王克用 李培超

(上海工程技術大學機械工程學院，上海201620)

Trefftz有限元法的研究進展

王克用1)李培超

(上海工程技術大學機械工程學院，上海201620)

Trefftz有限元法(Trefftz finite element method,TFEM)是一種高效的數值計算方法，兼有傳統(tǒng)有限元法和邊界元法的諸多優(yōu)點.基于雙獨立插值模式，結合雜交泛函和高斯散度定理，推得僅含邊界積分的有限元格式.簡述了過去10年間(2007—2016)Trefftz有限元法在單元域內插值函數、源項處理、特殊功能單元以及非各向同性材料等方面的研究進展，并對未來的發(fā)展趨勢給出了幾點展望.

Trefftz有限元法，域內插值函數，邊界積分，特殊功能單元，無源化處理

引言

Trefftz方法是求解偏微分方程的高效數值方法之一，它是以德國數學家Erich Trefftz(1888-1937)的名字命名的，以紀念他在數學領域的開創(chuàng)性貢獻，但在當時并未引起廣泛重視.在分析網格畸變對薄板單元的影響時，Jirousek等[1]于 1977年首次提出了雜交Trefftz有限元模型.該模型在單元內部和邊界上假設兩套獨立的位移場：單元域內場和網線場.單元域內場可認為是Trefftz有限元法區(qū)別于傳統(tǒng)有限元法的重要標志，其插值函數(常稱為Trefftz函數)精確滿足問題的控制方程.相鄰單元通過網線場在某種雜交意義上關聯成離散的有限元模型.為了推動Trefftz方法在計算力學領域的發(fā)展及應用，自1996年開始，每3年召開一次國際會議，報道Trefftz方法的最新進展及研究成果.表1列出了歷屆Trefftz方法國際會議情況.基于Trefftz方法的數值方法主要包括Trefftz有限元法[23]、Trefftz邊界元法[2,4]以及Trefftz無網格法[57]，其詳細論述可參見相關著作[2-3,5-6].

表1 歷屆Trefftz工程計算方法國際會議

與傳統(tǒng)有限元法相比，Trefftz有限元法的顯著優(yōu)勢表現在以下幾個方面：

(1)單元剛度方程僅涉及邊界積分，這樣可對曲線或多邊形幾何邊界進行建模[29]，同時也使得Trefftz單元對網格畸變不敏感[1012]，降低了求解維數，從而減小了計算量.

(2)單元域內插值函數無需精確滿足單元間的連續(xù)性，而是通過變分泛函使之近似滿足[1316].

(3)通過尋求局部解函數構造域內插值函數，可捕捉不連續(xù)載荷、裂紋、孔洞、夾雜等局部效應問題[2-3,17].

經過40年的發(fā)展，Trefftz有限元法已經從平面彈性問題、板彎曲問題、位勢問題、壓電問題等領域拓展到一些新領域，如牛頓流體的流動問題以及軟組織[1819]或水飽和多孔介質問題[2022].本文僅簡述過去十年來(2007-2016)Trefftz有限元理論的研究進展.

1 單元域內插值函數的構造原理

Trefftz有限元法在單元域內和單元邊界上假定兩套獨立的場函數插值模式 (圖 1).單元域內場可表達為

式中，?e為Γe圍成的單元區(qū)域，ˇue為控制方程中源項誘發(fā)的特解，ue和?ue分別為單元域內和邊界上的場變量，Ne為 Trefftz插值函數，是控制方程的齊次解，?Ne為網線插值函數，可按傳統(tǒng)有限元方法構建，ce和de分別為待定參數和單元節(jié)點自由度列陣.m為截斷的完備解或基本解虛源點的個數.

