梅鳳翔

(北京理工大學宇航學院力學系，北京100081)

動軸理論及其應用1)
--理論力學札記之十

梅鳳翔2)

(北京理工大學宇航學院力學系，北京100081)

動軸理論是指用相對動軸系的運動來列寫質(zhì)點或剛體的動力學方程的理論.動軸系可以固連于剛體上，也可以不固連于剛體上.動軸理論給出的方程，有時是方便的.

動軸理論，質(zhì)心運動定理，相對質(zhì)心的動量矩定理

1 對任意動軸的運動方程

研究剛體的一般運動.令 C為剛體的質(zhì)心，Cx′y′z′為正交的動軸系.令 u,v,w 為質(zhì)心速度在這些軸上的投影；θ1,θ2,θ3為動軸系 Cx′y′z′的角速度在這些軸上的投影；令ω1,ω2,ω3是剛體絕對角速度在這些軸上的投影；F′x,F′y,F′z是作用在剛體上的外力的投影；M′x,M′y,M′z為外力對質(zhì)心的矩在這些軸上的投影.運動方程有形式[1]

其中T為剛體的動能，有

其中m為剛體質(zhì)量，A,B,C,F,G,H為剛體對質(zhì)心的慣性矩和慣性積.

由矢量相對導數(shù)和絕對導數(shù)的關系，對任意矢量A有

其中 ω 為動系角速度.令 A 為動量，A =(mu,mv,mw), ω =(θ1,θ2,θ3)，由質(zhì)心運動定理可導出方程(1)的前3個方程；令A為對質(zhì)心的動量矩

則由相對質(zhì)心的動量矩定理可導出方程(1)的后3個方程.方程(1)雖用動能表示，但實際上是質(zhì)心運動定理和相對質(zhì)心的動量矩定理給出的方程.

如果動軸系與剛體固連，則有

而方程(1)成為

方程(2)的后3個方程即為剛體定點運動的Euler動力學方程.

方程 (1)實際上是準坐標下的 Lagrange方程[1]，其中 u,v,w,ω1,ω2,ω3是準速度.方程 (2)的前3個可用來研究質(zhì)點相對地球的運動.

2 動軸理論的應用

動軸理論可應用于建立質(zhì)點和剛體的運動方程.

例1 質(zhì)點的運動微分方程

首先，列寫質(zhì)量為m的質(zhì)點在極坐標(ρ,?)中的方程.取動軸 Cx′沿經(jīng)向，Cy′沿橫向，Cz′垂直于平面，C為質(zhì)點所在位置，動系角速度為θ1=θ2=0,θ3=，則有

方程(1)的前3個給出

即

其次，列寫質(zhì)點在自然軸系中的微分方程.取動軸系 Cx′y′z′，其中 C 為質(zhì)點所在位置，Cx′沿切向，Cy′沿主法向，Cz′沿副法向，則動系角速度為θ1=θ2=0,θ3=.點的速度為

方程(1)的前3個給出

即

這樣用動軸理論列寫了質(zhì)點的運動微分方程.

例2 剛體平面運動動力學方程

在剛體質(zhì)心C上選一動系Cx′y′z′與剛體固連.剛體平面運動的運動學條件為

將其代入方程(2)，得到

平面運動加力的限制為

代入式(4d)和式(4e)，得到

這表明軸 Cz′是主軸，即中心主軸.式(6)是對剛體質(zhì)量分布的限制.剛體平面運動的動力學方程為

在一些理論力學教材，也包括我們編寫的教材中，通常將動力學方程寫成形式其中動系Cx1y1z1是平行于定系的動系，而很少討論平面運動對剛體的質(zhì)量分布的限制.近年與洪嘉振教授、王琪教授討論，方知除運動學條件(3)，力的條件 (5)，還應有質(zhì)量分布條件 (6).當然，條件(6)是由條件(3)和條件(5)導出的.

例3 一剛體在平面Π上有3個接觸點A,B,D，其中A,D是兩腿在平面Π上的支點，可自由滑動，B是固連于剛體上的刀片.試列寫剛體的運動微分方程.

