張亞婷 張惠平 鄭總準(zhǔn) 路坤鋒

北京航天自動(dòng)控制研究所，北京100854

基于結(jié)構(gòu)奇異值的不確定系統(tǒng)魯棒性分析與評估

張亞婷 張惠平 鄭總準(zhǔn) 路坤鋒

北京航天自動(dòng)控制研究所，北京100854

針對存在含有不確定性攝動(dòng)的飛行器，提出一種基于結(jié)構(gòu)奇異值的魯棒性分析與評估方法。通過分析飛行器控制系統(tǒng)的不確定性攝動(dòng)，基于線性分式變換方法，推導(dǎo)了飛行器不確定性攝動(dòng)模型；基于μ分析方法，設(shè)計(jì)了一種控制律分析評估方法。并在系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定的基礎(chǔ)上，基于結(jié)構(gòu)奇異值理論，分析了多輸入多輸出的不確定系統(tǒng)穩(wěn)定裕度的計(jì)算方法。仿真結(jié)果表明，該方法有效保障了不確定性攝動(dòng)系統(tǒng)控制律的魯棒穩(wěn)定性。

不確定系統(tǒng)；結(jié)構(gòu)奇異值；控制律評估；魯棒穩(wěn)定性

新一代飛行器將在全空域全速域長時(shí)間飛行，未知的新環(huán)境存在更強(qiáng)的不確定性和更復(fù)雜的干擾因素，飛行器模型參數(shù)將大范圍快速變化，同時(shí)通道間強(qiáng)烈交叉耦合，給控制系統(tǒng)的分析與評估帶來了新的挑戰(zhàn)。

通道間強(qiáng)烈的交叉耦合與飛行環(huán)境干擾因素的不確定，使控制系統(tǒng)表現(xiàn)為一個(gè)多輸入多輸出(MIMO)問題，必須尋求多變量系統(tǒng)穩(wěn)定性判據(jù)分析系統(tǒng)穩(wěn)定性。同時(shí)，氣動(dòng)參數(shù)、重心位置、質(zhì)量、慣性矩和大氣數(shù)據(jù)等的不確定造成了飛行器模型的不確定，這要求設(shè)計(jì)的控制律具有一定的魯棒性。

結(jié)構(gòu)奇異值是分析不確定系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定性和性能的有效方法[1-3]，本文在描述飛行器控制系統(tǒng)不確定性的基礎(chǔ)上，建立了一種基于結(jié)構(gòu)奇異值的多變量穩(wěn)定性判據(jù)，并進(jìn)一步分析與評估系統(tǒng)控制律的有效性，為飛行器的穩(wěn)定飛行提供理論依據(jù)。

1 系統(tǒng)不確定性分析與建模

控制系統(tǒng)的不確定因素分為2大類：模型不確定因素、與模型無關(guān)的不確定因素。其中模型不確定因素通常包括氣動(dòng)參數(shù)、重心位置、質(zhì)量、慣性力矩、傳感系統(tǒng)動(dòng)態(tài)和大氣數(shù)據(jù)等，可以歸納為慣性因素、氣動(dòng)參數(shù)、硬件變化及大氣數(shù)據(jù)4種；與模型無關(guān)的不確定因素主要為通道間的交叉耦合等。上述不確定因素均可以使用數(shù)學(xué)方法建模描述。

線性分式變換(LFT)作為描述系統(tǒng)結(jié)構(gòu)特征的有力工具，較好地解決了系統(tǒng)結(jié)構(gòu)模型的問題，可以將所有不確定參數(shù)分離出來，使系統(tǒng)表達(dá)為一個(gè)標(biāo)稱模型加一個(gè)反饋的形式，如圖1所示，其中飛行器模型為G，設(shè)計(jì)的控制器為K，不確定性為矩陣Δ，G與K組成標(biāo)稱模型。

圖1 LFT結(jié)構(gòu)框圖

(1)

飛行器線性化數(shù)學(xué)模型如式(2)，模型系數(shù)中包含了慣性不確定、氣動(dòng)參數(shù)不確定、大氣數(shù)據(jù)不確定及通道間交叉耦合影響。

(2)

按照飛行器的設(shè)計(jì)要求，將設(shè)計(jì)的控制律加入上述模型，則系統(tǒng)可表示為狀態(tài)空間方程形式，如式(3)，其中：Ad(Δ)，Bd(Δ)，Cd(Δ)，Dd(Δ)為包含控制環(huán)節(jié)與不確定攝動(dòng)的模型矩陣，Δ為不確定性矩陣。

(3)

進(jìn)一步，將模型參數(shù)中不確定性攝動(dòng)分離出來，考慮一種模型的仿射近似方案，如式(4)

(4)

為得到LFT模型，將攝動(dòng)矩陣進(jìn)行滿質(zhì)分解：

(5)

結(jié)合式(4)和(5)，得到不確定系統(tǒng)的LFT表達(dá)式為SΔ=Fu(M,ΔN)，其中：

(6)

