楊 洋，吳健榮

（蘇州科技大學 數(shù)理學院，江蘇 蘇州215009）

關(guān)于模糊擬度量誘導的雙拓撲空間的一些性質(zhì)

楊 洋，吳健榮*

（蘇州科技大學 數(shù)理學院，江蘇 蘇州215009）

一個模糊擬度量可以自然地誘導出兩個拓撲，從而確定一個雙拓撲。該文研究了由模糊擬度量空間誘導出的雙拓撲空間的一些基本性質(zhì)：證明了該雙拓撲空間是配T2和配全正則的；利用擬一致結(jié)構(gòu)理論，證明了由模糊擬度量誘導的雙拓撲空間是可擬度量化的。

模糊擬度量；雙拓撲空間；分離性；可擬度量化

1975年Kramosil和Michalek[1]利用兩點距離的不確定性，把連續(xù)t模和模糊集相結(jié)合，給出了模糊度量空間的概念，現(xiàn)被廣泛地稱為KM模糊度量空間。1994年，文獻[2]通過改進文獻[1]中定義的模糊度量空間，獲得了具有Hausdorff拓撲的GV模糊度量空間。2009年，Gregori等[3]討論了模糊度量P收斂和完備化之間的關(guān)系。2012年，Shen[4]基于GV模糊度量空間，給出了區(qū)間值模糊度量空間的概念。2014年，陸漢川等[5]通過對區(qū)間值模糊度量的進一步研究，將其與一致結(jié)構(gòu)、不動點定理結(jié)合起來。近年來，由于在彩色圖像濾波等方面的成功應(yīng)用[6－10]，模糊度量理論得到了學界越來越重視。

2004年，Gregori等[11]提出了模糊擬度量的概念，Gregori等[12]在此基礎(chǔ)上給出了可完備化的充分必要條件。2005年，Gregori等[13]則討論了模糊擬度量的雙完備化問題。同年，文獻[14]在超空間上提出了Hausdorff模糊度量的概念。在此基礎(chǔ)上，2010年，文獻[15]提出了Hausdorff模糊擬度量空間。2011年，文獻[16]用不同的方式刻劃了模糊擬度量的雙完備化。2016年，陸漢川等[17]得到了通過擬度量誘導的拓撲與標準的區(qū)間值模糊擬度量誘導的拓撲是相一致的，并討論了雙完備化的區(qū)間值模糊擬度量空間的一些性質(zhì)。

如同一個模糊度量空間可以誘導出一個拓撲空間，一個模糊擬度量空間可以自然地誘導出一個雙拓撲空間[18]。但至今，對模糊擬度量空間的研究基本上都是局限于模糊擬度量導出的單個拓撲，并沒有在雙拓撲的框架下進行研究。

筆者將在雙拓撲空間框架下，研究模糊擬度量空間的拓撲性質(zhì)，進一步展示模糊擬度量[11]空間豐富的拓撲特性。在證明了模糊擬度量所誘導的雙拓撲空間的分離性的基礎(chǔ)上，得到了模糊擬度量所誘導的雙拓撲空間是可擬度量化的。

1 基本概念

設(shè)X是一個非空集合，P，Q是X上的兩個拓撲，則序組（X，P，Q）稱為雙拓撲空間。引入記號：AP表示集合A在拓撲P下的閉包，Ac表示集合A的補集。下述定義主要來自于文獻[18]。

定義 1 設(shè)（X，P，Q）為雙拓撲空間。 稱（X，P，Q）為：

（?。┡?T0，若?x，y∈X，x≠y，或存在 P 開集 U，使 x∈U，y?U；或存在 Q 開集 V，使 y∈V，x?V。

（ⅱ）配 T1，若?x，y∈X，x≠y，存在 P 開集 U，使 x∈U，y?U；且存在 Q 開集 V，使 y∈V，x?V。

（ⅲ）配T2，若?x，y∈X，x≠y，存在x的P開鄰域U和y的 Q開鄰域 V使得U∩V=?。

（ⅳ）（PQ）正則的，若對?x∈X 和?P閉集 G，x?G，存在 P開集 U 和 Q 開集 V，使得 x∈U，G?V，U∩V=?；等價地，對?x∈X和?P開集W，x∈W，存在P開集U，使得x∈U?UQ?W。

若（X，P，Q）既是（PQ）正則又是（QP）正則的，則稱它為配正則的。

（ⅴ）配全正則[19]，若對?x∈X及x任意P開鄰域V，存在P上半連續(xù)函數(shù)和Q下半連續(xù)函數(shù)f：X→[0，1]使得 f（x）=0，f（Vc）=1，并且交換上述 P 和 Q 時也成立。

