聶小華 吳存利

(中國飛機(jī)強(qiáng)度研究所，西安710065)

考慮不確定性因素的有限元屈曲模型驗(yàn)證

聶小華 吳存利1)

(中國飛機(jī)強(qiáng)度研究所，西安710065)

研究了考慮不確定性因素的有限元屈曲模型驗(yàn)證和確認(rèn)方法，提出了不確定參數(shù)選擇的相關(guān)性和敏度分析方法以及基于面積度量的模型評(píng)估方法.針對(duì)化銑整體壁板，開展了有限元屈曲模型驗(yàn)證研究，首先利用8件試驗(yàn)件，獲得了壁板屈曲載荷的試驗(yàn)值，然后依據(jù)試驗(yàn)加載情況，建立了考慮試驗(yàn)臺(tái)的壁板有限元模型，最后利用面積度量方法對(duì)有限元模型進(jìn)行了驗(yàn)證和確認(rèn).本文的模型驗(yàn)證和確認(rèn)方法可為其他工程結(jié)構(gòu)開展類似的工作提供借鑒.

整體壁板,建模,模型驗(yàn)證,不確定性,正態(tài)分布,面積度量

有限元仿真模型的驗(yàn)證一直是工程技術(shù)人員感興趣的問題.近年來隨著虛擬試驗(yàn)技術(shù)的發(fā)展和在工程中成功應(yīng)用，有限元模型驗(yàn)證更引起人們廣泛的關(guān)注. 一方面通過模型驗(yàn)證保證虛擬試驗(yàn)結(jié)果對(duì)物理系統(tǒng)或物理過程相關(guān)特性的定量估算是可靠的；另一方面為模型修正提供指導(dǎo).關(guān)于模型驗(yàn)證，最初主要集中在確定性結(jié)構(gòu)或系統(tǒng)，利用物理試驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)有限元模型進(jìn)行驗(yàn)證和確認(rèn)，然而，工程結(jié)構(gòu)中通常包含各種不確定性因素，如不同批次材料的彈性模量、密度參數(shù)，結(jié)構(gòu)制造和工藝引起的幾何尺寸允差，結(jié)構(gòu)的裝配允差，試驗(yàn)中測量允差等,因而工程計(jì)算中所涉及的物理參數(shù)都具有某種程度上的不確定性.由于這些不確定性因素的存在，結(jié)構(gòu)響應(yīng)預(yù)測變得更為復(fù)雜.為了使建立的有限元模型更符合工程實(shí)際，利用試驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)有限元模型驗(yàn)證就應(yīng)充分考慮結(jié)構(gòu)中各個(gè)不確定性因素，以及結(jié)構(gòu)物理試驗(yàn)中的不確定因素.

目前，對(duì)于考慮不確定性因素的模型驗(yàn)證，國外已開展了大量研究，發(fā)展了多種模型驗(yàn)證方法.Ferson等[1]針對(duì)熱分析模型,提出了累積函數(shù)面積度量方法來驗(yàn)證熱分析模型，Thacker等[2]系統(tǒng)討論了累積函數(shù)面積度量的方法，并介紹了Z度量的方法，Hills等[3]詳細(xì)研究了基于最大概似度量的模型驗(yàn)證與評(píng)估方法，并討論了與其他度量方法的等效性,McFarlan等[4]研究了采用多響應(yīng)量對(duì)模型驗(yàn)證，并詮釋了采用多元統(tǒng)計(jì)的Hotelling’s T2檢驗(yàn)來驗(yàn)證模型,Roy等[5]從不確定參數(shù)來源、不確定參數(shù)結(jié)構(gòu)及傳播、模型驗(yàn)證等方面進(jìn)行了全面概述，并通過具體事例進(jìn)行了說明.近年來隨著模型驗(yàn)證技術(shù)的發(fā)展，國外又出版了這方面的專著[68]，制定了模型校核和驗(yàn)證指南[910].對(duì)于考慮不確定性因素的模型驗(yàn)證和確認(rèn)，國內(nèi)也開展了相應(yīng)的研究工作，主要集中在結(jié)構(gòu)動(dòng)力模型[1112]，而對(duì)于靜力有限元模型，目前還未見有公開的資料.