圖1 基本解Trefftz單元及其源點

在Trefftz有限元理論中，基本形成了基于完備解和基本解的兩種單元構造方法，所構造的單元可分別稱為完備解單元和基本解單元.完備解單元出現得較早，其嚴格的數學理論是由Herrera及其合作者完成的[2326].滿足控制方程的完備解系有無窮多項，在構建域內插值函數時，需要適當截斷而得到有限項(亦稱Trefftz項數)[2].為了避免出現零能模式并使單元性能穩(wěn)定，用來構建Ne的截斷完備解個數必須滿足不等式m≥nd?nr，這里nd和nr分別為單元節(jié)點自由度和剛體運動模式的數目.值得注意的是，此不等式是一個必要但非充分的條件.一般地，Trefftz項數取最小值并不能保證單元剛度矩陣滿秩.在實際應用中，通常需要選取更多的Trefftz項數以確保所構造的單元性能穩(wěn)定，但另一方面項數過多又會導致數值溢出或者病態(tài)系數矩陣.因此，針對不同的工程和物理問題，需要數值驗證確定合理的 Trefftz項數.Choo等[11]利用 Mindlin-Reissner厚板問題解構造出 9自由度三角形 (T32-7)和12自由度四邊形(Q32-11)板彎曲單元，當這兩種單元退化到薄板極限情形下不會出現自鎖現象.Moldovan等[20]基于Biot理論，利用Navier控制方程的自由場解構造域內試函數，從而建立了飽和多孔介質的雜交Trefftz應力元和位移元模型.Wang等[12]從準調和多項式出發(fā)，推得軸對稱位勢問題的完備解插值函數，并構造了4節(jié)點四邊形軸對稱環(huán)狀單元.Rezaiee-Pajand等[27]分析了薄板彎曲問題，并構造了兩種高階雜交Trefftz單元：三角形單元(THT-15)和四邊形單元(QHT-23).為了更好地兼容，采用3節(jié)點Euler-Bernoulli梁的形函數構造網線函數.

由于很難得到一些工程和物理問題的完備解，且截斷Trefftz項數時需要格外小心，才能達到預期精度.為了克服這一缺點，基本解 Trefftz單元應運而生[28].盡管基本解Trefftz單元采用與傳統(tǒng)邊界元法相同的基本解形式，但二者有本質區(qū)別.根據互易定理，傳統(tǒng)邊界元法涉及邊界積分方程，在處理奇異或超奇異積分時會遇到困難，而基本解Trefftz單元因不涉及邊界積分方程完全不受其限.基于雜交Trefftz有限元思想，Qin[2]和 Wang等[28]最早提出了基于基本解的Trefftz有限元模型，并成功應用于二維單層和多層材料的熱傳導分析中.隨后，利用基本解Trefftz有限元法，Wang等[29]分析了正交各向異性平面彈性問題.Cao等[30]利用格林函數形式的基本解作為域內插值函數分析了平面壓電問題，并且對應力集中現象提出了一些新見解.Wang等[13]分析了 Poisson-Boltzmann方程和擴散反應方程等兩類二維Dirichlet問題.首先在通過每個Picard迭代步引入虛擬項，凍結 Poisson方程涉及的非線性項，然后利用僅含邊界積分的基本解Trefftz有限元模型進行求解.為建立基本解單元列式，需在單元域外設置若干虛擬的源點[31]，利用源點和單元節(jié)點的坐標信息計算基本解，進而構建域內插值函數.與完備解方法類似，虛擬源點的最優(yōu)數目也需要通過數值算例驗證.但Wang和Qin建議，采用與單元節(jié)點相同數目的虛源點能夠保證求解精度.由于大多數工程和物理問題的基本解已獲知，因此基于基本解構建域內插值函數的方法十分便捷.表2列出了基于完備解和基本解構造Trefftz插值函數的相關情況對比.另外，關于基本解Trefftz有限元法的綜述文獻可參見文獻[32].

表2 完備解和基本解Trefftz單元情況對比

2 源項的無源化處理

基于前述兩個獨立的場變量插值模式，結合雜交泛函可推得Trefftz單元剛度方程.對于無源項的工程和物理問題，其控制方程是齊次的，在單元剛度方程推導過程中，采用高斯散度定理可直接消除雜交泛函涉及的域積分[2,12].然而，若源項(如彈性問題中的體力或位勢問題中的源匯等)存在，問題的控制方程是非齊次的，高斯散度定理雖仍可消除泛函中的原有域積分，但源項還會衍生另一個新的域積分并出現在單元節(jié)點載荷列陣中[2,3335].以各向同性平面位勢問題為例，其控制方程為Poisson方程，這里考慮第一類和第二類邊界條件，則與該問題等價的雜交泛函Πe為

式中，q1和 q2為沿 x,y坐標方向的勢流，Γeu和Γeq分別為給定位勢e和法向勢流e的邊界，ΓeI為單元交邊界，且有Γe=Γeu∪Γeq∪ΓeI，變量上方的橫線表示給定值.應用高斯散度定理，式(3)可改寫為