顯然若雙拓撲空間是配T1，則它一定是配T0的；若它是配T2的，則它一定是配T1。一般地，若T是某拓撲性質(zhì)，雙拓撲空間（X，P，Q）是配 T 的，指（X，P，Q）既滿足（PQ）T 性，又滿足（QP）T 性。

定義 2[2]稱二元算子*：[0，1]×[0，1]→[0，1]是連續(xù) t模，如果它滿足：

（?。゛*b=b*a 和 a*（b*c）=（a*b）*c，?a，b，c∈[0，1]；

（ⅱ）*是連續(xù)的；

（ⅲ）a*1＝a，?a∈[0，1]；

（ⅳ）當 a≤c 和 b≤d（a，b，c，d∈[0，1]）時，a*b≤c*d。

根據(jù)定義，容易驗證連續(xù)t模*滿足以下性質(zhì)：

性質(zhì) 1[2]設(shè)算子*：[0，1]×[0，1]→[0，1]是連續(xù) t模，

（1）若 r1＞r2，則?r3∈（0，1），使得 r1*r3≥r2，其中 r1，r2∈（0，1）；

（2）?r4∈（0，1），則?r5∈（0，1），使得 r5*r5≥r4。

上述性質(zhì)可進一步加強為如下形式：

性質(zhì) 2 設(shè)算子*：[0，1]×[0，1]→[0，1]是連續(xù) t模，則：

（?。┤?r1＞r2，則?r3∈（0，1），使得 r1*r3＞r2，其中 r1，r2∈（0，1）；

（ⅱ）?r4∈（0，1），則?r5∈（r4，1），使得 r5*r5＞r4。

證明 （?。┤?r1＞r2，取 r∈（r2，r1），由性質(zhì) 1（1）可知存在 r3∈（0，1），使得 r1*r3≥r，從而 r1*r3＞r2。

（ⅱ）對?r4∈（0，1），取 r∈（r4，1），由性質(zhì) 1（2）可知存在 r5∈（0，1），使得 r5*r5≥r，從而 r5*r5＞r4。 由于r5=r5*1≥r5*r5，可見 r5＞r4。

定義3 設(shè)X是一非空集合，*是連續(xù)的t模，X上的模糊擬度量M是指映射M：X2×（0，∞）→（0，1]，對?x，y，z∈X，t，s∈（0，∞）滿足如下條件：

（1）M（x，y，t）＞0；（2）M（x，y，t）=1?x=y；（3）M（x，y，t）*M（y，z，s）≤M（x，z，t+s）；（4）M（x，y，·）：（0，∞）→（0，1]是連續(xù)的。

若模糊擬度量 M 滿足對稱性，即 M（x，y，t）=M（y，x，t），?x，y∈X 及 t∈（0，∞），則稱 M 為 X 上的模糊度量。若M為X上的模糊（擬）度量，則（X，M，*）稱為模糊（擬）度量空間。

例1 設(shè)（X，d）是一個（擬）度量空間，定義a*b=ab，并且

則（X，M，*）是模糊（擬）度量空間。 特別地，取 k＝m＝n＝1，于是得到

稱其為由（擬）度量d誘導的標準的模糊（擬）度量。

性質(zhì) 3[11]若（X，M，*）是模糊擬度量空間，?x，y∈X，?r∈（0，1）。 則：

（1）M（x，y，·）是單調(diào)不減的；

（2）?t＞0，若 M（x，y，t）＞1-r，則存在 t0∈（0，t）使得 M（x，y，t0）＞1-r。

若（X，M，*）是一個模糊擬度量空間。 設(shè) x∈X，r∈（0，1），t＞0，稱 X 的子集 BM（x，r，t）={y∈X|M（x，y，t）＞1-r}為以x為心，r為半徑的開球。下列定理的證明可見文獻[11]。

定理1 設(shè)（X，M，*）是一個模糊擬度量空間。如果

則 PM是 X 上的第一可數(shù)的拓撲，{BM（x，1/n，1/n）|n∈N}是點 x的可數(shù)鄰域基。

設(shè)（X，M，*）是一個模糊擬度量空間，定義 M-1：X2×（0，∞）→（0，1]為

則M-1稱M是的逆。顯然M-1也X是上的一個模糊擬度量，因此，也可以導出X上的一個拓撲。下面給出由模糊擬度量M誘導雙拓撲空間的概念。

定義 4 設(shè)（X，M，*）是一個模糊擬度量空間，M-1是 M 的逆。 若 M，M-1分別導出拓撲 PM，QM，則稱（X，PM，QM）是由模糊擬度量M誘導的雙拓撲空間。