本文研究了考慮不確定性因素的靜力有限元模型的驗(yàn)證方法，討論了模型驗(yàn)證和確認(rèn)方法，包括模型不確定性參數(shù)選取的敏度分析方法，以及基于面積度量的模型驗(yàn)證方法.針對(duì)化銑整體壁板，開展了模型驗(yàn)證研究.首先通過 8件壁板試驗(yàn)件，獲得了壁板整體失穩(wěn)載荷的試驗(yàn)結(jié)果，然后依據(jù)試驗(yàn)支持和加載方式，建立了化銑整體壁板有限元模型，最后利用面積度量方法完成了對(duì)有限元模型的驗(yàn)證和確認(rèn).

1 考慮不確定因素的模型驗(yàn)證方法

1.1 相關(guān)性和敏度分析

考慮不確定性因素的模型驗(yàn)證，首先需要選擇不確定性參數(shù)，實(shí)際結(jié)構(gòu)含不確定性參數(shù)較多，這種不確定性包括幾何、材料、載荷、邊界條件，每一類不確定性對(duì)預(yù)測結(jié)果可能都有影響，為了尋找對(duì)預(yù)測結(jié)果影響較大的參數(shù)，需要進(jìn)行相關(guān)性和敏度分析.

對(duì)多變量系統(tǒng)，傳統(tǒng)的敏度分析采用只變化一個(gè)參數(shù)，其他參數(shù)取恒定值的策略.這種方法得到的敏度值是一個(gè)局部值，不能衡量參數(shù)在整個(gè)取值范圍內(nèi)對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)的影響.本文對(duì)不確定性參數(shù)相關(guān)性和敏度分析，采用隨機(jī)分析方法，其過程如下.

假設(shè)有n個(gè)隨機(jī)參數(shù)，第i個(gè)隨機(jī)參數(shù)的均值和標(biāo)準(zhǔn)差為μi和σi,其第j個(gè)樣本可以表示為

式中，xij表示對(duì)第i個(gè)隨機(jī)參數(shù)的第j次抽樣，fi為第i個(gè)隨機(jī)參數(shù)的概率密度函數(shù),Rand[fi(μi,σi)]j表示對(duì)服從概率密度函數(shù)為fi的隨機(jī)變量第j次隨機(jī)抽樣.

對(duì)n個(gè)隨機(jī)參數(shù)分別進(jìn)行m次抽樣，得到每個(gè)隨機(jī)參數(shù)的m個(gè)樣本，利用樣本通過模型計(jì)算，得到結(jié)構(gòu)響應(yīng)值的m個(gè)樣本，即

獲得了隨機(jī)參數(shù)樣本和模型預(yù)測值的樣本，就可以利用統(tǒng)計(jì)方法分析隨機(jī)變量對(duì)模型預(yù)測值的相關(guān)性和敏度.相關(guān)性采用 Spearman秩系數(shù)[13]來度量.Spearman秩系數(shù)是用來考察分析參數(shù)在取值范圍內(nèi)的變化對(duì)輸出量的影響.第i個(gè)隨機(jī)參數(shù)與模型預(yù)測值的Spearman秩系數(shù)可寫為

式中，xij和yj為輸入變量和響應(yīng)輸出變量，R(xij)和R(yj)為xij和yj在其樣本序列中的秩.

實(shí)際上Spearman秩系數(shù)是輸入和輸出參數(shù)之間相互關(guān)系的非線性度量，用于度量變量之間相互關(guān)系的強(qiáng)弱，在沒有重復(fù)數(shù)據(jù)的情況下，如果一個(gè)參數(shù)隨另一個(gè)參數(shù)的變化是嚴(yán)格單調(diào)的，則Spearman秩系數(shù)就是1或?1.系數(shù)為1意味著輸入?yún)?shù)和響應(yīng)值為正相關(guān)，而?1為負(fù)相關(guān).在計(jì)算樣本秩時(shí)，如果某幾個(gè)樣本相同，則這些樣本的秩取其平均值.

響應(yīng)量對(duì)輸入?yún)?shù)的敏度可以采用最小二乘法得到，第i個(gè)參數(shù)與響應(yīng)量的相關(guān)系數(shù)是

式中,xij和yj分別為輸入變量和響應(yīng)輸出變量，ˉxi為xij的均值，ˉy為yj的均值.