對比式 (4)與式 (3)可以看出，上述操作消去了原泛函右邊第一項的域積分 (式 (3)右側第 1項)，但出現了與源項 b相關的新域積分 (式 (4)右側第 2項).此時，單元域內插值函數Nej不再滿足原問題的控制方程，須增加源項b誘發(fā)的特解部分e.眾所周知，在傳統(tǒng)有限元法中，由于單元列式中含有域積分，因此單元形狀受雅可比矩陣控制，相鄰單元邊內角不能接近或等于180?，即單元不能過分扭曲，否則會導致計算結果失真甚至無法獲得解答.為避免出現傳統(tǒng)有限元法面臨的尷尬境地，也為保持Trefftz有限元法僅含邊界積分的獨特優(yōu)勢，研究者們提出了一些處理非齊次方程的方法，但共同作法是將非齊次問題轉化為齊次問題求解.目前，主要有格林函數法和徑向基函數法. 格林函數法解決了帶常體力的平面彈性問題[2].為了處理任意形式的非齊次項情形，Qin[2]和 Wang等[33]基于雙重互易邊界元法的概念提出了徑向基函數法，將徑向基函數定義為歐幾里得距離的變量，來近似表示源項的函數分布.然后對控制方程求解析積分直接獲得相關特解，這樣原問題的求解過程就歸為尋求特解和齊次解的問題.基于這種求解策略，Weiber等[8,19,28,3637]分析了一系列 Poisson類方程的問題.王克用等[3839]通過坐標變換和徑向基函數分析了有源項正交各向異性平面和軸對稱位勢問題.Moldovan[40]構造了Trefftz應力元并分析了非齊次雙曲邊值問題.盡管徑向基函數在處理非齊次問題時非常便捷，但它可能會造成病態(tài)的系數矩陣[41]，不過采取適當的規(guī)則化措施[42]避免解答嚴重失真.

3 特殊功能單元

Trefftz有限元法最大的亮點之一是特殊功能單元.借助這種單元無需局部網格細分，只需在域內插值函數上作調整，就能捕捉各種奇異性或局部效應(如不連續(xù)載荷、角點、裂紋、夾雜和孔洞等)，凸顯出傳統(tǒng)有限元法望塵莫及的效率和優(yōu)勢[2,3132].如前所述，雜交Trefftz單元的域內插值函數精確滿足問題的控制方程.若域內插值函數還滿足奇異或局部效應區(qū)域的邊界條件，則可構造相應的特殊功能單元.在現有文獻中，研究載荷奇異性的特殊功能單元的文章較少，較早的工作是由Jirousek等[43]完成的，他們推得平面應力狀態(tài)下的特解構造了集中載荷單元和分布載荷單元.近期，Wang等[44]針對不連續(xù)載荷引起的局部效應構造了三種特殊功能單元，分別用于分析彈性體上的點載荷、線載荷和面載荷(圖2)，均是基于適當的局部基本解建立的.

在工程實際中，許多結構含有各種各樣的孔洞，如螺孔、工藝孔等. 較早研究孔洞單元的是Piltner[45]，他利用復變 Laurent級數推導了橢圓孔單元，該單元能退化為圓孔和內裂紋單元，屬于Trefftz型特殊功能單元的范疇，但當時Piltner并沒有提出Trefftz有限元的概念.在Piltner[45]工作基礎上，王克用[34]引入旋轉映射函數構造了可任意調整橢圓孔傾角的特殊功能單元，并應用于接觸問題分析中.Leconte等[46]探討了8節(jié)點圓孔單元由線彈性問題推廣至非線性問題(沖擊)的可能性.Wang等[47]分析了平面彈性問題，以格林函數作為域內插值函數構造了圓孔單元.

學習壓力是所有青少年都會面對的壓力之一，也是青少年之間最為普遍存在的壓力。無論是父母和親友的期待，還是學生本身對自己學習上的要求，在所有學習階段對學生產生著極大影響。很多父母都為孩子設計了嚴格的人生路線，要求孩子必須始終遵從，很多青少年都會面對學習的收獲與自身期待不符的問題。這樣的情況十分不利于青少年的心理成長，一些年輕人雖然仍然會取得較好的成績，但無論是生活態(tài)度還是學習態(tài)度都在學習壓力下變得很差。同時，由于社會價值觀的功利化，在小學和中學都過于強調分數對學生的影響，無論是在教學上還是在日常生活中。

