韓義成

(甘肅省積石山縣積石中學(xué)，甘肅 臨夏 731700)

求數(shù)列通項(xiàng)公式的幾種常用方法和策略

韓義成

(甘肅省積石山縣積石中學(xué)，甘肅 臨夏 731700)

數(shù)列是必修模塊中重要內(nèi)容之一，數(shù)列通項(xiàng)公式的求解是做數(shù)列題的基礎(chǔ).本文主要介紹了數(shù)列通項(xiàng)公式求解的幾種常用方法：觀察法、定義法、公式法、累加法、累乘法、構(gòu)造法等，這些方法是高中求數(shù)列通項(xiàng)公式的基本方法，使我們必須理解和掌握的.

數(shù)列；通項(xiàng)公式；方法

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)中重要的模塊之一，以數(shù)列為載體可以培養(yǎng)學(xué)生觀察能力、理解能力、邏輯思維能力和分析解決問(wèn)題的能力.高考對(duì)數(shù)列知識(shí)的考查從未間斷過(guò)，而且在前幾年，很多省市的高考數(shù)學(xué)卷都把數(shù)列題作為壓軸題.數(shù)列的通項(xiàng)公式是數(shù)列的核心內(nèi)容之一，它如同函數(shù)中的解析式一樣，有了解析式便可研究性質(zhì)等；而有了數(shù)列的通項(xiàng)公式便可求出數(shù)列中的任一項(xiàng)及前n項(xiàng)和等.因此，求數(shù)列的通項(xiàng)公式往往是解題的突破口、關(guān)鍵點(diǎn).

1.觀察法

即歸納推理，就是觀察數(shù)列特征，找出各項(xiàng)共同的構(gòu)成規(guī)律，橫向看各項(xiàng)之間的關(guān)系結(jié)構(gòu)，縱向看各項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)n的內(nèi)在聯(lián)系，從而歸納出數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后利用數(shù)學(xué)歸納法加以證明即可.

若b=1，求a2,a3及數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．

2．定義法

直接利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的定義求通項(xiàng)的方法叫定義法，這種方法適應(yīng)于已知數(shù)列類型的題目.

例2 (2015年北京文科)已知等差數(shù)列{an}滿足a1+a2=10，a4-a3=2．

(Ⅰ)求{an}的通項(xiàng)公式；

(Ⅱ)設(shè)等比數(shù)列{bn}滿足b2=a3，b3=a7，問(wèn)：b6與數(shù)列{an}的第幾項(xiàng)相等？

解(Ⅰ)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d. 因?yàn)閍4-a3=2，所以d=2.又因?yàn)閍1+a2=10，所以2a1+d=10，故a1=4. 所以an=4+2(n-1)=2n+2 (n=1,2,…).

(Ⅱ)設(shè)等比數(shù)列{bn}的公比為q. 因?yàn)閎2=a3=8，b3=a7=16，所以q=2，b1=4.所以b6=4×26-1=128.由128=2n+2，得n=63.所以b6與數(shù)列{an}的第63項(xiàng)相等.

3．公式法

例3 (2015年山東理科)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知2Sn=3n+3.

求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

4．累加法

當(dāng)遞推公式為an+1=an+f(n)時(shí)，其中f(1)+f(2)+…+f(n)的和比較易求 ，通常解法是把原遞推公式轉(zhuǎn)化為an+1-an=f(n)，利用累加法(逐差相加法)求解.

解由題意得：

an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1

5．累乘法

6.構(gòu)造法

例6 (2014年新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅱ)已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=3an+1.

例7 (2007年天津文科)在數(shù)列{an}中，a1=2,an+1=4an-3n+1.求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an.

解由an+1=4an-3n+1 得an+1-(n+1)=4(an-n).又a1-1=1， 所以數(shù)列{an-n}是首項(xiàng)為1，公比為4的等比數(shù)列，所以an-n=4n-1，即an=4n-1+n.

(6)當(dāng)遞推公式為an+1=panr(其中p,r為常數(shù))時(shí).①若pgt;0,angt;0，可用對(duì)數(shù)法，即等式兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)，轉(zhuǎn)化為lgan+1=rlgan+lgp形式求解.②若plt;0，可用迭代法求解.

(Ⅰ)證明anlt;an+1lt;2,n∈N；(Ⅱ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an.

解(Ⅰ)略.

解(1)略.

(2)因?yàn)?Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn-1(n≥2),

所以4Sn+2-4Sn+1+Sn-Sn-1=4Sn+1-4Sn(n≥2)，

即 4an+2+an=4an+1(n≥2).

因?yàn)?a3+a1=4a2，所以4an+2+an=4an+1.

[1]高中新課程學(xué)習(xí)指導(dǎo)編寫組.高中新課程指導(dǎo)-數(shù)學(xué)[M].鄭州：大象出版社，2015.

[責(zé)任編輯：楊惠民]

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A

1008-0333(2017)25-0043-03

2017-07-01

韓義成(1973.4-)，男，漢族，中數(shù)高級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究工作.