由式(4)計(jì)算的敏度值的大小與輸入?yún)?shù)的量級(jí)有關(guān)，比如材料的楊氏模量為100GPa，而泊松比為0.1，為了消除參數(shù)量級(jí)對(duì)敏度大小的影響，采用折算敏度量，即

相關(guān)性和敏度分析指明了模型對(duì)輸入?yún)?shù)的依賴性.它可以用來指導(dǎo)對(duì)模型不確定參數(shù)的選擇，數(shù)學(xué)模型對(duì)參數(shù)的依賴性也指明了物理系統(tǒng)對(duì)參數(shù)的依賴性.

1.2 模型驗(yàn)證方法

對(duì)模型驗(yàn)證，工程中通常采用4種方法：(1)假設(shè)檢驗(yàn)；(2)貝葉斯方法；(3)均值比較；(4)面積度量方法.前3種方法都有其固有的缺點(diǎn).例如假設(shè)檢驗(yàn)先對(duì)所研究的問題作假設(shè)，然后根據(jù)某統(tǒng)計(jì)量的值，以及給定的顯著性水平進(jìn)行檢驗(yàn)，作出拒絕或接受的判斷，這與模型驗(yàn)證有顯著區(qū)別，模型驗(yàn)證是定量評(píng)估模型的精度.貝葉斯方法多用來對(duì)模型修正，而均值比較也只能是模型預(yù)測值和試驗(yàn)值集中趨勢的比較，不能定量評(píng)估模型好壞.實(shí)際上，預(yù)測值概率分布包含了大量模型信息，利用預(yù)測值和試驗(yàn)值的概率密度分布函數(shù)或累積分布函數(shù)來客觀地度量有限元模型逼近數(shù)學(xué)模型的程度是恰當(dāng)?shù)模谑敲娣e度量方法被提出了[1]，并被進(jìn)一步得到詮釋[10].

面積度量方法定義如下

式中，F(xiàn)mod(y)和Fexp(y)分別是模型預(yù)測值和試驗(yàn)值的累積分布函數(shù)，μexp為試驗(yàn)值的均值.上式積分的含義是模型預(yù)測結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果累積分布函數(shù)曲線所圍成的面積，其值越小，表明模型越能模擬實(shí)際物理結(jié)構(gòu).

從式(6)可以看出，面積度量非負(fù).如果模型預(yù)測值和試驗(yàn)值的累積函數(shù)完全相同，面積度量值為零.對(duì)于模型確認(rèn)的閾值，文獻(xiàn) [10]建議 M閾值為0.1，即如果Marea≤0.1，模型通過驗(yàn)證，即認(rèn)為模型是合理的，否則模型不被認(rèn)可.

2 化銑整體壁板屈曲有限元模型驗(yàn)證

2.1 試驗(yàn)研究

化銑整體壁板共 8件.試驗(yàn)件構(gòu)型見圖 1,其中試驗(yàn)件高度為典型的翼肋間距，未考慮蒙皮的曲率，試驗(yàn)件高 h=300mm,蒙皮厚度 t=3mm,筋條間距 l=70mm,左右端加筋條距側(cè)邊距離都為l1=35mm.

圖1 試驗(yàn)件構(gòu)型及尺寸

試件在25噸材料試驗(yàn)機(jī)上進(jìn)行端壓，材料試驗(yàn)機(jī)的載荷精度為±1%.用千分表和位移傳感器測量試件的端部壓縮量和蒙皮、長桁的撓度.用YJD-1應(yīng)變儀測量蒙皮，長桁的縱向壓縮和彎曲應(yīng)變.試驗(yàn)裝置見圖2.

圖2 試驗(yàn)裝置

試件置于壓力機(jī)上、下兩臺(tái)面之間，采取平端壓方法.安裝時(shí)試件橫剖面形心對(duì)準(zhǔn)壓力機(jī)壓力中心，并保證試件軸線與壓力機(jī)臺(tái)面垂直，試件兩端面與壓力機(jī)臺(tái)面貼合且平行.為了確定試件受載時(shí)的應(yīng)力水平與臨界屈曲載荷，試件上貼有應(yīng)變片(見圖1)，試件端部位移用百分表來測量.試驗(yàn)時(shí)，先進(jìn)行預(yù)試，加載至估算載荷的30%，進(jìn)行應(yīng)變、位移測量，分析試驗(yàn)情況.在試件狀態(tài)滿足試驗(yàn)要求的情況下，進(jìn)行正式試驗(yàn)，分級(jí)加載，進(jìn)行應(yīng)變、位移測量和變形觀察，直至試件失穩(wěn)破壞為止，記錄失穩(wěn)載荷.

