張科備 王大軼 王有懿

1. 北京控制工程研究所，北京100190 2. 北京空間飛行器總體設計部，北京100194

一種超靜衛(wèi)星動力學建模及控制方法*

張科備1王大軼2王有懿1

1. 北京控制工程研究所，北京100190 2. 北京空間飛行器總體設計部，北京100194

針對Stewart超靜衛(wèi)星載荷和星體平臺在姿態(tài)控制時存在平動和轉(zhuǎn)動耦合問題，提出一種基于廣義動量定理，反映載荷質(zhì)心相對整星質(zhì)心平動和轉(zhuǎn)動耦合因素的動力學建模方法。由于載荷質(zhì)心存在平動位移，極易造成Stewart平臺支桿行程飽和，甚至發(fā)生碰撞。為避免支桿行程飽和，設計了具有平動前饋補償控制的載荷控制器和具有支桿去飽和控制的星體平臺控制器。通過3種姿態(tài)控制模式驗證了控制器的正確性。仿真結(jié)果表明，在星體平臺姿態(tài)實現(xiàn)10″控制精度的基礎上，通過Stewart平臺高精度指向控制，實現(xiàn)載荷0.1″指向控制。星體平臺和載荷控制器在3種姿態(tài)控制模式下都能夠有效實現(xiàn)支桿去飽和控制，避免發(fā)生機械碰撞。

Stewart超靜平臺；廣義動量定理； 動力學建模；飽和控制

天文觀測、高分辨率對地觀測等航天任務要求載荷光軸指向亞角秒級控制。新一代天文望遠鏡詹姆斯韋伯(JWST)要求載荷光軸實現(xiàn)0.01"的指向精度與極高穩(wěn)定度[1]。而制約光學載荷指向精度進一步提高的主要因素是衛(wèi)星本體的微振動，包括高頻擾動和撓性振動。因此，微振動隔離抑制與控制技術(shù)將成為載荷指向精度和穩(wěn)定度進一步提高的關鍵技術(shù)[2-3]，將顯著提升光學載荷成像質(zhì)量。而目前航天器平臺控制精度[4]與亞角秒級指向要求相去甚遠，難以滿足載荷高精度指向和高穩(wěn)定度控制的需求。而具有高精度、高穩(wěn)定度的天基Stewart平臺為解決此類問題提供了新方法，將成為未來載荷控制的關鍵技術(shù)[5]。

然而，Stewart平臺的引入使得載荷與星體平臺分離，這極大復雜化了整星系統(tǒng)的動力學建模和計算機仿真。針對航天器撓性結(jié)構(gòu)振動問題，王等[6-7]采用Stewart平臺進行星體基座振動隔離控制，實現(xiàn)了航天器姿態(tài)穩(wěn)定度優(yōu)于0.00001(°)/s的高穩(wěn)定控制。關等[8-9]針對衛(wèi)星平臺高帶寬控制和隔振效果兩者的耦合關系，提出了光學相機、超靜平臺隔振和姿態(tài)控制一體化設計，從衛(wèi)星結(jié)構(gòu)、控制以及載荷光學方面分析其動力學耦合對載荷視線抖動量的影響。針對多支桿隔振平臺存在通道耦合問題，王等[10-12]設計了解耦合控制方法，將隔振平臺多輸入多輸出系統(tǒng)變?yōu)閱屋斎雴屋敵鼍€性系統(tǒng)，極大地簡化了控制器的設計。Wu等[13-15]采用Kane方法建立Stewart平臺的動力學模型，在考慮載荷質(zhì)心、剛度和阻尼等不確定性情況下設計魯棒控制器，實現(xiàn)了載荷高精度指向控制。Zhang等[16]采用牛頓-歐拉法建立了Stewart平臺通用動力學模型，其被動隔振對象可以為載荷相機或控制力矩陀螺等執(zhí)行機構(gòu)。Xu等[17]在分析非接觸式超靜衛(wèi)星特性的基礎上，采用牛頓-歐拉法建立了載荷-Stewart平臺-星體的動力學模型。Lopes等[18-19]采用廣義動量定律建立了并聯(lián)六支桿Stewart平臺動力學模型，并指出與Kane等方法相比，廣義動量法具有更少的計算負擔。在上述等動力學建模方法中，大多針對Stewart平臺固定基座的情況下進行動力學建模，且只有載荷一級控制，無法反映載荷和星體之間的協(xié)同控制，無法滿足基于Stewart平臺超靜衛(wèi)星的動力學建模和控制的需求。

