

當(dāng)然，學(xué)會(huì)了解題方法技巧只是邁出解決問(wèn)題的第一步，熟練運(yùn)用和記憶一些常見(jiàn)原理才是解決幾何證明題的關(guān)鍵所在。熟記一些我們?cè)诮忸}過(guò)程中直接運(yùn)用的原理公式：角平分線的定義、勾股定理等；對(duì)于比較特殊的圖形如全等三角形三邊相等、等腰三角形兩腰相等、直角三角形兩邊垂直等圖形也需要信手拈來(lái)。

參考文獻(xiàn)：

1.謝鼓平.初中教案與作業(yè)設(shè)計(jì).

2.薛金星.中學(xué)教材全解.

3.劉會(huì)金.思路·策略·方法.

（作者單位：廣東省惠州市博羅橫河中學(xué)）endprint