于熙齡

(遼寧大學(xué) 物理學(xué)院,遼寧 沈陽(yáng) 110036)

導(dǎo)出躍遷矩陣元計(jì)算公式的一個(gè)新方法

于熙齡

(遼寧大學(xué) 物理學(xué)院,遼寧 沈陽(yáng) 110036)

從量子場(chǎng)論的量子化思想和基本的理論結(jié)果出發(fā),導(dǎo)出一個(gè)改進(jìn)的躍遷矩陣元的計(jì)算公式,使它更加符合躍遷這一物理過(guò)程發(fā)生、發(fā)展的機(jī)理,可以在更廣泛的范圍內(nèi)應(yīng)用.

量子場(chǎng);躍遷因子;躍遷矩陣元

0 引言

計(jì)算躍遷矩陣元是把量子場(chǎng)的基本理論應(yīng)用于解決許多實(shí)際問(wèn)題的重要途徑.但是我們發(fā)現(xiàn)在現(xiàn)有的有關(guān)文獻(xiàn)中,在處理這個(gè)問(wèn)題時(shí)沒(méi)有把場(chǎng)的量子化思想和基本的理論結(jié)果貫徹其中,反而把物理量和量子態(tài)都看作是時(shí)間的當(dāng)然的連續(xù)函數(shù),使得給出的躍遷矩陣元計(jì)算公式中有許多不盡人意之處.我們?cè)诖藷o(wú)意討論這些問(wèn)題,現(xiàn)在讓我們從另一個(gè)思路出發(fā),即從量子化思想和基本的理論結(jié)果出發(fā),導(dǎo)出一個(gè)具有普遍意義的躍遷矩陣元的計(jì)算公式,使它更加符合躍遷這一物理過(guò)程發(fā)生、發(fā)展的機(jī)理.

1 哈密頓算符及其作用時(shí)間

在相互作用表象中,量子系統(tǒng)的相互作用哈密頓算符與時(shí)間有關(guān),這一點(diǎn)也體現(xiàn)在各量子場(chǎng)平面波展開式中的湮滅算符和產(chǎn)生算符身上,它們起作用的時(shí)間是與包含它們的場(chǎng)量展開式中的時(shí)間t綁定的.它們?cè)谄鹱饔玫臅r(shí)間點(diǎn)上將湮滅和(或)產(chǎn)生一些粒子,使量子態(tài)發(fā)生不連續(xù)的突變.我們?cè)诒疚膮⒖嘉墨I(xiàn)[1]的(12)式中把來(lái)自場(chǎng)量展開式的湮滅算符和產(chǎn)生算符起作用的時(shí)間用下角標(biāo)來(lái)表示.現(xiàn)在,我們將下角標(biāo)移到表達(dá)式內(nèi),把湮滅算符和產(chǎn)生算符改寫成如下形式

(1)

(2)

(3)

任意兩個(gè)相鄰的時(shí)間節(jié)點(diǎn)之間的差可記為

(4)

(5)

在其它時(shí)間節(jié)點(diǎn)處有類似情況.電磁相互作用哈密頓算符HI與此類似.

2 量子態(tài)的演化和躍遷矩陣元

(6)

在以下的推導(dǎo)中,為書寫簡(jiǎn)單,暫時(shí)將變量tk的下角標(biāo)去掉,在最后的結(jié)果中再恢復(fù).為貫徹場(chǎng)量的量子化思想及其基本的理論結(jié)果,我們將上式離散化,改寫成差分形式,有

|t+Δt〉-|t〉=-iHI(t)|t〉Δt

上式的右邊部分可改寫成積分形式,有

或

恢復(fù)下角標(biāo),有

=[1+W(k+1,k)]|k〉

(7)

(7)式給出了相鄰的兩個(gè)量子態(tài)之間的遞推關(guān)系.式中

(8)

當(dāng)m=1時(shí),已如(7)式所示.

