李雯櫻 王 璐 陳惠香

(揚(yáng)州大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，江蘇 揚(yáng)州 225002)

Uq(sl2)的若個子余代數(shù)的自同構(gòu)群①

李雯櫻 王 璐 陳惠香

(揚(yáng)州大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，江蘇 揚(yáng)州 225002)

研究了三維單李代數(shù)的量子包絡(luò)代數(shù)Uq的若干子余代數(shù)的自同構(gòu).首先構(gòu)造了一個余代數(shù)C，證明C同構(gòu)于Uq的某些子余代數(shù)，然后研究C的余代數(shù)自同構(gòu)，給出所有這些自同構(gòu)的表達(dá)式，由此刻畫了C的余代數(shù)自同構(gòu)群的結(jié)構(gòu).

量子包絡(luò)代數(shù)，Hopf代數(shù)，余代數(shù)，余代數(shù)自同構(gòu)，自同構(gòu)群

0 引言

在代數(shù)學(xué)中，各種代數(shù)結(jié)構(gòu)以及它們的自同構(gòu)群是相當(dāng)重要的研究內(nèi)容，這是因?yàn)樽酝瑯?gòu)群是代數(shù)結(jié)構(gòu)的重要不變量，對代數(shù)結(jié)構(gòu)的分類起著重要的作用．許多數(shù)學(xué)工作者都在從事這方面的工作．Kirkman, Procesi和Small給出了量子多項(xiàng)式代數(shù)kq[x,x-1,y,y-1]的自同構(gòu)群[9].Artamonov 確定了量子多項(xiàng)式代數(shù)kq[x,x-1,y]的代數(shù)自同構(gòu)形式[10].kq[x,x-1,y]實(shí)際上同構(gòu)于量子群Uq的非負(fù)部分的Hopf代數(shù)，而有關(guān)量子群Uq的研究工作非常豐富[11, 12]. 利用逆向極限，Chen在文獻(xiàn)[13]中描述了kq[x,x-1,y]的余代數(shù)自同構(gòu)群的結(jié)構(gòu)．本文在上述研究工作的基礎(chǔ)上討論uq的若干子余代數(shù)的自同構(gòu)，我們將通過構(gòu)造一個余代數(shù)C，證明C同構(gòu)于Uq的某些子余代數(shù)，然后研究C的余代數(shù)自同構(gòu)，給出所有這些自同構(gòu)的表達(dá)式，由此刻畫了C的余代數(shù)自同構(gòu)群的結(jié)構(gòu).

1 預(yù)備知識

本文中恒設(shè)k是特征為零的代數(shù)閉域，我們在域k上展開討論. 除非特別指出，本文中所出現(xiàn)的代數(shù)、余代數(shù)、Hopf代數(shù)等都定義在域k上. 用Z表示全體整數(shù)，N表示全體非負(fù)整數(shù)，k*表示k中非零元全體組成的乘法群.有關(guān)代數(shù)、余代數(shù)、Hopf代數(shù)等的基本概念和基本結(jié)論可參閱參考文獻(xiàn)[8, 14, 15].

設(shè)0≠q∈k且q≠±1，三維單Lie代數(shù)sl2的量子包絡(luò)代數(shù)Uq是一個結(jié)合k-代數(shù)，由四個元素E,F,K,K-1生成，關(guān)系式為：

Uq是一個Hopf代數(shù)，其余代數(shù)結(jié)構(gòu)和對極S由下述等式給出：

Δ(E)=1?E+E?K,S(E)=-EK-1,ε(E)=0,
Δ(F)=F?1+K-1?F,S(F)=-KF,ε(F)=0,
Δ(K)=K?K,S(K)=K-1,ε(K)=1,
Δ(K-1)=K-1?K-1,S(K-1)=K,ε(K-1)=1.

下面我們考慮Uq的若干子余代數(shù).先構(gòu)造一個余代數(shù)C,并討論C的一些基本性質(zhì). 設(shè)C是一個k-線性空間，有基{gn,hn|n∈Z},定義k-線性映射Δ∶C→C?C和ε∶C→k為Δ(gn)=gn?gn，Δ(hn)=gn?hn+hn?gn+1，ε(gn)=1,ε(hn)=0，其中n∈Z,則有下述引理.

引理1 (C,Δ,ε)是一個余代數(shù).

