史曉偉
(江蘇省連云港市新浦中學(xué),江蘇 連云港 222002)
高中數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生解題能力的培養(yǎng)
史曉偉
(江蘇省連云港市新浦中學(xué),江蘇 連云港 222002)
高中的數(shù)學(xué)的解法具有多樣性和變通性.在教學(xué)中應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)思考,學(xué)會(huì)發(fā)散性思維,利用已有的知識(shí)去學(xué)會(huì)從不同角度去思考和尋求解法.培養(yǎng)學(xué)生辯證思維和全面思考能力,學(xué)會(huì)變通和沖破定勢(shì)思維的約束.
導(dǎo)數(shù)試題;解法;思考
高中數(shù)學(xué)的試題的解法具有復(fù)雜性,多樣性和變通性等特點(diǎn),在教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)多角度思考,學(xué)會(huì)利用已有的知識(shí)去學(xué)會(huì)思考,培養(yǎng)學(xué)生的解題思維的流暢性,即在短時(shí)間內(nèi)產(chǎn)生大量的猜想,對(duì)一個(gè)問(wèn)題有多種多樣的思路;引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)思維的變通性,即能沖破思維定勢(shì)的約束,及時(shí)調(diào)整思維方式;從學(xué)生學(xué)習(xí)的實(shí)際出發(fā),培養(yǎng)學(xué)生思維的獨(dú)特性,也稱思維的新穎性,即大膽的新設(shè)想、新思路.
例題1 已知函數(shù)f(x)=x2-2acoskπ·lnx(k∈N*,a∈R,且a>0).
(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(2)若k=2010,關(guān)于x的方程f(x)=2ax有唯一解,求a值.
分析本題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等知識(shí)的理解和運(yùn)用能力,考查函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化和化歸、分類討論等數(shù)學(xué)思想方法.第(1)問(wèn)是要求學(xué)生準(zhǔn)確地確定分類的標(biāo)準(zhǔn);第(2)問(wèn),要求正確審題,將方程根的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題.
當(dāng)k是奇數(shù)時(shí),f′(x)>0,則f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù);
(2)若k=2010,則f(x)=x2-2alnx(k∈N*).
若方程f(x)=2ax有唯一解,即g(x)=0有唯一解;
令g′(x)=0,得x2-ax-a=0.因?yàn)閍>0,x>0,
當(dāng)x∈(0,x2)時(shí),g′(x)<0,g(x)在(0,x2)是單調(diào)遞減函數(shù);
當(dāng)x∈(x2,+∞)時(shí),g′(x)>0,g(x)在(x2,+∞)上是單調(diào)遞增函數(shù).
當(dāng)x=x2時(shí),g′(x2)=0,g(x)min=g(x2). 因?yàn)間(x)=0有唯一解,所以g(x2)=0.
兩式相減得alnx2+ax2-a=0, 因?yàn)閍>0,所以2lnx2+x2-1=0 (*).
設(shè)函數(shù)h(x)=2lnx+x-1,因?yàn)樵趚>0時(shí),h(x)是增函數(shù),所以h(x) = 0至多有一解.
數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)具有很大的復(fù)雜性,處理復(fù)雜代數(shù)式的能力及較好的心理素質(zhì)和解題意志力.在解題過(guò)程中需要學(xué)生學(xué)會(huì)發(fā)散性思維,對(duì)同一個(gè)問(wèn)題去多角度去思考.引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)過(guò)思考可用分離參數(shù)法求解該題第二問(wèn).
解法一(分離參數(shù)、數(shù)形結(jié)合)
∵y=x+lnx在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)增且值域?yàn)镽∴y=x+lnx在(0,+∞)上有且只有一個(gè)零點(diǎn),不妨設(shè)零點(diǎn)x=x0∈(0,1)
(1)當(dāng)x+lnx=0時(shí),方程2a(x+lnx)=x2無(wú)解
[1]王燊彬,談高中數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生解題能力的培養(yǎng)[J].中學(xué)教學(xué)參考,2015(05).
[責(zé)任編輯:楊惠民]
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1008-0333(2017)30-0033-02
2017-07-01
史曉偉(1980-),江蘇連云港人,本科,中學(xué)一級(jí)教師,從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)與研究.