駱纖雨
(華中師范大學(xué)附屬中學(xué)高二(9)班,湖北 武漢 430000)
小議數(shù)形結(jié)合求最值
駱纖雨
(華中師范大學(xué)附屬中學(xué)高二(9)班,湖北 武漢 430000)
本文論述了通過直線的斜率、截距、距離以及函數(shù)的增減性求函數(shù)的最值,并在此基礎(chǔ)上通過數(shù)形結(jié)合讓其更形象、更直觀,進一步豐富數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合的運用.
數(shù)形結(jié)合;最值
在數(shù)學(xué)問題的解決中,等價轉(zhuǎn)化與數(shù)型結(jié)合思想有著極其重要的應(yīng)用,尤其在一定條件下,求某些式子的最值問題,就可利用數(shù)形結(jié)合的方法,轉(zhuǎn)化為求斜率、截距、距離等問題,從而使問題得到解決.
數(shù)形結(jié)合的思想在數(shù)學(xué)計算最值中有大量的應(yīng)用,特別是在二次函數(shù)、三角函數(shù)等中求最值最為方便快捷,直觀性性也比較強,但是,數(shù)形結(jié)合求最值的最大難點是在如何把這些函數(shù)轉(zhuǎn)變成與幾何圖形相結(jié)合的等價變換,這不僅是個難點,還是重點.下面筆者簡要地對利用直線的斜率、截距、距離求最值進行了解題分析與例舉,希望讀者有所收獲.
例1 如圖1,若實數(shù)x、y滿足(x-2)2+y2=3,求y/x的最大值及最小值.
點撥點(2,0)滿足圓的方程,而y/x正是圓上的點與原點連線的斜率如果把(x,y)視為動點,借助圖形觀察,則y/x的最大值和最小值正是由原點向圓所引的兩條切線的斜率.
圖1 圖2
例題演練如實數(shù)x,y滿足(x-2)2+y2=2.89,求y/x的最大值及最小值.方法如上.
例2 已知實數(shù)x,y滿足x2+y2=1(y≥0),求2x+y的取值范圍.
點撥x2+y2=1(y≥0)是以原點為圓心位于x軸上半部分的一個半圓,設(shè)b=2x+y,問題就可以轉(zhuǎn)化為直線與半圓的關(guān)系.
例題演練如實數(shù)x,y滿足x2+y2=2.89(y≥0),求4x+y的最大值及最小值.方法如上.
例3 已知x,y滿足x2+y2+4x-2y-4=0,求x2+y2的最大值.
數(shù)形結(jié)合求最值,直觀方便,但注意轉(zhuǎn)換的時候必須是等價轉(zhuǎn)換,自變量以及值域的范圍既不能縮小也不能擴大,否則,就會引起不等價轉(zhuǎn)換,會導(dǎo)致解題錯誤.
利用函數(shù)的增減性求最值,假如函數(shù)y=ax+b是增函數(shù),那么在區(qū)間[c,d]上的最大值為x=d時y的值,最小值為x=c時y的值;假如函數(shù)y=ax+b是減函數(shù),那么在區(qū)間[c,d]上的最大值為x=c時y的值,最小值為x=d時y的值.
例4 求y=6x+7在區(qū)間[-1,10]上的最大值與最小值.
解由于y=6x+7在區(qū)間[-1,10]為增函數(shù),當x=-1時,y的最小為1;當x=10時,y的最大值為67.
例5 求y=-6x+7在區(qū)間[-1,10]上的最大值與最小值.
解由于y=-6x+7在區(qū)間[-1,10]為減函數(shù),當x=-1時,y的最大為13;當x=10時,y的最大值為-53.
例題演練1.求y=5x+7在區(qū)間[1,9]的最大值與最小值.
如果二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象開口朝上,那么頂點就是其最小值,如開口朝下,那么頂點就是其最大值,如求最值的區(qū)間不包括頂點,只是在函數(shù)圖象的一側(cè),這時可以運用增減性 ,求最值.
例題演練1.求函數(shù)y=2x2+6x+4在區(qū)間[1,5]的最大值與最小值.
[1]南開大學(xué)數(shù)學(xué)系.空間解析幾何引論[M].北京:人民教育出版社,1978.
[2]林崇德等.林崇德《學(xué)習與發(fā)展》觀介紹[N].中國教育報,1991(03):31.
[3]袁桂珍等.高中數(shù)學(xué)解題方法與能力訓(xùn)練[M].桂林:廣西師范大學(xué)出版社,1996:29.
[責任編輯:楊惠民]
2017-07-01
駱纖雨(2000.05-),浙江省,華中師范大學(xué)第一附屬中學(xué),高中在讀.
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1008-0333(2017)28-0014-02