文中，（X，PM，QM）總表示由模糊擬度量M誘導的雙拓撲空間。

定義5 設(shè)（X，P，Q）為雙拓撲空間，M為X上模糊擬度量。如果M，M-1分別誘導出拓撲P，Q，則稱雙拓撲空間（X，P，Q）可以由一個模糊擬度量M導出，也稱（X，P，Q）可模糊擬度量化的。

由于 yn∈BM[x，r，t]，即 M（x，yn，t）≥1-r，且*是連續(xù)的，因此

因為 M（x，y，·）連續(xù)，故由 ε 的任意性可知 M（x，y，t）≥1-r。 故 y∈BM[x，r，t]，因此，BM[x，r，t]是一個 QM閉集。

2 模糊擬度量誘導的雙拓撲空間的分離性

該節(jié)主要討論模糊擬度量誘導的雙拓撲空間的分離性。

定理4 由模糊擬度量M誘導的雙拓撲空間（X，PM，QM）是配T2的。

證明 對?x，y∈X，且 x≠y，t＞0，令 M（x，y，t）=r。 由性質(zhì) 2，存在 r1＞r使得 r1*r1＞r，取 U=BM（x，1-r1，t/2），V=BM-1（y，1-r1，t/2）。 顯然 U，V 分別為 PM和 QM開鄰域，并且 x∈U，y∈V。 現(xiàn)證 U∩V=?。 反設(shè)存在 z∈U∩V，則 M（x，z，t/2）＞r1且 M-1（y，z，t/2）＞r1。 于是

矛盾，故 U∩V=?。 綜上所述，（X，PM，QM）是配 T2的。

推論1 模糊擬度量M誘導的雙拓撲空間（X，PM，QM）是配T0和配T1的。

定理5 由模糊擬度量M誘導的雙拓撲空間（X，PM，QM）是配正則的。

證明 只證（X，PM，QM）是（PMQM）正則的，類似可證它是（QMPM）正則的。 對?x0∈X，設(shè) G 是 PM閉集且x0?G，于是存在 t0＞0，r0∈（0，1）使得 BM（x0，r0，t0）∩G=?。 根據(jù) BM-1

的定義，有

選取 s0＜r0，使得（1-s0）*（1-s0）＞1-r0，取

則 U為 PM開集，V為 QM開集，且 x0∈U，G?V。 現(xiàn)證 U∩V=?。 反設(shè)有 z∈U∩V，則有 y0∈G使得 z∈BM（x0，s0，t0/2）且 z∈BM-1（y0，s0，t0/2），從而

于是 y0∈BM（x0，r0，t0），這與 BM（x0，r0，t0）∩G=? 矛盾。 所以（X，PM，QM）是（PMQM）正則的。

定理6 由模糊擬度量M誘導的雙拓撲空間（X，PM，QM）是配全正則的。

證明 第一步：對?x0∈X 及其任意 PM開鄰域 V1，取 G1/2=BM[x0，r1/2，t0]，使得 G1/2?V1。 取 V1/2=BM（x0，r1/2，t0），則 V1/2?G1/2?V1。取 r0＜r1/2，G0=BM[x0，r0，t0]。由定理 3 知 G0?V1/2?G1/2?V1。取 r0＜r1/4＜r1/2＜r3/4＜r1，令 V1/4=BM（x0，r1/4，t0），G1/4=BM[x0，r1/4，t0]，V3/4=BM（x0，r3/4，t0），G1/2=BM[x0，r1/2，t0]。 于是得到

繼續(xù)上述過程，得{Gs}和{Vs}，其中 s=n/2k（n=1，2，…，2k-1；k=1，2，…）。

第二步：將s擴充為全體有理數(shù)Q，具體做法是令

容易驗證集族{Vs：s∈Q}和集族{Gs：s∈Q}滿足當 p＜q 時，Vp?Gp?Vq；對任意的 p≤s≤q，有 Vp?Vs?Gs?Gq。

第三步：對任意 x∈X，定義 H1（x）={s：x∈Vs}，H2（x）={s：x∈Gs}。 因為 Vs?Gs，所以 H1（x）?H2（x），從而infH1（x）≥infH2（x）。 下證 infH1（x）≤infH2（x）。 令 infH2（x）=a，則?ε＞0，?s0∈H2（x），使得 s0＜a+ε。 取 t0∈Q，使得 s0＜t0＜a+ε，則 Gs0?Vt0。 于是 x∈Vt0，即 t0∈H1（x），所以 infH1（x）≤t0＜a+ε。 由 ε 的任意性知 infH1（x）≤a，即infH1（x）≤infH2（x）。 于是得到：infH1（x）=infH2（x），?x∈X。

