虞棐雄 王永超 曹立佳 張勝修 扈曉翔

火箭軍工程大學(xué)，西安 710025

基于誤差逼近器的巡航飛行器反步控制*

虞棐雄 王永超 曹立佳 張勝修 扈曉翔

火箭軍工程大學(xué)，西安 710025

針對(duì)巡航飛行器在飛行過程中系統(tǒng)特征及各項(xiàng)參數(shù)時(shí)變、對(duì)控制系統(tǒng)強(qiáng)非線性的情況，設(shè)計(jì)了一種以反步法為基礎(chǔ)的誤差逼近魯棒非線性系統(tǒng)。首先，對(duì)巡航飛行器建立6-DOF非線性模型，根據(jù)反饋線性理論，將系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為含有誤差項(xiàng)的嚴(yán)格反饋MIMO系統(tǒng)。其次，利用Backstepping設(shè)計(jì)控制律和誤差逼近律，在虛擬控制律設(shè)計(jì)中引入動(dòng)態(tài)面法來避免多重微分運(yùn)算，以解決“項(xiàng)數(shù)膨脹”問題。最后，運(yùn)用Lyapunov穩(wěn)定性定理證明了閉環(huán)系統(tǒng)有界且跟蹤誤差指數(shù)收斂于零的一個(gè)鄰域內(nèi)。通過飛行器飛行仿真，結(jié)果表明控制器在外界未知干擾下具有很強(qiáng)的穩(wěn)定性和魯棒性。

誤差逼近器；MIMO系統(tǒng)；反步法；動(dòng)態(tài)面；巡航飛行器

遠(yuǎn)程巡航飛行器是一個(gè)復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)。由于飛行距離遠(yuǎn)、飛行環(huán)境復(fù)雜，在飛行過程中飛行器的系統(tǒng)特性會(huì)發(fā)生變化。作用在飛行器上的空氣動(dòng)力與飛行器幾何形狀、飛行狀態(tài)參數(shù)乃至飛行環(huán)境都呈現(xiàn)非常復(fù)雜的非線性關(guān)系。近年來，針對(duì)遠(yuǎn)程巡航飛行器這樣的強(qiáng)非線性系統(tǒng)的控制問題有了一系列研究成果，例如動(dòng)態(tài)逆[1]、反步法(Backstepping)[2]等直接面向非線性系統(tǒng)進(jìn)行設(shè)計(jì)的非線性控制技術(shù)被廣泛應(yīng)用到飛行器控制方法的研究中。尤其是基于Lyapunov穩(wěn)定性理論的反步法控制技術(shù)，因其具有快速收斂性和良好的魯棒性，在飛行器控制系統(tǒng)中得到越來越多的應(yīng)用。

反步法(Backsteeping)由Kokotovic等人在1991年首次提出，解決了長期以來具有純反饋形式的非線性系統(tǒng)控制器設(shè)計(jì)和穩(wěn)定性分析的難題。Backstepping實(shí)際上是一種由前向后遞推的方法，所以又稱逐步遞推法。Sharma等[3-5]采用反步法分別設(shè)計(jì)了攔截導(dǎo)彈和飛機(jī)的綜合控制系統(tǒng)；Sonneveldt[6]和朱鐵夫[7]等則將這一技術(shù)應(yīng)用在多操縱面推力矢量飛機(jī)的超機(jī)動(dòng)飛行控制上；Harkegard等[8]提出了直接面向飛行器向量形式動(dòng)態(tài)模型進(jìn)行反步法控制器設(shè)計(jì)的方法。但是傳統(tǒng)的反步法在控制器設(shè)計(jì)過程中需要對(duì)虛擬控制器反復(fù)求導(dǎo)，容易導(dǎo)致計(jì)算量隨著階數(shù)的增加而呈現(xiàn)指數(shù)增長，出現(xiàn)“計(jì)算膨脹”問題，從而給控制器的設(shè)計(jì)造成不便。針對(duì)這一問題，Swaroop等人[9]提出了動(dòng)態(tài)面控制法，其核心是在每一步設(shè)計(jì)中引入積分濾波器，令所設(shè)計(jì)的虛擬控制律輸入通過該濾波器，避免了每一步中對(duì)虛擬控制律的求導(dǎo)，從而解決了“計(jì)算膨脹”問題，簡化了設(shè)計(jì)過程。另外，考慮飛行器遭遇較大的突發(fā)變化時(shí)，單純的反步法不能很好地應(yīng)對(duì)[10]。面對(duì)這一類不確定性問題，采用逼近器在線逼近不確定性是一種較好的選擇。文獻(xiàn)[11]研究了利用干擾觀測(cè)器消除系統(tǒng)不確定性和未知外部干擾，并成功地應(yīng)用于倒立擺和飛行器的控制中。