圖2 不連續(xù)載荷特殊功能單元

若孔洞內填塞有與其形狀相同、力學性質不同的材料就形成了夾雜，夾雜與基體之間存在相互作用，如顆粒/纖維增強復合材料等非均質材料.對于這種情形的Trefftz有限元建模與分析，始于Zhang等[4850]的工作.他們先后提出了含圖形或橢圓形彈性夾雜/剛性夾雜單元，其構造原理是將原單元分解為兩個邊值子問題，進而建立單元節(jié)點力與位移的關系 (圖 3).觀察發(fā)現，Zhang等[4850]的工作與Voronoi單胞有限元法十分相似，而這種有限元法已經成為模擬非均質材料微觀力學特性的強有力工具.張洪武等[51]基于參數變分原理構造了含夾雜Voronoi單元，分析了非均質材料中夾雜對其宏觀等效彈塑性力學性能的影響.近期，Dong等[52]在Voronoi單胞有限元理論[53]基礎上，提出了Trefftz型Voronoi單胞有限元法，通過引入單元的特征長度，可以有效處理病態(tài)方程情形.在單元域內和邊界上，借助特征長度這個參數可將Trefftz完備函數限定在[0,1]區(qū)間內，這樣能確保系統(tǒng)方程組處于良態(tài)，無需額外的規(guī)則化技術進行處理就能輕松求解.實際上，單元特征長度所起的作用與雜交Trefftz有限元法中通常采用的局部坐標系(o,x,y)[2,12,38-39,43]類同 (圖 1).之后，Dong等[14]將其工作推廣至含橢圓孔洞以及彈性/剛性夾雜單元.緊接著，Dong等[1516]還構造了三維 Trefftz多邊形單元研究球形和橢球形孔洞、夾雜的非均質材料.Wang等[54]則構造了特殊多邊形Voronoi纖維/基體單元，用于分析天然大麻纖維復合材料的熱效應.從構造原理來看，孔洞單元可視為同形狀夾雜單元的特殊情形.此外，Cao等[55]利用適當的局部基本解研究了含缺陷的平面壓電問題，Wang等[5657]研究了平面彈性問題的特殊功能單元.關于基于基本解的Trefftz特殊功能單元的綜述可參見文獻[58].

圖3 非均質結構與Voronoi單元

此外，Bishay等[59]構造了一系列用于分析帶有缺陷、孔洞以及彈性電介質/壓電夾雜的壓電材料單元.每種單元的外邊界條件應用變分原理、配點法或最小二乘法強制滿足，而孔洞/夾雜外圍應力/電荷自由邊界條件則采用配點法/最小二乘法或者特殊解系得到滿足.Hennuyer等[60]構造了一種雜交Trefftz超單元，用于模擬航天器結構在碰撞和沖擊載荷作用下鉚釘裝配體的應力集中情況.為了考慮孔邊帶有初裂紋情形，他們增加了超單元的節(jié)點數，盡管改進后的高階超單元精度有所降低，但仍能對力場進行良好的描繪.Kunter等[61]基于既滿足控制方程又滿足裂紋邊界條件的精確解，構造了Trefftz裂紋單元，且推導了一個含有Dugdale條狀屈服區(qū)域的二維直裂紋的特解.Chen等[62]基于Hellinger--Reissner變分原理提出了一種多邊形角點單元，它雖然可分析含有相互作用的雙菱形、雙正方形和雙矩形孔洞的平面彈性問題，但其只是利用兩個角點單元拼接成孔洞而已.這種單元能夠較好地捕捉角點奇異性，其精度基本不受角點單元尺寸的影響.

4 非各向同性材料

一些天然或人造材料具有熱傳導系數等物性參數隨方向而改變的特性，包括橫觀各向同性、正交各向異性和各向異性.鑒于此，研究者們將目光開始轉向非各向同性材料的Trefftz有限元法研究，獲取非各向同性問題的Trefftz函數成為關鍵一步.目前主要有直接法和間接法等方法，其中間接法又包括坐標變換法和函數變換法.Wang等[29]利用奇異基本解分析了正交各向異性平面彈性問題.Bussamra等[63]利用 Papkovitch-Neuber位移基構造了三維層合板Trefftz應力元，這種單元非常適合p型自適應性和平行計算.Cao等[64]利用格林函數推得了各向異性彈性介質的基本解，構造了基本解Trefftz層合板單元，并用于分析正交各向異性纖維增強復合材料的力學行為.基于雜交Trefftz泛函，Karkon[65]構造了三角形層合板單元 (THT-7)和四邊形層合板單元(QHT-11),分析了各向異性對稱的層合板問題.隨后，Karkon等[66]又利用 THT-7和 QHT-11單元研究了正交各向異性厚板彎曲問題.趙新娟等[67]利用基本解分析了各向異性平面位勢問題.Wang等[68]對位移場變量ui進行函數變換

