駱纖雨

(華中師范大學(xué)附屬中學(xué)高二(9)班，湖北 武漢 430000)

小議數(shù)形結(jié)合求最值

駱纖雨

(華中師范大學(xué)附屬中學(xué)高二(9)班，湖北 武漢 430000)

本文論述了通過直線的斜率、截距、距離以及函數(shù)的增減性求函數(shù)的最值，并在此基礎(chǔ)上通過數(shù)形結(jié)合讓其更形象、更直觀，進(jìn)一步豐富數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合的運用.

數(shù)形結(jié)合；最值

在數(shù)學(xué)問題的解決中，等價轉(zhuǎn)化與數(shù)型結(jié)合思想有著極其重要的應(yīng)用，尤其在一定條件下，求某些式子的最值問題，就可利用數(shù)形結(jié)合的方法，轉(zhuǎn)化為求斜率、截距、距離等問題，從而使問題得到解決.

數(shù)形結(jié)合的思想在數(shù)學(xué)計算最值中有大量的應(yīng)用，特別是在二次函數(shù)、三角函數(shù)等中求最值最為方便快捷，直觀性性也比較強，但是，數(shù)形結(jié)合求最值的最大難點是在如何把這些函數(shù)轉(zhuǎn)變成與幾何圖形相結(jié)合的等價變換，這不僅是個難點，還是重點.下面筆者簡要地對利用直線的斜率、截距、距離求最值進(jìn)行了解題分析與例舉，希望讀者有所收獲.

一、轉(zhuǎn)化為直線的斜率求最值

例1 如圖1，若實數(shù)x、y滿足(x-2)2+y2=3，求y/x的最大值及最小值.

點撥點(2，0)滿足圓的方程，而y/x正是圓上的點與原點連線的斜率如果把(x,y)視為動點，借助圖形觀察，則y/x的最大值和最小值正是由原點向圓所引的兩條切線的斜率.

圖1 圖2

例題演練如實數(shù)x，y滿足(x-2)2+y2=2.89，求y/x的最大值及最小值.方法如上.

二、轉(zhuǎn)化為直線的截距求最值

例2 已知實數(shù)x，y滿足x2+y2=1(y≥0)，求2x+y的取值范圍.

點撥x2+y2=1(y≥0)是以原點為圓心位于x軸上半部分的一個半圓，設(shè)b=2x+y，問題就可以轉(zhuǎn)化為直線與半圓的關(guān)系.

例題演練如實數(shù)x，y滿足x2+y2=2.89(y≥0)，求4x+y的最大值及最小值.方法如上.

三、轉(zhuǎn)化為距離求最值

例3 已知x，y滿足x2+y2+4x-2y-4=0，求x2+y2的最大值.

數(shù)形結(jié)合求最值，直觀方便，但注意轉(zhuǎn)換的時候必須是等價轉(zhuǎn)換，自變量以及值域的范圍既不能縮小也不能擴(kuò)大，否則，就會引起不等價轉(zhuǎn)換，會導(dǎo)致解題錯誤.

四、利用函數(shù)的增減性求最值

利用函數(shù)的增減性求最值，假如函數(shù)y=ax+b是增函數(shù)，那么在區(qū)間[c，d]上的最大值為x=d時y的值，最小值為x=c時y的值；假如函數(shù)y=ax+b是減函數(shù)，那么在區(qū)間[c，d]上的最大值為x=c時y的值，最小值為x=d時y的值.

例4 求y=6x+7在區(qū)間[-1，10]上的最大值與最小值.

解由于y=6x+7在區(qū)間[-1，10]為增函數(shù)，當(dāng)x=-1時，y的最小為1；當(dāng)x=10時，y的最大值為67.

例5 求y=-6x+7在區(qū)間[-1，10]上的最大值與最小值.

解由于y=-6x+7在區(qū)間[-1，10]為減函數(shù)，當(dāng)x=-1時，y的最大為13；當(dāng)x=10時，y的最大值為-53.

例題演練1.求y=5x+7在區(qū)間[1，9]的最大值與最小值.

五、利用函數(shù)圖象的頂點與增減性求最大值與最小值

如果二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象開口朝上，那么頂點就是其最小值，如開口朝下，那么頂點就是其最大值，如求最值的區(qū)間不包括頂點，只是在函數(shù)圖象的一側(cè)，這時可以運用增減性 ，求最值.

例題演練1.求函數(shù)y=2x2+6x+4在區(qū)間[1，5]的最大值與最小值.

[1]南開大學(xué)數(shù)學(xué)系.空間解析幾何引論[M].北京:人民教育出版社，1978.

[2]林崇德等.林崇德《學(xué)習(xí)與發(fā)展》觀介紹[N].中國教育報，1991(03)：31.

[3]袁桂珍等.高中數(shù)學(xué)解題方法與能力訓(xùn)練[M].桂林:廣西師范大學(xué)出版社,1996:29.

[責(zé)任編輯：楊惠民]

2017-07-01

駱纖雨(2000.05-)，浙江省，華中師范大學(xué)第一附屬中學(xué)，高中在讀.

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