2 控制律評估

線性分式變換模型將所有影響系統(tǒng)的不確定性構(gòu)成一個(gè)不確定性矩陣Δ，這個(gè)矩陣具有對角或塊對角形式，結(jié)合式(6)，則此時(shí)LFT系統(tǒng)SΔ=Fu(M,ΔN)的結(jié)構(gòu)奇異值為：

(7)

在不確定性的影響下，如果系統(tǒng)有一個(gè)極點(diǎn)逼近虛軸，μ的值就會(huì)迅速變大，理論上當(dāng)極點(diǎn)剛好位于虛軸之上時(shí)，μ值等于1。因此，飛行器在不確定性攝動(dòng)影響下，控制律評估步驟為：

1)在飛行特征點(diǎn)處，使用標(biāo)稱模型設(shè)計(jì)控制律；

2)考慮全部不確定性攝動(dòng)的影響，將包含不確定性因素的飛行器模型描述為LFT形式；

3)沿s平面內(nèi)的虛軸s=jω隨頻率的變化計(jì)算LFT的結(jié)構(gòu)奇異值，判斷μlt;1是否滿足，滿足則此特征點(diǎn)處控制律能夠保障飛行器在不確定攝動(dòng)影響下穩(wěn)定飛行；不滿足則返回重新設(shè)計(jì)控制律。

在所有特征點(diǎn)處計(jì)算LFT的結(jié)構(gòu)奇異值，若μmaxlt;1均成立，則系統(tǒng)在不確定攝動(dòng)的影響下魯棒穩(wěn)定，控制律能夠保障穩(wěn)定飛行。

3 穩(wěn)定裕度計(jì)算

在系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定的基礎(chǔ)上，可以進(jìn)一步分析計(jì)算不確定系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度。借鑒回差矩陣奇異值穩(wěn)定裕度分析方法[4-5]的思路，令測量矩陣E=I+Δ，E=diag{k1ejφ1,k2ejφ2，…}，Δ為對角復(fù)數(shù)不確定攝動(dòng)矩陣，Δ=diag{δ1,δ2，…}，加入測量矩陣的LFT系統(tǒng)模型如圖2所示。當(dāng)測量矩陣kmin≤ki≤kmax，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)，系統(tǒng)幅值裕度為(kmin,kmax)；當(dāng)φmin≤φi≤φmax，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)，多回路系統(tǒng)的相角裕度為(φmin,φmax)。

圖2 加入測量矩陣的線性分式系統(tǒng)

LFT模型中矩陣M∈Cn×n的結(jié)構(gòu)奇異值μ定義為：

(8)

若Δ是空集，則定義μΔ(M)=0。μΔ(M)的倒數(shù)解釋為LFT反饋系統(tǒng)穩(wěn)定裕度的上確界，也就是導(dǎo)致反饋系統(tǒng)失穩(wěn)的最小攝動(dòng)的一個(gè)度量。

由于Δ=diag(kicosφi+jkisinφi-1)，結(jié)合μ的定義，若MIMO系統(tǒng)的μ≤β，即β=μmax，則Δ對角矩陣的每個(gè)對角元素的幅值小于等于β-1時(shí)，系統(tǒng)保持穩(wěn)定。由于對角矩陣的最大奇異值就是其對角元素的最大幅值，因此有：

(9)

根據(jù)式(9)，取縱坐標(biāo)為系統(tǒng)結(jié)構(gòu)奇異值，橫坐標(biāo)為ki，對于不同的φi可以得到一組曲線，圖3為結(jié)構(gòu)奇異值最大值β與幅值-相位裕度的估計(jì)圖，可以確定多變量控制系統(tǒng)幅值-相位同時(shí)變化時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度。

圖3 通用μ與幅值-相位裕度圖

基于結(jié)構(gòu)奇異值計(jì)算幅值裕度時(shí)，令φi=0；計(jì)算相位裕度時(shí)，令ki=1，則由式(9)可得多變量系統(tǒng)穩(wěn)定裕度為：

(10)

4 仿真結(jié)果

某飛行器采用過載控制方式，輸出為三通道過載偏差與彈體系角速度偏差，特征點(diǎn)處設(shè)計(jì)的控制矩陣為：

在標(biāo)稱系統(tǒng)的基礎(chǔ)上，考慮慣性不確定、氣動(dòng)參數(shù)不確定、大氣數(shù)據(jù)不確定及通道間交叉耦合影響，將控制律加入系統(tǒng)模型，計(jì)算參數(shù)攝動(dòng)下LFT模型的結(jié)構(gòu)奇異值，可得：當(dāng)ω=[0.001, 20]時(shí)，此特征點(diǎn)在不確定參數(shù)攝動(dòng)影響下的LFT模型結(jié)構(gòu)奇異值曲線如圖4所示，則系統(tǒng)存在不確定性參數(shù)攝動(dòng)的情況下，μ值均小于1，即系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定，所設(shè)計(jì)的控制律可以保障飛行器在存在不確定參數(shù)影響下穩(wěn)定飛行。