解：首先，用動軸理論.假設外力向點E簡化為一個力F，它垂直于刀片，距刀片為a和一個力偶矩M?，如圖1所示.約束力FN垂直于刀片，限制剛體橫滑.設剛體質(zhì)心在平面Π上的投影為C，而CB垂直于刀片方向，在點C處取與剛體固連的動軸系 Cx′y′z′，其中 Cx′平行于刀片，Cy′在BC方向上，Cz′垂直于平面Π，Cz′為剛體的主軸.動軸系的角速度為 θ1=θ2=0,θ3=?˙.質(zhì)心C的速度在動軸系上的投影為

其中(x,y)為點B的坐標.方程(1)給出

圖1

因Fx′=0，由第一個方程得到積分

即

表示不允許橫滑的非完整約束方程為

代入積分得

這個積分的物理意義是剛體對動軸 Cx′的動量守恒[2].

進而,假設外力的合力FR與過點B的鉛垂軸相交,則方程(4)給出

其中α為合力FR水平投影與Cx′的夾角.由第1,第3個方程消去FR,得到

積分得

它表示剛體對過點B的鉛垂線軸的動量矩守恒[2].其次,用剛體平面運動動力學方程,有

由前兩個方程消去F+FN,得

又

于是有

考慮到非完整約束,上式可寫成形式

由此得到積分

最后，用帶乘子的Lagrange方程.剛體動能為

廣義力為

約束方程為

帶乘子的Lagrange方程給出

比較方程(8)～方程(10),可知動軸理論給出的方程較簡單.

例 4 一半徑為a的勻質(zhì)重球在通過球心C的合力作用下,在完全粗糙水平面Π上滾動.試證球心的運動如同一質(zhì)點在力為5:7作用下的運動.

證明 首先，用動軸理論建立運動方程.在球心 C 處取動軸系 Cx′y′z′,其中平面 Cx′y′水平,軸Cz′鉛垂向上.取定軸系Oxyz,其中平面Oxy在過球心的水平面上,Oz鉛垂向上.點C的坐標為r,θ,如圖2所示.點C的速度為

圖2

動軸系的角速度為

方程(1)給出

其中,F,F′,FN為平面對球體的反力,為合力的分量.

表示球滾動的非完整約束方程為

由方程(11)消去力F,F′,得到

利用約束消去˙ω1,˙ω2,得到

其次,用對固定系的質(zhì)心運動和相對質(zhì)心的運動定理.質(zhì)心運動方程為

因

代入方程(12)前兩個,得到

它們與方程(11)前兩個一致.

最后,用非完整系統(tǒng)的方程,若用Chaplygin方程,需引用 Euler角,列寫方程是很復雜的.若用Boltzmann--Hamel方程也很復雜[3].

文獻[1,3-4]用動軸理論解了一些滾動問題,如一個球在固定球面上的滾動,一個球在動球上的滾動,一個球在鉛垂正圓柱內(nèi)壁上的滾動,平面上的滾盤等.對這些問題,若用非完整動力學的方程反而顯得笨重.20世紀80年代一次會上，呂茂烈先生曾說過，用理論力學方法研究非完整力學有時是方便的.他的話很有道理.

3 結(jié)論

(1)動軸理論給出的方程(1)，盡管是用動能表示的，而實際上是由對動軸系的質(zhì)心運動定理和相對質(zhì)心的動量矩定理給出的方程.

(2)動軸理論給出的方程(1)都包含約束力，因此這個理論應屬于理論力學范疇.

(3)動軸理論可用于建立質(zhì)點和剛體，質(zhì)點系和剛體系的動力學方程.

(4)動軸理論在解一些非完整動力學問題，如滾動問題，冰刀問題等，如果動軸系選得適當，會顯示優(yōu)越性.

1 Whittaker ET.A Treatise on the Analytical Dynamics of Particles and Rigid Bodies.4th Ed.Cambridge:Cambridge Univ Press,1937

2 梅鳳翔.關于動量守恒律和動量矩守恒律.力學與實踐,2003,25(1):56-58

3 梅鳳翔.非完整系統(tǒng)力學基礎.北京:北京工業(yè)學院出版社,1985

4 Routh EJ.The Advanced Part of a Treatise on the Dynamics of a System of Rigid Bodies.6th Ed.New York:Dover,1905

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本文于2017-02-23收到.

1)國家自然科學基金資助項目(11272050,11572034).

2)E-mail:meifx@bit.edu.cn

梅鳳翔.動軸理論及其應用--理論力學札記之十.力學與實踐,2017,39(5):479-483

Mei Fengxiang.Moving axes theory and its application.Mechanics in Engineering,2017,39(5):479-483

(責任編輯:胡 漫)