從試驗(yàn)中觀測到8件試驗(yàn)件均因整體失穩(wěn)而導(dǎo)致破壞，破壞前蒙皮無明顯局部失穩(wěn)波形，高載時(shí)，壁板呈柱狀彎曲，突然總體破壞.

圖3給出了試驗(yàn)應(yīng)變隨載荷的變化圖.從圖3可見，試驗(yàn)件前后面相同位置的應(yīng)變(1對(duì)1?，2對(duì)2?，3 對(duì) 3?，4 對(duì) 4?)以及左右應(yīng)變 (1?，2?對(duì) 3?，4?)的測量值存在著明顯的差異，這是由壁板的初曲度，端面與試驗(yàn)機(jī)臺(tái)面不垂直導(dǎo)致壓力不均勻造成的.

表1為試驗(yàn)件屈曲載荷的試驗(yàn)值.試驗(yàn)結(jié)果較為分散，其原因大致有：(1)8件試驗(yàn)件材料來自不同批次的材料，材料差異性引起試驗(yàn)結(jié)果差異；(2)工藝引起化銑厚度差異；(3)壓力不均勻.

圖3 試驗(yàn)應(yīng)變

表1 化銑整體壁板試驗(yàn)結(jié)果

2.2 有限元建模研究

對(duì)化銑整體壁板屈曲載荷分析，首先需要建立有限元模型.由于屈曲載荷與模型的邊界條件、網(wǎng)格密度和單元選擇有關(guān)，因此建模時(shí)重點(diǎn)考慮載荷施加、邊界約束和網(wǎng)格劃分和單元選取等因素.

2.2.1 載荷施加

載荷施加要考慮兩方面因素，一方面需要合理地模擬試驗(yàn)加載的平端壓方法，另一方面要考慮試驗(yàn)件端頭的不平度對(duì)載荷分配的影響.為了能真實(shí)地模擬試驗(yàn)加載情況，對(duì)壓力機(jī)臺(tái)面的部分結(jié)構(gòu)也建立有限元模型，并在模型的上方選取兩個(gè)點(diǎn)作為載荷加載點(diǎn)，這兩個(gè)點(diǎn)應(yīng)在同一個(gè)水平面上，且分別應(yīng)在二分之一試驗(yàn)件形心延長線上，利用多點(diǎn)約束建立加載點(diǎn)和上臺(tái)面的剛體約束.圖4為載荷施加示意圖.

圖4 載荷施加示意圖

如果施加的總載荷為 p，則作用在兩個(gè)加載點(diǎn)上的載荷為

式(7)和式(8)中，η為載荷分配系數(shù)，η取0.5時(shí)，模擬載荷均勻加載；η取其他值，模擬載荷不均勻加載.

2.2.2 邊界約束

邊界約束施加也應(yīng)模擬試驗(yàn)件真實(shí)支持情況，由于試驗(yàn)時(shí)采用平端壓方法，壓力機(jī)臺(tái)面和試驗(yàn)件端面只有z的負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，因此，對(duì)試驗(yàn)件和壓力機(jī)臺(tái)面施加約束如下.將試驗(yàn)件上端頭的加筋和蒙皮內(nèi)側(cè)邊固定在壓力機(jī)上臺(tái)面，對(duì)壓力機(jī)臺(tái)面施加x向和y向的約束.對(duì)于試驗(yàn)件下端面，約束端面上所有z向位移、蒙皮內(nèi)側(cè)邊y向位移和形心點(diǎn)的x位移.這里只對(duì)端頭蒙皮的內(nèi)側(cè)邊施加y向約束，其目的是釋放蒙皮端面的面外變形.

2.2.3 材料屬性

由于試驗(yàn)件在材料線性范圍內(nèi)發(fā)生整體屈曲，因此有限元建模時(shí)只考慮材料的線性特性.試驗(yàn)件材料為Ly12cz，取其彈性模量E為75.362GPa，泊松比μ為0.291.壓力機(jī)臺(tái)面為30CrMnSiNi2A鋼，材料彈性模量為196GPa，泊松比為0.3.