圖4 參數(shù)攝動(dòng)LFT模型奇異值曲線

標(biāo)稱系統(tǒng)結(jié)構(gòu)奇異值曲線如圖5所示，最大值為μ=2.78，由式(10)可得MIMO系統(tǒng)穩(wěn)定裕度為：當(dāng)系統(tǒng)增益和相位同時(shí)變化時(shí)，穩(wěn)定裕度范圍由圖3確定；系統(tǒng)相位不變時(shí)，允許增益發(fā)生變化的最大范圍為-8.9168dB～6.1455dB；系統(tǒng)幅值保持不變，允許相位發(fā)生變化的最大范圍為：-20.7228°～20.7228°。

圖5 標(biāo)稱系統(tǒng)結(jié)構(gòu)奇異值曲線

應(yīng)用控制律評估方法，對飛行器進(jìn)行反復(fù)設(shè)計(jì)后，模型中加入慣性偏差、氣動(dòng)偏差和大氣數(shù)據(jù)偏差等，仿真結(jié)果如圖6～8所示。俯仰、偏航通道采用過載控制方法，加入偏差后，設(shè)計(jì)的控制參數(shù)能適應(yīng)飛行器狀態(tài)變化帶來的影響，在攝動(dòng)的影響下，控制系統(tǒng)能很好的跟蹤制導(dǎo)過載指令，整個(gè)飛行過程比較平穩(wěn)，控制律設(shè)計(jì)結(jié)果理想。

圖6 法向過載曲線

圖7 橫向過載曲線

圖8 角速度曲線

5 結(jié)論

針對含有不確定性攝動(dòng)的飛行器控制系統(tǒng)，在線性分式變換與結(jié)構(gòu)奇異值理論的基礎(chǔ)上，提出了一種不確定性攝動(dòng)影響下飛行器魯棒穩(wěn)定性分析與評估方法。仿真結(jié)果表明，基于結(jié)構(gòu)奇異值的MIMO系統(tǒng)穩(wěn)定性計(jì)算方法合理，基于μ分析的控制律評估方法能有效判斷系統(tǒng)是否魯棒穩(wěn)定。同時(shí)，能計(jì)算多變量系統(tǒng)穩(wěn)定裕度，可以為攝動(dòng)系統(tǒng)的有效設(shè)計(jì)提供理論依據(jù)。下一步可以在模型辨識的基礎(chǔ)上，研究飛行器控制律在線評估與自調(diào)整方法。

[1] Harald Pfifer, Simon Hecker. Generation of Optimal Linear Parametric Models for LFT-Based Robust Stability Analysis and Control Design[J]. IEEE Transactions on Control Systems Technology, 2011,19(1):118-131.

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[4] 李帆.不確定性系統(tǒng)的解耦控制與穩(wěn)定裕度分析[D]．西安：西北工業(yè)大學(xué)博士學(xué)位論文,2001．(Li Fan. The Decoupling Control Study and Stability Margin Evaluation of Multivariable Uncertain Systems [D]. Xi’an: A Dissertation Submitted for the Degree of Ph.D of Northwestern Polytechnical University, 2001.)

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RobustAnalysisandEvaluationofUncertainSystemsBasedonStructureSingularValue

Zhang Yating, Zhang Huiping, Zheng Zongzhun, Lu Kunfeng

Beijing Aerospace Automatic Control Institute, Beijing 100854, China

Accordingtotheaircraftinvolveduncertaintyperturbation,amethodofrobustanalysisandevaluationbasedonstructuresingularvalueisproposed.Themodelofuncertainsystemsisderivedbyanalyzinguncertaintyperturbationofaircraftcontrolsystemthroughthelinearfractionaltransformationmethod.Basedonμanalysismethod,amethodofcontrollawevaluationisdesigned.Andthestabilitymargincalculationmethodisanalyzedforuncertainsystemswithmultipleinputandmultipleoutputs,whichisbasedonthestructuresingularvalueprinciple.Thesimulationresultsshowthatthismethodcaneffectivelyguaranteetherobuststabilityofthecontrollawofuncertainsystem.

Uncertainsystem;Structuresingularvalue;Controllawevaluation;Robuststability

TJ765.2

A

1006-3242(2017)04-0011-04

2017-03-01

張亞婷(1989-)，女，陜西渭南人，碩士，助理工程師，主要研究方向?yàn)閷?dǎo)航、制導(dǎo)與控制技術(shù)；張惠平(1979-)，男，寧夏固原人，碩士，研究員，主要研究方向?yàn)閷?dǎo)航、制導(dǎo)與控制技術(shù)；鄭總準(zhǔn)(1983-)，男，福州人，博士，高級工程師，主要研究方向?yàn)閷?dǎo)航、制導(dǎo)與控制技術(shù)；路坤鋒(1983-)，男，石家莊人，博士，工程師，主要研究方向?yàn)閷?dǎo)航、制導(dǎo)與控制技術(shù)。