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        小議數(shù)形結(jié)合求最值

        2017-11-23 02:55:40駱纖雨
        數(shù)理化解題研究 2017年28期
        關(guān)鍵詞:附屬中學(xué)實數(shù)斜率

        駱纖雨

        (華中師范大學(xué)附屬中學(xué)高二(9)班,湖北 武漢 430000)

        小議數(shù)形結(jié)合求最值

        駱纖雨

        (華中師范大學(xué)附屬中學(xué)高二(9)班,湖北 武漢 430000)

        本文論述了通過直線的斜率、截距、距離以及函數(shù)的增減性求函數(shù)的最值,并在此基礎(chǔ)上通過數(shù)形結(jié)合讓其更形象、更直觀,進一步豐富數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合的運用.

        數(shù)形結(jié)合;最值

        在數(shù)學(xué)問題的解決中,等價轉(zhuǎn)化與數(shù)型結(jié)合思想有著極其重要的應(yīng)用,尤其在一定條件下,求某些式子的最值問題,就可利用數(shù)形結(jié)合的方法,轉(zhuǎn)化為求斜率、截距、距離等問題,從而使問題得到解決.

        數(shù)形結(jié)合的思想在數(shù)學(xué)計算最值中有大量的應(yīng)用,特別是在二次函數(shù)、三角函數(shù)等中求最值最為方便快捷,直觀性性也比較強,但是,數(shù)形結(jié)合求最值的最大難點是在如何把這些函數(shù)轉(zhuǎn)變成與幾何圖形相結(jié)合的等價變換,這不僅是個難點,還是重點.下面筆者簡要地對利用直線的斜率、截距、距離求最值進行了解題分析與例舉,希望讀者有所收獲.

        一、轉(zhuǎn)化為直線的斜率求最值

        例1 如圖1,若實數(shù)x、y滿足(x-2)2+y2=3,求y/x的最大值及最小值.

        點撥點(2,0)滿足圓的方程,而y/x正是圓上的點與原點連線的斜率如果把(x,y)視為動點,借助圖形觀察,則y/x的最大值和最小值正是由原點向圓所引的兩條切線的斜率.

        圖1 圖2

        例題演練如實數(shù)x,y滿足(x-2)2+y2=2.89,求y/x的最大值及最小值.方法如上.

        二、轉(zhuǎn)化為直線的截距求最值

        例2 已知實數(shù)x,y滿足x2+y2=1(y≥0),求2x+y的取值范圍.

        點撥x2+y2=1(y≥0)是以原點為圓心位于x軸上半部分的一個半圓,設(shè)b=2x+y,問題就可以轉(zhuǎn)化為直線與半圓的關(guān)系.

        例題演練如實數(shù)x,y滿足x2+y2=2.89(y≥0),求4x+y的最大值及最小值.方法如上.

        三、轉(zhuǎn)化為距離求最值

        例3 已知x,y滿足x2+y2+4x-2y-4=0,求x2+y2的最大值.

        數(shù)形結(jié)合求最值,直觀方便,但注意轉(zhuǎn)換的時候必須是等價轉(zhuǎn)換,自變量以及值域的范圍既不能縮小也不能擴大,否則,就會引起不等價轉(zhuǎn)換,會導(dǎo)致解題錯誤.

        四、利用函數(shù)的增減性求最值

        利用函數(shù)的增減性求最值,假如函數(shù)y=ax+b是增函數(shù),那么在區(qū)間[c,d]上的最大值為x=d時y的值,最小值為x=c時y的值;假如函數(shù)y=ax+b是減函數(shù),那么在區(qū)間[c,d]上的最大值為x=c時y的值,最小值為x=d時y的值.

        例4 求y=6x+7在區(qū)間[-1,10]上的最大值與最小值.

        解由于y=6x+7在區(qū)間[-1,10]為增函數(shù),當x=-1時,y的最小為1;當x=10時,y的最大值為67.

        例5 求y=-6x+7在區(qū)間[-1,10]上的最大值與最小值.

        解由于y=-6x+7在區(qū)間[-1,10]為減函數(shù),當x=-1時,y的最大為13;當x=10時,y的最大值為-53.

        例題演練1.求y=5x+7在區(qū)間[1,9]的最大值與最小值.

        五、利用函數(shù)圖象的頂點與增減性求最大值與最小值

        如果二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象開口朝上,那么頂點就是其最小值,如開口朝下,那么頂點就是其最大值,如求最值的區(qū)間不包括頂點,只是在函數(shù)圖象的一側(cè),這時可以運用增減性 ,求最值.

        例題演練1.求函數(shù)y=2x2+6x+4在區(qū)間[1,5]的最大值與最小值.

        [1]南開大學(xué)數(shù)學(xué)系.空間解析幾何引論[M].北京:人民教育出版社,1978.

        [2]林崇德等.林崇德《學(xué)習與發(fā)展》觀介紹[N].中國教育報,1991(03):31.

        [3]袁桂珍等.高中數(shù)學(xué)解題方法與能力訓(xùn)練[M].桂林:廣西師范大學(xué)出版社,1996:29.

        [責任編輯:楊惠民]

        2017-07-01

        駱纖雨(2000.05-),浙江省,華中師范大學(xué)第一附屬中學(xué),高中在讀.

        G632

        A

        1008-0333(2017)28-0014-02

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