■甘肅省金塔縣中學 段福華

功與能相關知識探微

■甘肅省金塔縣中學 段福華

解決力學問題的基本方法概括起來有兩個:一是力的方法,即運用牛頓運動定律結合運動學公式求解;二是功和能的方法,即運用各種功能關系及能量守恒定律求解。一般來說,求解涉及加速度、時間等瞬時關系的勻變速運動(包括直線和曲線運動)問題時,可以用力的方法;求解單個物體的涉及做功和位移、不涉及加速度和時間的問題時,優(yōu)先考慮使用動能定理;若研究對象是相互作用的物體系統(tǒng),且出現(xiàn)能量的轉化情況時,優(yōu)先考慮使用能量守恒定律或機械能守恒定律。顯然,功和能的方法具有更廣泛的應用范圍?，F(xiàn)將功與能相關知識歸納總結如下,希望對同學們的復習備考有所幫助。

一、動能定理

1.內(nèi)容:合外力對物體所做的功等于物體動能的變化。分別對待;(4)若在運動過程中包含幾個不同的物理過程,則在解題時,可以分段考慮,也可以將其視為一個整體過程,應用動能定理求解。

例1泥石流是在雨季由暴雨、洪水將含有沙石且松軟的土質(zhì)山體經(jīng)飽和稀釋后而形成的洪流。泥石流流動的全過程雖然時間很短,但由于其高速前進,具有強大的能量,因而破壞性極大。某課題小組對泥石流的威力進行了模擬研究,他們設計了如圖1甲所示的模型:在水平地面上放置一個質(zhì)量m=4kg的物體,讓其在隨位移均勻減小的水平推力作用下運動。推力F隨位移x的變化情況如圖1乙所示,已知物體與地面間的動摩擦因數(shù)μ=0.5,取g=10m/s2。則:

圖1

(1)在距出發(fā)點多遠處,物體的速度達到最大?

(2)物體在水平面上運動的最大位移是多少?

解析:(1)由圖1乙可知,F隨x變化的函數(shù)方程為F=80-20x。物體的速度最大時,其受到的合力為0,即F=μmg=20N,所以x=3m。

(2)位移最大時,物體的速度一定為0,由動能定理得WF-μmgx=0,由F-x圖像得推力F做的功

3.外力對物體做功與物體動能的關系:外力對物體做正功,物體的動能增加,這一外力有助于物體的運動,是動力;外力對物體做負功,物體的動能減小,這一外力阻礙物體的運動,是阻力,外力對物體做負功往往又稱為物體克服阻力做功。功是能量轉化的量度,外力對物體做了多少功,就有多少動能與其他形式的能發(fā)生轉化。

4.應用動能定理需要注意的四個問題:(1)明確研究對象和研究過程,找出始、末狀態(tài)的速度情況;(2)對物體進行正確的受力分析(包括重力、彈力等),明確各力做功的大小及正、負情況;(3)有些力在運動過程中不是始終存在的,若在運動過程中包含幾個物理過程,且物體的運動狀態(tài)、受力情況均發(fā)生變化,則在考慮外力做功時,必須根據(jù)不同情況,所以x=8m。

點評:物體所受的摩擦力為變力,不能使用W=Flcosα直接求解,應考慮使用動能定理。本題中力F隨x均勻變化,因此變力F做的功可用F-x圖像與坐標軸所圍的面積來計算。

二、機械能守恒定律

1.內(nèi)容:在只有重力或彈力做功的物體系統(tǒng)內(nèi),動能與勢能可以相互轉化,而總的機械能保持不變。

2.表達式:(1)Ek1+Ep1=Ek2+Ep2,即初狀態(tài)的動能與勢能之和等于末狀態(tài)的動能與勢能之和;(2)ΔEk=ΔEp,即動能的增加量(減少量)等于勢能的減少量(增加量);(3)ΔEA增=ΔEB減,即物體A機械能的增加量等于物體B機械能的減少量。

3.判斷機械能守恒的方法:(1)利用機械能的定義直接判斷,根據(jù)E=Ep+Ek,只要動能與勢能的和不變,則機械能守恒;(2)利用做功來判斷,若物體或系統(tǒng)只有重力或彈力做功,雖受其他力,但其他力不做功或做功的代數(shù)和為零,則機械能守恒;(3)利用能量轉化來判斷,若系統(tǒng)中只有動能和勢能的相互轉化而無機械能與其他形式的能的轉化,則機械能守恒。

4.應用機械能守恒定律解決實際問題的一般步驟:(1)明確研究對象和它的運動過程;(2)分析研究對象在運動過程中的受力情況,弄清是否只有系統(tǒng)內(nèi)的重力或彈力做功,判定機械能是否守恒;(3)確定物體運動的始、末狀態(tài),選定零勢能參考平面后確定物體在始、末兩狀態(tài)的機械能;(4)根據(jù)機械能守恒定律列方程求解。

例2如圖2所示,質(zhì)量為m的小球與一根長為l不可伸長的輕繩連接,輕繩的另一端固定于O點?，F(xiàn)將小球拉到與水平方向成30°角的上方(輕繩恰好伸直),然后將小球自由釋放,求小球運動到最低點時受到輕繩的拉力大小。

圖2

解析:小球被釋放后,先做自由落體運動直到輕繩繃緊,設輕繩繃緊時小球的速度為v,則解得v=因為輕繩繃緊的瞬間,小球沿繩方向的分速度v2=vsin30°突變?yōu)?,而小球在垂直于繩方向上的分速度v1=vcos30°不變,所以小球在拉緊輕繩繼續(xù)下擺到最低點的過程中機械能守恒,則小球在最低點做圓周運動所需的向心力為聯(lián)立以上各式解得F=3.5mg。