導得平面彈性功能梯度材料的基本解，進而構造出梯度單元.其中，c和βk分別為材料常數和梯度參數.Fu等[9,37]利用Kirchho ff變換

將以溫度T為場變量的非線性熱傳導問題轉化為新變量φ的常系數線性問題，進而推得原問題的完備解，分析了材料導熱系數隨溫度按冪律和指數變化的情形.王克用及其合作者[10,12,38]利用簡單的坐標變換關系

得到正交各向異性平面和軸對稱位勢問題的完備解，其中ki為沿某一坐標軸的材料特性系數.

此外，Petrolito[69]提出一種雜交Trefftz變分原理[70]，構造了3節(jié)點三角形厚板單元，進行了正交各向異性板的振動和穩(wěn)定性計算.他指出，有限元列式涉及3個剛體模式和1個零能模式，但該零能模式可通過多單元網格劃分自動消除.Petrolito還強調，基于雜交Trefftz變分原理[70]構造的單元可自動通過分片試驗，進而確保數值解收斂.然而，其有限元列式中含有域積分，本質上并不具備Trefftz單元的優(yōu)異品質.

5 展望

Trefftz型有限元法發(fā)展到今天，在諸多應用領域取得了重要的研究進展，它真正體現了傳統(tǒng)有限元法與邊界元法思想的完美融合.在下一階段的研究中，將會在以下幾方面受到更多關注：

(1)基本解單元.伴隨著傳統(tǒng)邊界元法的發(fā)展，大多數工程和物理問題的基本解已獲知，從而可克服尋求完備解系的困難.

(2)特殊功能單元.這類單元不以網格細化為代價即可有效捕捉局部效應，可顯著減少建模工作量和機時，將更受工程界的青睞.

(3)源項處理的新方法.源項的無源化處理可消除單元剛度方程涉及的域積分，從而保持Trefftz有限元法對網格畸變不敏感的獨特優(yōu)勢.

(4)網格自動劃分技術.各種新型(顆?；蚶w維增強)復合材料的不斷涌現，促進了Trefftz夾雜單元的發(fā)展，但相應的多邊形網格劃分技術尚需完善.

(5)多尺度多物理場耦合分析.Trefftz有限元法在數值計算方面的優(yōu)異特性使得多物理場模擬成為可能.另外，跨越從米到微米甚至納米量級的多尺度分析也將是Trefftz有限元法未來的發(fā)展趨向.

(6)豐富完善的源程序代碼.作為一種高效數值計算方法，Trefftz有限元理論唯經程序化才能真正體現其應用價值.

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RESEARCH ADVANCES IN THE TREFFTZ FINITE ELEMENT METHOD

WANG Keyong1)LI Peichao
(School of Mechanical Engineering,Shanghai University of Engineering Science,Shanghai 201620,China)

The Trefftz finite element method(TFEM)is an efficient numerical approach with many joint advantages of the conventinal finite and boundary element methods.Based on the mutual independent interpolation modes,the finite element formulation involving the boundary integrations only is derived by incorporating the hybrid functional and the Gaussian divergence theorem.The research advances in the internal interpolation function,the treatment of the source term,the special-purpose element and the nonisotropic material during the past decade(2007-2016)are reviewed and several directions are pointed out for the future development.

Trefftz finite element method,internal interpolation function,boundary integration,specialpurpose element,non-source treatment

O343.1

A

10.6052/1000-0879-17-115

2017-04-05收到第1稿，2017-05-03收到修改稿.

1)王克用，博士，副教授，主要研究方向為Trefftz有限元法和多孔介質傳熱.E-mail:k.y.wang@126.com

王克用,李培超.Trefftz有限元法的研究進展.力學與實踐,2017,39(5):433-440

Wang Keyong,Li Peichao.Research advances in the Trefftz finite element method.Mechanics in Engineering,2017,39(5):433-440

(責任編輯:胡 漫)