證明對任意的n∈Z，有(Δ?id)Δ(gn)=Δ(gn)?gn=gn?gn?gn=gn?Δ(gn)=(id?Δ)Δ(gn)和(Δ?id)Δ(hn)=Δ(gn)?hn+Δ(hn)?gn+1=gn?gn?hn+gn?hn?gn+1+hn?gn+1?gn+1=gn?Δ(hn)+hn?Δ(gn+1)=(id?Δ)Δ(hn),因此有(Δ?id)Δ=(id?Δ)Δ，進(jìn)一步地有，(ε?id)Δ(gn)=ε(gn)gn=gn=(id?ε)Δ(gn),(ε?id)Δ(hn)=ε(gn)hn+ε(hn)gn+1=hn,和(id?ε)Δ(hn)=gnε(hn)+hnε(gn+1)=hn，因此，有(ε?id)Δ=(id?ε)Δ=id，故C是一個余代數(shù)．證畢．

引理2 設(shè)G(C)為余代數(shù)C的group-like元素之集，則G(C)={gn|n∈Z}.

證明直接驗(yàn)證可得．證畢．

2 余代數(shù)C的自同構(gòu)群

在本節(jié)中，我們討論C的余代數(shù)自同構(gòu).

引理3 設(shè)φ∶C→C是一個余代數(shù)自同構(gòu). 則存在一個整數(shù)r使得對任意的整數(shù)n有φ(gn)=gn+r和φ(hn)=αhn+r+β(gn+r-gn+r+1)，其中α,β∈k且α≠0.

證明由引理2知G(C)={gn|n∈Z}，將φ限制在G(C)上，得到G(C)到自身的一個雙射，因此存在整數(shù)集Z的一個置換τ，使得φ(gt)=gτ(t)，t∈Z.

另一方面，有

因此有

(1)

當(dāng)n≠τ(s)且n≠τ(s+1)時(shí)，比較(1)式中項(xiàng)gn?gn的系數(shù)，得到μn=0；當(dāng)n≠τ(s)時(shí)，比較(1)式中項(xiàng)gn?hn的系數(shù)，得到λn=0.因此(1)式就變?yōu)?/p>

λτ(s)hτ(s)?gτ(s)+1=(μτ(s+1)+μτ(s))(gτ(s)?gτ(s+1))+λτ(s)hτ(s)?gτ(s+1).

(2)

引理4 對于任意給定的整數(shù)r，定義線性映射σr∶C→C,σr(gn)=gn+r，σr(hn)=hn+r，n∈Z,則σr是C的一個余代數(shù)自同構(gòu).

證明顯然σr是線性空間的自同構(gòu).又有(εσr)(gn)=ε(gn+r)=1=ε(gn)，(εσr)(hn)=ε(hn+r)=0=ε(hn)，因此有εσr=ε.進(jìn)一步地，我們有(σr?σr)Δ(gn)=(σr?σr)(gn?gn)=σr(gn)?σr(gn)=gn+r?gn+r=gn+r?gn+r=Δ)gn+r)=Δσr(gn)和(σr?σr)Δ(hn)=(σr?σr)(gn?hh+hn?gn+1)=σr(gn)?σr(hn)+σr(hn)?σr(gn+1)=gn+r?hn+r+hn+r?gn+r+1=Δ(hn+r)=Δσr(hn),因此有(σr?σr)Δ=Δσr，故σr是C的一個余代數(shù)自同構(gòu)．證畢．

我們用Aut(C)表示C的余代數(shù)自同構(gòu)群，即Aut(C)是由C的全體余代數(shù)自同構(gòu)關(guān)于映射合成作成的乘法群.令Γ={σr|r∈Z},則直接驗(yàn)證可知，Γ是Aut(C)的一個子群，且σrσt=σr+t，r，t∈Z. 因此，我們有下述引理.

證明顯然σ是一個映射，并且是一個雙射．對于任意的s,t∈Z，有σ(s+t)=σs+t=σsσt，因此σ是一個群同構(gòu)映射．證畢．

令A(yù)ut0(C)={φ∈Aut0(C)|φ(g0)=g0).則直接驗(yàn)證可知Aut0(C)是Aut(C)的一個子群.由前面的引理3知，當(dāng)φ∈Aut0(C)時(shí)，對任意的n∈Z有φ(gn)=gn.

引理6Aut0(C)是Aut(C)的一個正規(guī)子群，且Aut(C)同構(gòu)于正規(guī)子群Aut0(C)與子群Γ的半直積.