2.2.4網(wǎng)格劃分和單元選擇

在結(jié)構(gòu)屈曲分析計(jì)算中，網(wǎng)格的尺度顯著影響著計(jì)算結(jié)果的精度.Lynch系統(tǒng)地研究了機(jī)身加筋板離散化為曲殼元時(shí)，單元尺度對(duì)解的收斂性的影響[14].研究表明解的收斂性對(duì)網(wǎng)格尺度的要求跟元素類型有密切關(guān)系.對(duì)化銑整體壁板建模，采用實(shí)體單元.下面利用已有理論解的四邊簡支板來確定厚度方向劃分為一個(gè)單元時(shí)，利用商用Abaqus軟件來研究其他方向單元尺度對(duì)解的收斂性的影響.

取試驗(yàn)件1/4蒙皮來研究線性元(C3D8R)和二次元(C3D20R)的尺度對(duì)屈曲載荷的影響.圖5為四邊簡支蒙皮示意圖，圖6為計(jì)算結(jié)果.從圖 6可知，隨著蒙皮長度和寬度方向單元數(shù)增加，采用兩種單元的計(jì)算結(jié)果都收斂到解析解.對(duì)于C3D20R元素，采用較粗的網(wǎng)格就能收斂到理論解.因此對(duì)整體壁板蒙皮建模，采用C3D20R元.

圖5 1/4蒙皮

圖6 單元個(gè)數(shù)對(duì)計(jì)算結(jié)果影響

采用Abaqus軟件前置界面對(duì)整體壁板建模，將筋條和蒙皮分開來建，然后利用 tie命令將筋條和蒙皮綁在一起.為了獲得較高精度的計(jì)算結(jié)果，蒙皮劃分為40×40×1網(wǎng)格.筋條也采用C3D20R元模擬，為了不造成單元形狀的畸變，對(duì)筋條剖面劃分時(shí)忽略了尖角，見圖7，將剖面劃分8份，見圖8，在長度方向劃分為40個(gè)單元.

圖7 筋條簡化

圖8 筋條剖面劃分

對(duì)于與整體壁板連接的壓力機(jī)結(jié)構(gòu)，采用C3D8R體元來離散化. 整個(gè)模型共有 1632個(gè)C3D20R單元，240個(gè) C3D8R單元.試驗(yàn)件與連接結(jié)構(gòu)的有限元模型見圖9.

圖9 整體壁板與連接結(jié)構(gòu)有限元模型

2.3 模型驗(yàn)證

模型驗(yàn)證是通過度量計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果一致性來實(shí)現(xiàn)的.利用已有的試驗(yàn)數(shù)據(jù)，通過統(tǒng)計(jì)方法來驗(yàn)證有限模型，在模型驗(yàn)證中充分考慮試驗(yàn)和建模中一些不確定因素.這些不確定因素包括測量誤差、設(shè)計(jì)允差、制造允差等.為了有效地對(duì)模型評(píng)估，首先需要分析試驗(yàn)和模型中一些不確定量對(duì)預(yù)測結(jié)果的相關(guān)性及敏度，采用式(3)的Spearman秩方法和式(4)的最下二乘方法來研究屈曲載荷對(duì)不確定參數(shù)的相關(guān)性和敏度，然后利用式(6)的面積度量方法對(duì)模型驗(yàn)證.

2.3.1 不確定參數(shù)對(duì)屈曲載荷相關(guān)性和敏度

不確定參數(shù)主要包括載荷系數(shù)η、板的厚度t、筋條寬度b、材料的彈性模量E和泊松比ν，工程分析中認(rèn)為這些隨機(jī)參數(shù)服從正態(tài)分布.表2依據(jù)工程經(jīng)驗(yàn)給出這些隨機(jī)量的均值、變異系數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差以及取值區(qū)域.