本文以遠(yuǎn)程巡航飛行器為研究對(duì)象，假設(shè)飛行器是存在未知外部干擾的MIMO系統(tǒng)，通過建立巡航飛行器模型，將其轉(zhuǎn)化為含有未知不確定性的嚴(yán)格反饋系統(tǒng)，引入誤差逼近器對(duì)未知干擾進(jìn)行逼近，基于Backstepping和動(dòng)態(tài)面進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)，最后利用Lyapunov 理論分析了所提控制方案的穩(wěn)定性。

1 飛行器非線性模型

以巡航飛行器作為研究對(duì)象，在相關(guān)文獻(xiàn)假設(shè)[12]的基礎(chǔ)上，建立了其在飛行條件下的6-DOF非線性動(dòng)態(tài)模型，可表示為

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

式中，Ix，Iy，Iz分別為各軸向轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；Ixz為轉(zhuǎn)動(dòng)慣性積。

針對(duì)飛行器非線性動(dòng)態(tài)模型，考慮選取角度狀態(tài)變量x1，角速度狀態(tài)變量x2，建立飛行器的非線性系統(tǒng)，即：

(11)

本文的控制目的是使系統(tǒng)能有效穩(wěn)定跟蹤控制指令x1d=[αd,βd,μd]。

在設(shè)計(jì)飛行控制器前，需要一些假設(shè)、定義和定理，通過分析改進(jìn)，放寬要求。

假設(shè)1 參考指令足夠光滑，其一階和二階導(dǎo)數(shù)均存在且有界。即存在已知的正常數(shù)bM，滿足如下不等式：

值得一提的是，在實(shí)際跟蹤控制指令信號(hào)中，指令信號(hào)通常都是有界的。將參考指令進(jìn)行二階濾波獲得新的參考指令，目的是使其一階和二階導(dǎo)數(shù)均存在且有界。

對(duì)于與類似假設(shè)2的說法，在很多研究中普遍采用，如文獻(xiàn)[14-15]。Lee等[15]對(duì)控制尾舵變化導(dǎo)致氣動(dòng)力改變進(jìn)行了分析研究，結(jié)果表明這一影響可以忽略。通常情況下，當(dāng)氣動(dòng)控制舵的有效面積相比氣動(dòng)力的主要來源——主翼和載體的有效面積較小時(shí)，這一假設(shè)是成立的。而本文研究的正是這一情況。另外，本文還引入了誤差項(xiàng)，也可以將控制尾舵產(chǎn)生的氣動(dòng)力影響折合到誤差估計(jì)中。

最終，在以上前提條件下，飛行器非線性模型 (式 (11))可以轉(zhuǎn)化為MIMO純反饋系統(tǒng)

(12)

式中，u為系統(tǒng)控制律輸入。

2 控制器設(shè)計(jì)

針對(duì)MIMO純反饋系統(tǒng)式(12)，反步控制器的設(shè)計(jì)過程如下：

步驟1：考慮系統(tǒng)式(12)的第1個(gè)子系統(tǒng)

(13)

(14)

(15)

式中，k1為正的控制器參數(shù)；r1為常數(shù)；λ1為控制器設(shè)計(jì)參數(shù)；同時(shí)，tanh(·)為雙曲正弦函數(shù)。

步驟2：考慮系統(tǒng)式(12)的第2個(gè)子系統(tǒng)

(16)

系統(tǒng)式(16)的控制律選取為

(17)

式中，k2為正的控制器參數(shù)；λ2為控制器設(shè)計(jì)參數(shù)。

(18)

式中，r2為常數(shù)。

(19)

(20)