為折衷處理精確動力學模型帶來較大計算復雜度和數(shù)學仿真需要較少計算復雜度這一矛盾，采用廣義動量法建立了基于Stewart超靜衛(wèi)星動力學模型。模型中，忽略Stewart平臺支桿球鉸之間的摩擦力等次要因素，主要考慮載荷質(zhì)心和整星質(zhì)心平動和轉(zhuǎn)動相互耦合因素，這直接關系著Stewart平臺支桿行程飽和與否。在此基礎上分別設計了具有平動前饋補償控制的載荷控制器，具有支桿去飽和控制的星體平臺控制器。在星體平臺姿態(tài)穩(wěn)定控制的基礎上，通過Stewart高精度控制，實現(xiàn)了載荷的高精度指向和穩(wěn)定控制。通過姿態(tài)穩(wěn)態(tài)控制、載荷主動指向和敏捷機動3種模式驗證控制器的正確性。

1 動力學建模

如圖1所示，基于Stewart超靜衛(wèi)星由載荷、星體平臺以及Stewart平臺組成。定義如下坐標系：整星質(zhì)心坐標系fs(osxsyszs)，原點為整星質(zhì)心os，各坐標軸固連在整星中心剛體上；星體平臺坐標系fb(obxbybzb)，原點為星體平臺質(zhì)心ob，fb與fs平行；載荷坐標系fp(opxpypzp)，原點為載荷質(zhì)心op，fp與fs平行；Stewart平臺下平面坐標系fd(odxdydzd)，原點為Stewart平臺下平面中心點od，fd與fs平行；Rb為ob與os的矢量距在fs系的表達；Rp為op與os的矢量距在fs系的表達；Rd為od與os的矢量距在fs系的表達；rp為載荷質(zhì)量微元dmp與op的矢量距在fp系的表達；rb為星體平臺質(zhì)量微元dmb與ob的矢量距在fb系的表達；rli為Stewart平臺第i個支桿質(zhì)心oli與od的矢量距在fd系的表達。

圖1 衛(wèi)星本體和載荷結(jié)構(gòu)框圖

設Ic為整星慣量，mc為整星質(zhì)量，Ib為星體平臺慣量，mp為星體平臺質(zhì)量。Ili為Stewart平臺第i個支桿的慣量，mli為Stewart平臺第i個支桿質(zhì)量，Ip為載荷慣量，mp為載荷質(zhì)量。定義R1為星體平臺部分，R2為Stewart平臺部分，R3為載荷部分。

1.1 載荷動力學建模

設載荷質(zhì)量微元dmp在慣性系下平動速度為vp，轉(zhuǎn)動角速度為ωp，則載荷質(zhì)心速度、角速度在整星質(zhì)心fs系可表達為：

(1)

則載荷的動量和角動量在fs系下的表達為：

(2)

其中：cps為載荷的一階距在fs系的表達；hp0為載荷的角動量在fs系的表達，定義：

(3)

式中：c3為載荷的一階距在載荷質(zhì)心坐標系fp的表達；Ips為載荷質(zhì)心op相對于整星質(zhì)心os的慣量在fs系的表達，計算：

(4)

(5)

根據(jù)動量定理和角動量定理可得到載荷的動力學方程為：

(6)

式中：fp和fpd為載荷受到的控制力和擾動力；Tp和Tpd為載荷受到的控制力矩和擾動力矩；其中控制力fpc和控制力矩Tpc由Stewart平臺支桿輸出。

1.2 星體平臺動力學建模

設星體平臺質(zhì)量微元dmb在慣性系下平動速度為vb，轉(zhuǎn)動角速度為ωb，則星體平臺速度、角速度在整星質(zhì)心fs系可表達為：

(7)

則星體平臺的動量和角動量在fs系下的表達為：

(8)

式中：cbs為星體平臺一階距在fs系的表達；hp0為星體平臺角動量在fs系的表達，定義為：

(9)

式中：c1為星體平臺的一階距在星體平臺質(zhì)心fb系的表達；Ib為星體平臺質(zhì)心ob相對于整星質(zhì)心os的慣量在fs系的表達。計算為：

(10)

(11)

根據(jù)動量定理和角動量定理可得到星體平臺的動力學方程為：

(12)

式中：fbc和fbd為星體受到的控制力和擾動力；Tbc和Tbd為星體受到的控制力矩和擾動力矩；fbs和Tbs為Stewart平臺對星體平臺施加的反作用力/力矩。

1.3 Stewart平臺動力學建模

如圖2(a)所示，Stewart平臺第i個支桿與載荷面的接觸安裝點為Pi，在星體平臺接觸安裝點為Bi，其單位方向矢量在fd坐標的表達為li。Pi點與載荷質(zhì)心OP的矢量距在fd坐標的表達為pi，Bi點與平臺質(zhì)心Ob的矢量距在fd坐標的表達為bi。當星體平臺固定時，只考慮Stewart平臺與載荷的運動學關系，基于閉環(huán)矢量鏈法有：

Lili=rdp+Rθppi-(rdb+bi)

(13)

(14)

式中：δLi為第i個支桿的伸長量；δrdp為載荷質(zhì)心的平動位移；δθp為載荷的轉(zhuǎn)動角位移量。則Stewart平臺6個支桿的伸長量可表示為：

(15)