第四步：定義 f：X→（0，1]為 f（x）=infH1（x）=infH2（x），?x∈X。

（1）首先證明 f（x0）=0，f（x）=1（?x∈V1c）。 由 x0∈G0，可知 f（x0）=0。 若 x∈V1c，由于 s＜1 時，Vs?V1。 因此，對于任意 s∈Q，若 x∈Vs，必有 s≥1。 因此，f（x）=inf{s：x∈Vs}=1。

（2）其次證明f是PM上半連續(xù)函數(shù)和QM下半連續(xù)函數(shù)。

由（1）、（2）及配全正則的定義可知，（X，PM，QM）是配全正則的。

3 模糊擬度量誘導的雙拓撲空間的擬度量化

該節(jié)將證明模糊擬度量誘導的雙拓撲是可擬度量化的。首先利用擬一致結(jié)構(gòu)[20]給出雙拓撲空間可擬度量化的充分條件。

定理7[21]如果雙拓撲空間（X，P，Q）是配T0的且它可以由具有可數(shù)基的擬一致結(jié)構(gòu)u導出，則（X，P，Q）是可擬度量化的。

定理8 設(shè)（X，M，*）是一個模糊擬度量空間，則（X，PM，QM）是可擬度量化的雙拓撲空間。

證明 對任意的 n∈N，定義 Un={（x，y）∈X×X：M（x，y，1/n）＞1-1/n}。 將證明{Un：n∈N}是擬一致結(jié)構(gòu)的一個基。

（1）對任意的 n∈N，由于 M（x，x，1/n）=1＞1-1/n，所以{（x，x）：x∈X}?Un。 又由

所以 Un+1?Un。

（2）對任意的 n∈N，由連續(xù) t模 * 的性質(zhì)可知：存在 m∈N，使得 m＞2n 且（1-1/m）*（1-1/m）＞（1-1/n）。 設(shè)（x，y）∈Um和（y，z）∈Um，由于 M（x，y，·）是單調(diào)不減的，于是有 M（x，z，1/n）≥M（x，z，2/m）。 所以

從而（x，z）∈Un，因此，。

（3）對任意的 Un1∩Un2≠?，取 n3=max{n1，n2}，則有

成立。因此，{Un：n∈N}是某個擬一致結(jié)構(gòu)u的基。

下面證明 PM，QM可由{Un：n∈N}導出。因為對?x∈X，n∈N，有

又由 BM（x，1/n，1/n）是拓撲 PM的鄰域基，所以 PM可由{Un：n∈N}導出。 同理可知 QM可由導出，所以 PM，QM可由{Un：n∈N}導出。

又因（X，PM，QM）是配 T0，由定理 7 知（X，PM，QM）是可擬度量化的。

推論2 雙拓撲空間（X，P，Q）可擬度量化的充要條件為可模糊擬度量化。

證明 充分性由定理8可得，只證必要性。設(shè)存在擬度量d，使得d誘導出雙拓撲（P，Q）。由例題1知d可以誘導出標準的模糊擬度量Md。下面只要證明對上述d，有PMd=P，QMd=Q。

易見：?x，y∈X，?ε＞0，d（x，y）＜ε 當且僅當 Md（x，y，t）＞1-ε/（ε+t）。因此，Bd（x，ε）=BM（x，ε/（ε+t），t），從而P?PMd。 又注意到：?x，y∈X，0＜r＜1，t＞0，Md（x，y，t）＞1-r 當且僅當 d（x，y）＜rt/（1-r），因此，BMd（x，r，t）=Bd（x，rt/（1-r）），可見 PMd?P。 因此，PMd=P。 同理可證 QMd=Q。 故證得（X，P，Q）可以由一個模糊擬度量 Md導出。

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責任編輯：謝金春

Some properties of bitopological spaces generated by fuzzy quasi-metric spaces

YANG Yang，WU Jianrong*
（School of Mathematics and Physics，SUST，Suzhou 215009，China）

A fuzzy quasi-metric space can generate two topologies and hence one bitopology can be determined.In this paper,we investigated some fundamental properties of the bitopological space induced by a fuzzy quasimetric space.The separation properties such as pair-wise T2and pair-wise complete regularity are proved.By means of quasi-uniformity,it is shown that a bitopological space induced by a fuzzy quasi metric space is quasimetrizable.

fuzzy quasi-metric space；bitopological spaces；separation properties；quasi-metrizability

O189.13MR（2010）Subject Classification54E35；54E55

A

2096－3289（2017）04－0014－06

2016－11－30

國家自然科學基金資助項目（11371013）

楊 洋（1992-），男，吉林吉林人，碩士研究生，研究方向：模糊分析學。

*通信作者：吳健榮（1963-），男，博士，教授，碩士生導師，E－mail：jrwu@mail.usts.edu.cn。