當(dāng)m=2時(shí),有

|k+2〉=[1+W(k+2,k+1)]|k+1〉

(9)

把(7)式代入(9)式,有

|k+2〉=[1+W(k+2,k+1)][1+W(k+1,k)]|k〉

(10)

當(dāng)m=3時(shí),同理有

|k+3〉=[1+W(k+3,k+2)][1+W(k+2,k+1)][1+W(k+1,k)]|k〉

…………,

原則上,k可從任意值起,k=(1,2,3,…),遞推到任意的第(k+m)態(tài):

|k+m〉=[1+W(k+m,k+m-1)]……[1+W(k+2,k+1)][1+W(k+1,k]|k〉

(11)

(11)式是利用遞推的方法得到的量子態(tài)演化方程的一般解.現(xiàn)在如果我們把k=1的態(tài)|1〉作為量子反應(yīng)過(guò)程開始的初態(tài),(11)式可簡(jiǎn)單地寫成

|m+1〉=[1+W(m+1,m)]……[1+W(3,2)][1+W(2,1)]|1〉

(12)

考慮到由(12)式給出的量子態(tài)的躍變只是粒子的種類和數(shù)量的改變,不涉及其它的物理?xiàng)l件,得到的|m+1〉態(tài)是個(gè)通解,是各個(gè)可能的特解的線性疊加.如果我們假定第1態(tài)是個(gè)物理?xiàng)l件確定的初態(tài),記為|1〉i,而需要求解的是一個(gè)符合題設(shè)物理?xiàng)l件的特解.這時(shí)可用量子態(tài)的完備性條件

(13)

把(12)式表示成各個(gè)特解的線性疊加,

(14)

再?gòu)闹邪迅信d趣的那一個(gè)特解,例如(14)式中下角標(biāo)為某個(gè)f的那一個(gè),抽取出來(lái),就有

(15)

用符號(hào)Sf,i表示此式中的矩陣元,有

(16)

它就是從確定的態(tài)|1〉i經(jīng)過(guò)m步到達(dá)我們感興趣的態(tài)|m+1〉f的躍遷矩陣元(或躍遷振幅).

3 躍遷矩陣元的簡(jiǎn)化

將(16)式中的連乘積展開,會(huì)得到一個(gè)很復(fù)雜多項(xiàng)式,但是在此多項(xiàng)式中不是每一項(xiàng)都對(duì)躍遷矩陣元有貢獻(xiàn),有的項(xiàng)能夠使量子反應(yīng)過(guò)程從初態(tài)到達(dá)末態(tài),稱這樣的項(xiàng)為有效項(xiàng);相反,有的項(xiàng)對(duì)躍遷矩陣元沒(méi)有貢獻(xiàn),稱為無(wú)效項(xiàng),因此可將它們事先剔除.為剔除那些無(wú)效項(xiàng),既簡(jiǎn)單又明確的辦法是在(16)式中相乘的各因子之間插入類似于(13)式的完備性條件,求出每一步躍遷的矩陣元.例如當(dāng)m=2時(shí),可將(16)式寫成

Sf,i=f〈3|[1+W(3,2][1+W(2,1]|1〉i

={f〈3|[1 +W(3,2]|2〉f1}{f1〈2|[1+W(2,1]|1〉i}

={f〈3|[W(3,2]2〉f1}{f1〈2|[W(2,1]|1〉i}

=Sf,f1Sf1,i

(17)

即從確定的第1態(tài)|1〉i到確定的第3態(tài)|3〉f的躍遷矩陣元等于從第1態(tài)到第2態(tài)的躍遷矩陣元和從第2態(tài)到第3態(tài)的躍遷矩陣元的乘積,而且對(duì)每一步的躍遷矩陣元有貢獻(xiàn)的僅僅是由(8)式給出的躍遷因子W(k+1,k),而與躍遷因子相加的數(shù)字1沒(méi)有貢獻(xiàn).顯然,這種做法可用于其它類似的地方,這樣(16)式可改寫成

Sf,i=Sf,fmSfm,m-1,……Sf2,f1Sf1,,i

(18)

此式就是我們給出的計(jì)算躍遷矩陣元的公式.其中的任何一步都可利用(8)式算出.為使(8)式中的積分呈四維的時(shí)空形式,我們可將哈密頓算符寫成哈密頓密度算符的體積分.例如,在電磁相互作用下,利用(5)式,可寫成

(19)

上述的(16)式是態(tài)的運(yùn)動(dòng)方程(6)在離散的情況下,通過(guò)遞推關(guān)系得到的,其間沒(méi)做任何其他近似,得到的解(11)或(12)是態(tài)方程的嚴(yán)格解,因而這個(gè)解中的躍遷矩陣元(18)式也就當(dāng)然是這個(gè)過(guò)程中躍遷機(jī)理的嚴(yán)格表述.