表2 隨機(jī)變量統(tǒng)計(jì)性質(zhì)和取值范圍

采用300組隨機(jī)參數(shù)樣本進(jìn)行分析，每個(gè)隨機(jī)參數(shù)的樣本可通過蒙特卡洛方法抽樣得到.由于這些參數(shù)都認(rèn)為服從正態(tài)分布，在實(shí)際操作中,只要知道均值u和標(biāo)準(zhǔn)差σ，就可利用函數(shù)Random.gauss(u,σ)隨機(jī)產(chǎn)生服從均值為u和標(biāo)準(zhǔn)差為σ的樣本.圖10給出了屈曲載荷隨不均勻載荷系數(shù)、結(jié)構(gòu)幾何參數(shù)和材料性能的變化關(guān)系.圖中的均值線的斜率可以看作是屈曲載荷對(duì)每個(gè)變量的敏度.表3也給出了這些隨機(jī)參數(shù)對(duì)屈曲載荷相關(guān)性系數(shù)和敏度值.從表3和圖10可以看出，相對(duì)于載荷系數(shù)和材料泊松比，板的厚度、筋條寬度和材料的彈性模量對(duì)屈曲載荷具有較大的相關(guān)性和敏度，這說明整體壁板的屈曲載荷對(duì)這些參數(shù)有較大的依賴性.因此，對(duì)模型驗(yàn)證，只考慮板的厚度、筋條寬度和材料的彈性模量的不確定性.

圖10 屈曲載荷對(duì)各隨機(jī)量的敏度

表3 隨機(jī)變量的相關(guān)性和敏度

2.3.2 考慮不確定性因素的有限元模型驗(yàn)證

對(duì)模型驗(yàn)證，需要知道模型預(yù)測值和試驗(yàn)值的累積分布函數(shù) (cumulative distribution function,CDF)，然后利用式(6)來計(jì)算二者圍成的面積，再計(jì)算 Marea，如果 Marea≤0.1，可認(rèn)為模型是合理的，即認(rèn)為模型能反映試驗(yàn)件真實(shí)剛度以及支持狀態(tài).

(1)模型預(yù)測值的累積分布函數(shù)

由于壓力不均勻性以及材料泊松比的不確定性對(duì)整體加筋板屈曲載荷影響甚微，在模型驗(yàn)證中，只考慮材料的彈性模量、板的厚度、筋條寬度作為結(jié)構(gòu)的隨機(jī)參數(shù)，3個(gè)隨機(jī)參數(shù)的統(tǒng)計(jì)特性由表2給出.利用Random.gauss函數(shù)獲得這3個(gè)隨機(jī)變量的樣本，將每組樣本代入到參數(shù)化的有限元模型中，通過計(jì)算獲得試驗(yàn)件整體屈曲載荷預(yù)測值.

選取400組樣本進(jìn)行隨機(jī)有限元計(jì)算，獲得400個(gè)壁板整體屈曲載荷樣本值.將樣本值從小到大分成20個(gè)區(qū)間，每個(gè)區(qū)間間距為2kN，計(jì)算落在每個(gè)區(qū)間載荷的頻數(shù)，得到屈曲載荷與各區(qū)間頻數(shù)圖，見圖11.

圖11 屈曲載荷的柱狀分布圖

圖11顯示，在板的厚度、筋條寬度和材料的彈性模量服從正態(tài)分布的情況下，加筋板的整體屈曲載荷也服從正態(tài)分布.因此，可認(rèn)為模型預(yù)測值累積函數(shù)為正態(tài)累積函數(shù).

(2)試驗(yàn)值的累積分布函數(shù)

試驗(yàn)值的統(tǒng)計(jì)分布采用兩種方法給出.一種方法是將化銑整體壁板試驗(yàn)結(jié)果視為服從高斯分布.利用表 1的 8個(gè)試驗(yàn)值，計(jì)算高斯分布的均值和標(biāo)準(zhǔn)差.另一種方法是，構(gòu)造非減的階梯函數(shù)Sn(x)為試驗(yàn)值累積分布函數(shù)[1]，Sn(x)表達(dá)式為

式中，n為試驗(yàn)值樣本總數(shù)，而I(xi,x)為

實(shí)際上，在構(gòu)造Sn(x)時(shí)，假設(shè)了每次試驗(yàn)值的概率為1/n,也意外著Sn(x)每次在縱軸上升幅度為1/n.由兩種方法給出的試驗(yàn)累積分布函數(shù)見圖12.