式中，τgt;0為濾波時(shí)間常數(shù)。

(21)

圖1為控制器結(jié)構(gòu)示意圖。

圖1 誤差逼近反步控制器設(shè)計(jì)過程

3 穩(wěn)定性分析

3.1 跟蹤誤差動(dòng)態(tài)

由于系統(tǒng)指令跟蹤控制的穩(wěn)定性分析過程與系統(tǒng)跟蹤動(dòng)態(tài)有關(guān)，下面先討論系統(tǒng)的跟蹤誤差動(dòng)態(tài)。

(22)

(23)

(24)

(25)

又因?yàn)V波器式(20)必然存在濾波誤差，下面選取其濾波誤差為

(26)

對(duì)z求導(dǎo)，可得

(27)

根據(jù)式(24)和(26)，可得

(28)

則跟蹤誤差動(dòng)態(tài)式(23)變換為

(29)

3.2 Lyapunov穩(wěn)定性分析

研究系統(tǒng)穩(wěn)定性時(shí)，選擇如下所示的Lyapunov函數(shù)

(30)

式中，rigt;0為常數(shù)。

則V(t)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)為

(31)

引入定理1[18-19]：對(duì)于?xgt;0，有|x|-xtanh(x/λ)≤0.2785λ=λ′始終成立。

(32)

(33)

(34)

(35)

(36)

根據(jù)以上控制器設(shè)計(jì)和穩(wěn)定性證明，可以得到定理1 ：對(duì)于滿足假設(shè)1和2，并且存在外界干擾的非線性系統(tǒng)(11)，設(shè)計(jì)如式(21)所示的控制律以及如式(15)和(18)所示的誤差逼近律，能夠使閉環(huán)系統(tǒng)內(nèi)的所有信號(hào)半全局最終一致有界(SGUUB)；并且選擇合適的設(shè)計(jì)參數(shù)能使跟蹤誤差收斂到原點(diǎn)的一個(gè)很小領(lǐng)域內(nèi)。

4 仿真結(jié)果與分析

以模型巡航飛行器為控制對(duì)象，采用本文設(shè)計(jì)的控制律和誤差逼近律，通過仿真對(duì)飛行器的控制效果進(jìn)行檢驗(yàn)。

選擇仿真的初始條件如表1所示。仿真采樣時(shí)間為1ms，狀態(tài)變量延遲為一個(gè)采樣周期。

為了驗(yàn)證控制系統(tǒng)的魯棒性，仿真中在原來模型的基礎(chǔ)上對(duì)氣動(dòng)參數(shù)隨機(jī)攝動(dòng)40%，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量隨機(jī)攝動(dòng)20%來模擬系統(tǒng)未知的不確定性。

飛行控制器的參數(shù)分別選取為：k1=6，k2=4，τ=0.01。誤差逼近器的參數(shù)分別選取為：r1=2，r2=3。

表1 仿真初始條件

圖2～10給出了在Matlab中進(jìn)行的6-DOF巡航飛行器飛行仿真圖。需要指出，方法1表示設(shè)計(jì)反步控制器過程中引入誤差逼近器，方法2表示設(shè)計(jì)反步控制器過程中未引入誤差逼近器。另外，圖2～ 4為2種方法的跟蹤效果對(duì)比，圖5～ 10為系統(tǒng)在設(shè)計(jì)反步控制器中引入誤差逼近器后各角速度和虛擬舵偏角的變化情況。

圖2 攻角指令跟蹤對(duì)比結(jié)果

圖3 側(cè)滑角指令跟蹤對(duì)比結(jié)果

由圖2～10給出的仿真結(jié)果中，不難得出：

1)控制系統(tǒng)穩(wěn)定性好，收斂速度快。對(duì)控制指令跟蹤良好。當(dāng)控制指令變化后，飛行控制系統(tǒng)仍能穩(wěn)定跟蹤指令信號(hào)，并迅速收斂到零附近；