為描述一個(gè)完整的量子反應(yīng)過(guò)程,需要多少個(gè)時(shí)間節(jié)點(diǎn)呢？是需要無(wú)窮多個(gè)才‘精確’嗎？不是的！現(xiàn)在我們感興趣的絕大多數(shù)問(wèn)題都是只要幾個(gè)節(jié)點(diǎn)就夠了.這是因?yàn)楣茴D算符中包含的湮滅算符和產(chǎn)生算符的總數(shù)有限,在每個(gè)節(jié)點(diǎn)處,哈密頓算符的不同僅在于湮滅算符和產(chǎn)生算符各自的數(shù)目不同,它們的總數(shù)是固定的.因此它們的不同的編排方式也是有限的,每種編排方式都會(huì)很快地重復(fù)出現(xiàn).一個(gè)量子過(guò)程從初態(tài)開始,一經(jīng)達(dá)到終態(tài),過(guò)程就停止了,完成了.這期間需要多少個(gè)節(jié)點(diǎn),可根據(jù)哈密頓算符的結(jié)構(gòu)和已有的物理知識(shí)作出判斷.例如,由(5)式給出的哈密頓密度算符,其中包含三個(gè)場(chǎng)量,每個(gè)場(chǎng)量中有一個(gè)湮滅算符和一個(gè)產(chǎn)生算符,總共六個(gè).如果問(wèn)題不涉及正電子,將正電子的湮滅算符和產(chǎn)生算符排除,就只剩下光子的湮滅算符(a)和產(chǎn)生算符(a+),電子的湮滅算符(c)和電子的產(chǎn)生算符(c+),這四個(gè)算符了.由(5)式可知,把這四個(gè)算符分成每三個(gè)一組的正規(guī)乘積組合,每組內(nèi)必須有一個(gè)電子的湮滅算符,一個(gè)電子的產(chǎn)生算符和一個(gè)光子算符(湮滅算符或產(chǎn)生算符),這就只有兩種組合了:(c+ca)和(c+a+c).對(duì)于我們感興趣的量子反應(yīng)過(guò)程,通常是始末狀態(tài)的粒子都是那些處于自由狀態(tài)時(shí)是穩(wěn)定的粒子.如果過(guò)程是從(c+ca)開始到(c+a+c)結(jié)束,則符合要求的粒子反應(yīng)只需兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的躍遷就可以精確描述了.這時(shí)由(4)式表達(dá)的兩節(jié)點(diǎn)之間的寬度只有一個(gè),因此,這個(gè)時(shí)間寬度既是漲落子q的壽命也是這個(gè)反應(yīng)過(guò)程的特征時(shí)間了.這其中的詳細(xì)情況可參閱本文參考文獻(xiàn)[1].

4 結(jié)語(yǔ)

綜上所述,由于(18)式給出的躍遷矩陣元表達(dá)式是個(gè)精確解,它清楚地反映了躍遷過(guò)程的步驟和機(jī)理.它不是按某個(gè)小量的展開,即它不是‘微擾’展開,因而不屬于‘微擾論’的范疇.對(duì)任何一個(gè)粒子反應(yīng)過(guò)程,只要確定了節(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù),不論是強(qiáng)相互作用還是弱相互作用,不論給出的結(jié)果在數(shù)值上有多么大或多么小,都是有限的精確結(jié)果！

[1] 于熙齡.對(duì)傳播函數(shù)的一個(gè)質(zhì)疑和量子場(chǎng)的漲落[J].遼寧大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版,2017(1)：18-24.

[2] 朱洪元.量子場(chǎng)論[M].北京：科學(xué)出版社,1960.

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[5] 程國(guó)均,楊守智.量子場(chǎng)論引論[M].成都：四川大學(xué)出版社,1980.

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[9] Itzykson C,Zuber J B.Quantum Field Theory[M].McGraw-Hill Inc,1980.

(責(zé)任編輯鄭綏乾)

更正聲明

遼寧大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)2017第1期《對(duì)傳播函數(shù)的一個(gè)質(zhì)疑和量子場(chǎng)的漲落》中的(14)(17)(24)(25)式書寫有誤,它們分別應(yīng)為:

(14)

(17)

(24)

(25)

特此更正.

ANewMethodforDerivingtheFormulaofTransitionMatrixElement

YU Xi-ling

(CollegeofPhysics,LiaoningUniversity,Shenyang110036,China)

The paper is based on quantization of quantum field theory and basic theoretical results,an improved formula for calculating the transition matrix element is derived,which to be make more in line with the mechanism of the occurrence and development of the physical process of transition,which can be used in a wider range of applications.

quantum field;transition factor；transition matrix element

2017-05-14

于熙齡(1937-)，男，沈陽(yáng)人，滿族，教授，從事理論物理研究.

O 413.2

A

1000-5846(2017)03-0229-05