唐曉偉

(齊魯師范學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院,山東 濟(jì)南 250200)

一類不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)的滑模運(yùn)動(dòng)

唐曉偉

(齊魯師范學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院,山東 濟(jì)南 250200)

利用不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)的流轉(zhuǎn)換理論研究了一類不確定項(xiàng)和控制輸入在同一點(diǎn)寫入狀態(tài)方程的二階不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)的滑模運(yùn)動(dòng),給出了分離邊界上可穿越流和滑模運(yùn)動(dòng)出現(xiàn)的解析條件.最后用單擺模型進(jìn)行仿真,驗(yàn)證了結(jié)論的有效性.

不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng);滑模運(yùn)動(dòng);可穿越流

0 引言

不確定項(xiàng)與控制輸入在同一點(diǎn)寫入狀態(tài)方程的控制問題,即匹配條件下的魯棒問題是非線性反饋控制系統(tǒng)中的一類重要問題[1-4].利用李雅普諾夫函數(shù)來設(shè)計(jì)控制律時(shí),李雅普諾夫函數(shù)的選擇是其中的難點(diǎn),因?yàn)橄到y(tǒng)的流在到達(dá)流形時(shí)的狀態(tài)是未知的,我們只能通過系統(tǒng)的特點(diǎn)結(jié)合經(jīng)驗(yàn)來給出備選李雅普諾夫函數(shù),這使其在實(shí)際應(yīng)用過程中受到限制[5].Luo[6-7]在研究不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)的復(fù)雜動(dòng)力學(xué)行為時(shí)提出了流轉(zhuǎn)換理論.該理論可簡潔地描述子系統(tǒng)的流在到達(dá)分離邊界時(shí)的狀態(tài),從而能更清晰地描述系統(tǒng)的復(fù)雜動(dòng)力學(xué)行為.鑒于此,本文我們將利用不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)的流轉(zhuǎn)換理論來研究一類不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)的滑模運(yùn)動(dòng),為非線性反饋控制提供必要的理論前提.

1 預(yù)備知識(shí)

考慮不確定項(xiàng)和控制輸入在同一點(diǎn)寫入狀態(tài)方程的二階系統(tǒng)

(1)

流形S將整個(gè)平面R2分為Ω1和Ω2兩部分,其中

Ω1={(x,y)|ax+y>0)},Ω2={(x,y)|ax+y<0)}.

將系統(tǒng)(1)和分離邊界?Ω12看作是一個(gè)不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng),將其描述為

(2)

F(0)(t,X)=(y,-ay)T,X∈S;

F(1)(t,X)=(y,h(X)+g(X)u)T,X∈Ω1;

F(2)(t,X)=(y,h(X)+g(X)u)T,X∈Ω2.

2 解析條件

對不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)(2),給出如下假設(shè):

(H1):相鄰子系統(tǒng)之間的流的轉(zhuǎn)換具有時(shí)間上的連續(xù)性;

(H2):對于一個(gè)無界的子區(qū)域Ωi,必存在一個(gè)開域Di?Ωi,使得在Di內(nèi)相應(yīng)的向量場和流是有界的;

(H3):對于一個(gè)有界的子區(qū)域Ωi,必存在一個(gè)開域Di?Ωi,使得在Di內(nèi)相應(yīng)的向量場是有界的,但是流可以是無界的.

定義1對不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)(2),假設(shè)在時(shí)刻tm,區(qū)域Ωi內(nèi)的流到達(dá)分離邊界?Ω12,對?ε>0,定義區(qū)域Ωi,i=1,2內(nèi)的流在分離邊界?Ω12法方向上的零階G函數(shù)分別為

(3)

注:式(3)可寫為

(4)

事實(shí)上,將X(1)(tm-ε)在X(1)(tm-)處展開成泰勒級數(shù),有

同樣的,有

定理1分離邊界?Ω12上可穿越流[6]產(chǎn)生的充要條件為

(5)

其中Xm=(x(0)(tm),y(0)(tm))T=(x(tm),y(tm))T,tm為區(qū)域Ωi,i=1,2內(nèi)的流到達(dá)分離邊界?Ω12的時(shí)刻.

證明由不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)的流轉(zhuǎn)換理論可知,分離邊界?Ω12上可穿越流產(chǎn)生的充要條件為

(6)

定理2若對任意的X∈R2,控制輸入u滿足

(7)

則分離邊界?Ω12上會(huì)出現(xiàn)滑模運(yùn)動(dòng)[6].

(8)

若(7)式成立,(8)式顯然成立,即分離邊界?Ω12上會(huì)出現(xiàn)滑模運(yùn)動(dòng).

(9)

其中k>0為常數(shù),則分離邊界?Ω12上會(huì)出現(xiàn)滑模運(yùn)動(dòng).

證明:由(9)式可得,

從而(7)式成立,即分離邊界?Ω12上會(huì)出現(xiàn)滑模運(yùn)動(dòng).

定理3分離邊界?Ω12上滑模運(yùn)動(dòng)消失的充要條件為

(10)

其中tm為滑模運(yùn)動(dòng)消失的時(shí)刻.

證明:由流轉(zhuǎn)換理論知,分離邊界?Ω12上滑模運(yùn)動(dòng)消失的充要條件為

(11)

3 數(shù)值模擬與仿真

考慮如下的單擺系統(tǒng)

(12)

其中m表示單擺的質(zhì)量,l,k0和g0分別為擺線的長度,摩擦系數(shù)和重力加速度.取流形S為x+y=0,當(dāng)|x|≤π,|y|≤π時(shí),系統(tǒng)(12)與流形S所組成的不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)滿足假設(shè)(H1)—(H3).此時(shí),Ω1={(x,y)|x+y>0},Ω2={(x,y)|x+y<0},?Ω12={(x,y)|x+y=0}.

[1] 俞立.魯棒控制[M].北京:清華大學(xué)出版社,2002.

[2] 孔屹剛,王志新.大型風(fēng)電機(jī)組模糊滑模魯棒控制器設(shè)計(jì)與仿真[J].中國電機(jī)工程學(xué)報(bào),2008,28(14):136-141.

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(責(zé)任編輯鄭綏乾)

SlidingMotionforaDiscontinuousDynamicalSystem

TANG Xiao-wei

(MathematicalSchool,QiluNormalUniversity,Jinan250200,China)

The sliding motion for a second-order discontinuous dynamical system with uncertainties and control inputs at the same point is studied by using the flow transporting theory of the discontinuous dynamical systems.The analytical conditions for the passing flow and the sliding motion on the separation boundary are given.Finally,using a pendulum model,the effectiveness of conclusions is verified.

discontinuous dynamical system;sliding motion;passable flow

2017-03-10

國家自然科學(xué)基金(11571208);山東省高?？萍加?jì)劃項(xiàng)目(J16LI13)

唐曉偉(1983-),女,講師, 碩士,主要從事不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)研究,E-mail:dangmy@163.com.

O 231.2

A

1000-5846(2017)03-0197-05