圖4 滾轉(zhuǎn)角指令跟蹤對(duì)比結(jié)果

圖5 滾轉(zhuǎn)角速度變化

圖6 俯仰角速度變化

圖7 偏航角速度變化

圖8 副翼舵偏角變化

圖9 升降舵舵偏角變化

圖10 方向舵舵偏角變化

2)在引入誤差逼近器和未引入誤差逼近器的對(duì)比仿真實(shí)驗(yàn)中，引入誤差逼近器的方法能更好地跟蹤指令，控制效果更好；

3)控制效能好，魯棒性好，誤差逼近器能夠較好地完成對(duì)未知干擾的補(bǔ)償。在整個(gè)飛行控制過程中，當(dāng)控制指令變化后，控制舵面偏轉(zhuǎn)角未出現(xiàn)飽和情況。雖然加入了氣動(dòng)參數(shù)和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的隨機(jī)攝動(dòng)，誤差逼近器仍能消除干擾，未對(duì)控制器的穩(wěn)定性和控制效果造成明顯影響，表現(xiàn)出控制系統(tǒng)較強(qiáng)的魯棒性。

5 結(jié)論

以反步法為基礎(chǔ)，在引入誤差逼近器的同時(shí)，結(jié)合動(dòng)態(tài)面控制技術(shù)設(shè)計(jì)了一種誤差逼近魯棒非線性飛行控制器。首先，飛行器飛行過程中的外界干擾通過誤差逼近器得到有效逼近；其次，引入動(dòng)態(tài)面控制技術(shù)解決了利用反步法設(shè)計(jì)控制器時(shí)產(chǎn)生的“項(xiàng)數(shù)膨脹”問題；最后，通過仿真結(jié)果可知，在存在外界未知干擾的情況下，本文所設(shè)計(jì)的控制器具有很好的穩(wěn)定性和魯棒性，滿足巡航飛行器的飛行控制要求。

[1] Lane S H, Stengel R F. Flight Control Design Using Nonlinear Inverse Dynamics[J]. Automatica, 1988, 24(4): 471-483.

[2] Kristic M, Kanellakopoulos, Kokotovic P. Nonlinear and Adaptive Control Design[M]. New York: John Wiley amp; Sons, 1995.

[3] Sharma M, Richards N D. Adaptive Integrated Guidance and Control for Missile Interceptors[R]. AIAA-2004-4880, 1995.

[4] Polycarpou M, Farrell J, Sharma M. On-line Approximation Control of Uncertion Nonlinear Systems: Issues with Control Input Saturation[R]. ADA436259-1995.

[5] Farrell J, Polycarpou M Sharma M. Adaptive Backstepping with Magnitude, Rate, and Bandwidth Constraints: Aircraft Longitude Control[R]. ADA442139- 2006.

[6] Sonneveldt L, Chu Q P, Mulder J A, et al.Constrained Adaptive Backstepping Flight Control: Application to a Nonlinear F-16/MATV Model[R]. AIAA-2006-6413, 2006.

[7] 朱鐵夫，李明，鄧建華.基于Backstepping控制理論的非線性飛控系統(tǒng)和超機(jī)動(dòng)研究[J]. 航空學(xué)報(bào)，2005，26(4): 430-433.(Zhu Tiefu, Li Ming, Deng Jianhua.Nonlinear Flight Control System Based on Backstepping Theory and Supermaneuver[J]. Acta Aeronautica et Astronautica Sinica, 2005, 26(4): 430-433.)

[8] Harkegard O, Glad T. Vector Backstepping Design for Flight[J]. AIAA-2007-6421, 2007.

[9] Swaroop D, Hedrick J K, Yip P P, et al. Dynamic Surface Control for a Class of Nonlinear Systems[J]. IEEE Trans. on Automatic Control, 2000, 45(10): 1893-1899.

[10] Farrel J, Sharma M, Polycarpou M.Backstepping-based Flight Control with Adaptive Function Approximation[J]. Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 2005, 28(6):1089-1102.

[11] 王堅(jiān)浩，胡劍波，張博鋒.應(yīng)用非線性干擾觀測(cè)器的反推終端滑模飛行控制[J]. 應(yīng)用科學(xué)學(xué)報(bào), 2012，30(4): 404-414.(Wang Jianhao, Hu Jianbo, Zhang Bofeng. Backstepping Terminal Sliding Mode for Flight Control Based on Non-linear Disturbance Observer[J]. Journal of Applied Sciences, 2012, 30( 4): 408-414.)