圖12 兩種方法給出的試驗(yàn)累積分布函數(shù)

(3)模型驗(yàn)證和確認(rèn)

通過計(jì)算模型預(yù)測值和試驗(yàn)結(jié)果的累積分布函數(shù)圍成的面積實(shí)現(xiàn)對(duì)模型評(píng)估和確認(rèn)，如圖 13所示. 圖 13(a)是假定試驗(yàn)值累積分布函數(shù)為高斯的情況，而圖 13(b)為階梯分布的情況. 對(duì)于圖13(a),計(jì)算得到面積度量值為Marea=0.006；對(duì)于圖 13(b)，計(jì)算得到 Marea=0.011.M閾值取 0.1，顯然Marea＜M閾值，表明本文的屈曲分析模型是合理的.

圖13 試驗(yàn)和預(yù)測的CDF及其所圍的面積

圖13 試驗(yàn)和預(yù)測的CDF及其所圍的面積(續(xù))

3 結(jié)論

本文詳細(xì)研究了考慮不確定因素的有限元屈曲模型驗(yàn)證技術(shù)，討論了不確定參數(shù)選取的相關(guān)性分析和敏度分析方法，以及基于面積度量的模型驗(yàn)證方法.以整體加筋板為例說明了模型驗(yàn)證和確認(rèn)的過程.縱觀全文，可以得到如下結(jié)論.

(1)文中提出的考慮不確定因素的有限元模型驗(yàn)證方法，可以有效地對(duì)靜力有限元模型進(jìn)行確認(rèn).模型驗(yàn)證中充分考慮了建模過程和物理試驗(yàn)中的一些不確定因素，借用概率統(tǒng)計(jì)方法對(duì)模型的可靠性進(jìn)行評(píng)價(jià)，避免因不確定因素干擾對(duì)模型可靠與否作出錯(cuò)誤的判斷.

(2)不確定參數(shù)的選擇可采用相關(guān)性分析或敏度分析來實(shí)現(xiàn).利用相關(guān)性或敏度分析，選取對(duì)模型預(yù)測結(jié)果影響較大的參數(shù)，而剔除影響小的參數(shù).

(3)面積度量方法可以有效地對(duì)模型進(jìn)行評(píng)估，通過模型預(yù)測值和試驗(yàn)值的累積分布函數(shù)實(shí)現(xiàn)對(duì)模型的驗(yàn)證.

考慮不確定因素的模型驗(yàn)證技術(shù)需要大量的試驗(yàn)數(shù)據(jù)，以及多次重復(fù)的有限元建模工作，因此需要建立試驗(yàn)數(shù)據(jù)庫，并開展參數(shù)化建模的研究.另外，面積度量方法是利用單響應(yīng)預(yù)測值模型進(jìn)行評(píng)估，還不能用于多響應(yīng)預(yù)測值，因此需要發(fā)展多響應(yīng)預(yù)測值模型評(píng)估技術(shù).

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VALIDATION AND CONFIRMATION OF STATIC FINITE ELEMENT MODEL BY CONSIDERING UNCERTAINTIES

NIE Xiaohua WU Cunli1)
(Aircraft Strength Research Institute of China，Xi’an 710065，China)

The finite element static models are validated by considering uncertain factors.The concepts of the correlation and the sensitivity in selecting uncertain parameters are proposed,as well as a general area metric,to validate finite element models.The model of an integrated stiffened panel is used to demonstrate the validation approach.The physical tests of the integrated stiffened panels are carried out to obtain the buckling loads.The finite element model is built with consideration of the stiffened panel and the test-bed.The reliability of the model is assessed against the experimental data by using the area metric.The validation approach in this paper can be used for similar engineering cases.

integrated stiffened panels,modeling,model validation,uncertainty,normal distribution,area metric

V258.3

A

10.6052/1000-0879-17-047

2017-02-15收到第1稿，2017-03-16收到修改稿.

1)吳存利，研究員，博士，主要從事計(jì)算結(jié)構(gòu)力學(xué)和飛機(jī)強(qiáng)度計(jì)算技術(shù)的研究.E-mail:cunli888@sina.com

聶小華,吳存利.考慮不確定性因素的有限元屈曲模型驗(yàn)證.力學(xué)與實(shí)踐,2017,39(5):460-467 Nie Xiaohua,Wu Cunli.Validation and con fi rmation of static finite element model by considering uncertainties.Mechanics in Engineering,2017,39(5):460-467

(責(zé)任編輯:周冬冬)