證明任取φ∈Aut(C)，及φ′∈Aut0(C)，則由引理3知，存在一個整數(shù)，使得對任意的n∈Z，有φ(gn)=gn+r，因此對任意的n∈Z，有φ-1(gn)=gn-r，所以我們有(φφ′φ-1)(g0)=(φφ′)(g-r=φ(g-r)=g0，從而φφ′φ-1∈Aut0(C),因此Aut0(C)是Aut(C)的正規(guī)子群．又因?yàn)?φσ-r)g0)=φ(g-r)=g0，所以φσ-r∈Aut0(C)，于是φ=(φσ-r)σr∈Aut0(C)Γ，故Aut(C)=Aut0(C)Γ=ΓAut0(C)．顯然Aut0(C)∩Γ={id}，這里id表示C上的恒等映射，也就是群Aut(C)的單位元．這樣就證得了Aut(C)同構(gòu)于正規(guī)子群Aut0(C)與子群Γ的半直積．證畢．

定理1 對于任意一簇非零純量αn∈k*，n∈Z,及一簇純量βn∈k，n∈Z,定義C的線性自同態(tài)φ∶C→為φ(gn)=gn，φ(hn)=αnhn+βn(gn-gn+1)，n∈Z.則φ是C的一個余代數(shù)自同構(gòu)，且φ∈Aut0(C). 反之，任一個余代數(shù)自同構(gòu)φ∈Aut0(C)具有上述形式.

證明設(shè)φ是定理中由給定純量所定義的C的線性自同態(tài)，則φ顯然是C的線性自同構(gòu). 下面驗(yàn)證φ是余代數(shù)同態(tài)，事實(shí)上，有(εφ)(gn)=ε(gn)和

(εφ)(hn)=ε[αnhn+βn(gn-gn+1)]=αn(ε(hn)+βnε(gn)-βnε(gn+1)=0=ε(hn)，

因此εφ=ε.進(jìn)一步地，我們有

(φ?φ)Δ(gn)=(φ?φ)(gn?gn)=φ(gn)?φ(gn)=gn?gn=Δ(gn)=Δφ(gn)

和

(φ?φ)Δ(hn)=(φ?φ)(gn?hn+hn?gn+1)
=gn?(αnhn+βn(gn-gn+1))+(αnhn+βn(gn-gn+1))?gn+1
=αngn?hn+αnhn?gn+1+βngn?gn-βngn+1?gn+1
=αnΔ(hn)+βn(Δ(gn)-Δ(gn+1))
=Δ(αnhn+βn(gn-gn+1))=(Δφφ)(hn),

所以(φ?φ)Δ=Δφ，因此φ是C的余代數(shù)自同構(gòu)，而且φ∈Aut0(C). 定理的最后一個論斷由引理3得到．證畢．

φa(gn)=gn,φa(hn)=αnhn+βn(gn-gn+1),n∈Z,

(3)

而且φa∈Aut0(C).此時(shí)我們有如下結(jié)論.

=φaa′(hn),因此φ是一個群同態(tài)，從而是一個群同構(gòu)．證畢．

其中σr和φa分別由引理5和命題1給出.

((σrφa)(σr′φa′))(gn)=gn+r+r′=(σr+r′φa·r′)a′)(gn)

和

因此，(σrφa)(σr′φa′)=σr+r′φ(a·r′)a′，故定理中給出的映射是群同態(tài)，從而為群同構(gòu)．證畢.

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AutomorphismGroupsofSeveralSubcoalgebrasofUq(sl2)

LI Wen-ying WANG Lu CHEN Hui-xiang

(School of Mathematical Sciences, Yangzhou University, Yangzhou 225002, China)

In this paper, we study the automorphisms of several subcoalgebras of the quantum enveloping algebraUqof three dimensional simple Lie algebra. We first construct a coalgebraC, and show thatCis isomorphic to some subcoalgebras ofUq. Then we study the automorphisms ofC. The coalgebra automorphisms ofCare all described, and the structure of the automorphism group of the coalgebraCare given.

quantum enveloping algebra, Hopf algebra, coalgebra, coalgebra automorphism, automorphism group

2017-05-10

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11571298)資助

陳惠香，E-mail：hxchen@yzu.edu.cn.

O153.3

A

1672-6634(2017)03-0017-04