點評:有些同學在求解本題時,容易忽視小球在過渡處的速度變化和機械能損失,直接對整個過程運用機械能守恒定律,這是由于對隱含信息產(chǎn)生了認識上的錯誤所致。

三、功能關系

1.功能關系的普遍意義:做功的過程就是能量轉化的過程,功是能量轉化的量度,做了多少功就有多少某種形式的能轉化為其他形式的能。

2.重要的功能關系:(1)重力(彈簧的彈力或靜電力)做功對應重力勢能(彈性勢能或電勢能)的改變,即W重=-ΔEp=Ep1-Ep2;(2)合外力對物體做的功等于物體動能的改變,W合=ΔEk=Ek2-Ek1,即動能定理;(3)除重力、彈力以外的其他力做的功W其他與物體機械能的增量相對應,即W其他=ΔE機=E2-E1;(4)系統(tǒng)克服滑動摩擦力做功等于系統(tǒng)中產(chǎn)生的內(nèi)能,即W滑=fs=E內(nèi);(5)安培力做功對應電能的改變,即W安=-ΔE電。

3.應用功能關系需要注意的問題:(1)分清力對“誰”做功,對“誰”做功就對應“誰”的位移,引起“誰”的能量變化;(2)注意功和能之間的一一對應關系,不同的力做功對應不同形式的能的變化。

例3如圖3所示,有一傾角θ=37°的硬桿,其上套一底端固定且勁度系數(shù)k=120N/m的輕彈簧,彈簧與硬桿間無摩擦。一個質(zhì)量m=1kg的小球套在此硬桿上,從P點由靜止開始下滑。已知小球與硬桿間的動摩擦因數(shù)μ=0.5,P點與彈簧自由端Q間的距離L=1m,彈簧的彈性勢能與其形變量x的關系為取g=10m/s2。求小球在運動過程中達到的最大速度vmax。

圖3

解析:設彈簧被壓縮至x處時小球有最大速度vmax,則mgsinθ-μmgcosθ=kx,解得由動能定理得mgsinθ·(L+由功能關系得解得vmax=2m/s。

點評:小球在運動過程中,由小球和彈簧組成的系統(tǒng)的機械能并不守恒,但總的能量是守恒的。

四、能量守恒定律

1.內(nèi)容:能量既不會消滅,也不會創(chuàng)生,它只會從一種形式轉化為其他形式,或者從一個物體轉移到另一個物體,而在轉化或轉移的過程中,能量的總量保持不變。

2.應用能量守恒定律解決實際問題的兩條思路:(1)某種形式的能量減少,一定存在另外形式的能量增加,且減少量和增加量相等;(2)某個物體的能量減少,一定存在別的物體的能量增加,且減少量和增加量相等。

例4(2016年高考全國Ⅱ卷)輕質(zhì)彈簧原長為2l,將彈簧豎直放置在地面上,在其頂端將一質(zhì)量為5m的物體由靜止釋放,當彈簧被壓縮到最短時,彈簧長度為l?，F(xiàn)將該彈簧水平放置,一端固定在A點,另一端與物塊P接觸但不拴結。AB是長度為5l的水平軌道,B端與半徑為l的光滑半圓形軌道BCD相切,半圓形軌道的直徑BD豎直,如圖4所示。物塊P與軌道AB間的動摩擦因數(shù)μ=0.5。用外力推動物塊P,將彈簧壓縮至長度為l,然后釋放,物塊P開始沿軌道運動,重力加速度大小為g。

圖4

(1)若物塊P的質(zhì)量為m,求物塊P到達B點時速度的大小,以及離開半圓形軌道落回到軌道AB上的位置與B點間的距離。

(2)若物塊P能夠滑上半圓形軌道,且仍能沿其滑下,求物塊P質(zhì)量的取值范圍。

解析:(1)將彈簧豎直放置在地面上時,在物體從靜止釋放到彈簧被壓縮到最短(彈簧長度為l)的過程中,物體的動能不變,物體的重力勢能轉化為彈簧的彈性勢能,即彈簧的彈性勢能Ep=5mgl。將該彈簧水平放置,并將彈簧壓縮至長度為l時,彈簧的彈性勢能等于5mgl。物塊P從被釋放到通過B點,由能量守恒定律得5mgl=μmg·4l+在物塊P從B點運動到D點的過程中,由機械能守恒定律得,解得vD=2gl。因為vD＞v,所以物塊P運動到D點后將以水平初速度vD做平拋運動。設物塊P落回到軌道AB上所需時間為t,與B點間的距離為s,則,解得

(2)假設物塊P的質(zhì)量為m1,則在物塊P從被釋放到運動至B點的過程中,由能量守恒定律得若物塊P能夠滑上半圓形軌道,則vB1≥0,解得若物塊P滑上半圓形軌道后還能沿其滑下,則最高不能超過半圓形軌道的中點C,假設物塊P恰好到達C點,則在物塊P由A點運動到C點的過程中,由能量守恒定律得5mgl=μm1g·4l+m1gl,解得故若使物塊P不超過C點,則需綜上所述,物塊P質(zhì)量的取值范圍為

點評:因為教材中沒有給出彈性勢能的計算公式,所以一般需要利用能量守恒定律間接求出。若同一根彈簧的形變量(在彈性限度內(nèi))相同,則彈簧的彈性勢能相同。

(責任編輯 張 巧)