[12] Stevens B L, Lewis F L. Aircraft Control and Simulation [M]. 2nd ed.New York: John Wileyamp;Sons, 2003.

[13] 曹立佳，張勝修，李曉峰，等. 折疊翼飛行器發(fā)射段魯棒非線性控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)[J]. 航空學(xué)報(bào)，2011,32(10)：1879-1887.(Cao Lijia, Zhang Shengxiu, Li Xiaofeng, et al. Robust Nonlinear Control System Design for Folding-wing Aerial Vehicles During Launching Time[J]. Acta Aeroautica et Astronautica Sinica, 2011,32(10):1879-1887.)

[14] Keshmiri S, Mirmirani M D. Six-Dof Modeleling and Simulation of a Generic Hypersonic Vehicle for Conceptural Design Studies[R]. AIAA 2004-4805, Norfolk, Virginia: AIAA,2004.

[15] 錢杏芳，林瑞雄，趙亞男.導(dǎo)彈飛行力學(xué)[M].北京：北京理工大學(xué)出版社，2008.

[16] Swaroo D, Hedrick J K, Yip P P, et al . Dynamic Suface Control for a Class of Nonlinear Systems[J]. IEEE Transactions on Automatic Control, 2000, 45(10): 1893- 1899.

[17] Wang D, Huang J. Neural Network-Based Adaptive Dynamic Suface Control for a Class of Uncertain Nonlinear Systems in Strick-Feedback Form[J]. IEEE Transactions on Neural Networks, 2005, 16(1): 195-202.

[18] Tong S C, Li Y M. Observer-based Adaptive Fuzzy Backstepping Control of Uncertain Nonlinear Pure-feedback Systems[J]. Science China Information Sciences, 2014, 57: 1-14.

[19] Ploycrpou M M, Ioannou P A. A Robust Adaptive Nonlinear Control Design[J]. Automatica, 1996, 32: 423- 427.

BacksteppingControlforCruiseAircraftBasedonErrorEstimation

Yu Feixiong, Wang Yongchao, Cao Lijia, Zhang Shengxiu, Hu Xiaoxiang

Rocket Force University of Engineering, Xi’an 710025, China

Anerrorestimationrobustnonlinearcontrollerbasedonbacksteppingisdesignedforcruiseaircrafttofulfillthefairlygreatchangesofcharacteristicsandstronglynonlinearcontrolsystem.Firstly,a6-DOF (degree-of-freedom)nonlinearmodelisestablished.Byusingthelinearfeedbacktheory,thesystemisstrictlytransformedintofeedbackMIMOsystemswitherrors;secondly,thebacksteppingisusedtodesigncontrollawanderrorestimationlaw.Dynamicsurfacecontrolisemployedtoreplacethedifferentiationsofthevirtualcontrollawintraditionalbackstepping,whichisusedtohandletheproblemof‘termexplosion’.Finally,theclosed-loopsystemisguaranteedtobeboundedandtrackingerrorsarealsoprovedtoconvergeexponentiallytoasmallneighborhoodaroundzero.Thesimulationresultshowsthecontrollerhasstrongeffectivenessandrobustnessundertheunknownuncertaintyanddisturbance.

Errorestimation; MIMOsystems;Backsteepping;Dynamicsurfacecontrol;Cruiseaircraft

TP273.2

A

1006-3242(2017)04-0026-07

*國家自然科學(xué)基金資助(61304001,61304239)

2016-03-21

虞棐雄(1992-)，男，浙江縉云人，碩士，主要研究方向?yàn)轱w行器魯棒自適應(yīng)控制；王永超(1991-)，男，河南周口人，博士研究生，主要研究方向?yàn)轱w行器魯棒自適應(yīng)控制；曹立佳(1982-)，男，四川自貢人，博士，講師，主要研究方向?yàn)轱w行器控制、仿真與決策；張勝修(1963-)，男，河南駐馬店人，博士生導(dǎo)師，教授，主要研究方向?yàn)榻M合導(dǎo)航與飛行器制導(dǎo)控制；扈曉翔(1982-)，男，山東壽光人，博士，講師，主要研究方向?yàn)榉蔷€性系統(tǒng)魯棒控制。