其中：δL=[δL1,…,δL6]T，Jp為Stewart平臺對載荷質(zhì)心的雅克比矩陣。同理，Stewart平臺對星體平臺質(zhì)心作用的雅克比矩陣為Jb[13]；

如圖2(b)所示，當Stewart平臺第i個支桿產(chǎn)生伸長量δLi時，其產(chǎn)生的主被動合力為：

(16)

式中，F(xiàn)αi為主動控制力，由控制律輸出決定。

圖2 Stewart平臺單支桿主被動隔振模型

Stewart平臺各個支桿的主被動作用力施加到載荷和星體平臺質(zhì)心，構(gòu)成的合力和合力矩為：

(17)

式中，F(xiàn)=[F1,…,F6]T為Stewart平臺6個支桿主被動作用力。fbs和Tbs為Stewart平臺對星體平臺施加的合成反作用力和力矩。

2 超靜衛(wèi)星隔振與控制策略

2.1 主被動隔振

針對基于Stewart超靜衛(wèi)星星體平臺存在寬頻帶擾動，王等[9]提出按頻率區(qū)間進行分頻段主被動隔振控制的思想：1)低頻段擾動控制，采用低帶寬指向傳感器測量反饋，進行主動隔振和指向控制；2)中頻段擾動抑制，通過帶通傳感器測量反饋，進行主被動擾動抑制控制；3)高頻段抖動隔振抑制，通過設計支桿剛度、阻尼系數(shù)構(gòu)造被動隔振模型，實現(xiàn)高頻抖動隔振抑制。如圖3所示，對于高頻擾動，如CMGs的高頻擾動，通過Stewart平臺被動隔振模型實現(xiàn)高頻抖動的衰減；對于中低頻擾動，如帆板的振動等，通過加入主動隔振控制，顯著降低中頻段的共振峰值。通過設計低頻段的載荷控制器，施加主動指向控制，改善低頻擾動的抑制和指向控制效果，從而實現(xiàn)了超靜平臺的寬頻帶控制[9]。

圖3 主被動隔振控制對比圖

2.2 載荷指向控制

基于Stewart超靜衛(wèi)星不論是在載荷主動指向控制還是在整星敏捷機動，都需要實現(xiàn)載荷的高精度指向。因此，需要設計良好的載荷控制律，實現(xiàn)載荷高精度指向的同時滿足Stewart平臺支桿行程的飽和約束。針對載荷控制器設計，文獻[10-14],在只有載荷姿態(tài)和角速度測量而無載荷平動測量時，僅設計了載荷的轉(zhuǎn)動控制器。雖然也能實現(xiàn)載荷的高精度指向控制，但是Stewart平臺支桿行程較大，容易造成支桿行程飽和，甚至發(fā)生機械碰撞。當載荷質(zhì)心Op繞整星質(zhì)心Os轉(zhuǎn)動時，載荷質(zhì)心Op也存在平動運動。在載荷無平動測量時，需要通過載荷的參考軌跡設計載荷的平動補償，從而避免Stewart平臺支桿行程飽和。則設計的載荷姿態(tài)控制器為：

(18)

式中：ωpr為載荷期望角速度；kpp，kpi和kpd為控制器系數(shù)；Δθp=θpr-θp為載荷誤差姿態(tài)角；θpr為期望姿態(tài)；Δωp=ωpr-ωp為載荷誤差角速度；Δθpi為載荷姿態(tài)誤差積分量。

設計的載荷平動前饋補償為：

(19)

式(18)和(19)分別給出了載荷姿態(tài)控制所需要的主動力/力矩。根據(jù)式(17)，Stewart平臺各個支桿的控制量為：

(20)

式(20)實現(xiàn)載荷的控制力/力矩向Stewart平臺支桿空間的轉(zhuǎn)換。通過力F的控制實現(xiàn)各個支桿伸長量δL的精確控制。設Stewart各個支桿伸長量的控制精度為δLi，則由式(15)可得到姿態(tài)姿態(tài)控制精度為

(21)

式中：Δθj為載荷第j軸的控制精度，j=1，2，3；例如當Stewart平臺支桿伸長量控制精度δli=0.1μm時，可計算出載荷的三軸姿態(tài)控制精度約為0.1″。從而保證了載荷的高精度指向控制。

2.3 星體平臺控制

航天器星體平臺設計控制器時需考慮平臺和載荷之間的相對運動以及Stewart平臺桿長限制等因素。在整星穩(wěn)態(tài)控制期間，通過Stewart平臺支桿控制實現(xiàn)載荷精確指向。由于Stewart平臺每個支桿伸長量受限，當存在長時間干擾時，容易使每個桿行程飽和，甚至造成物理損壞。因此，航天器星體平臺姿態(tài)控制需要考慮各個支桿去飽和控制。

設Stewart平臺支桿的伸長量為δL，星體平臺和載荷之間的相對位置和姿態(tài)關系為

(22)

式中：ΔR3和Δθ3為載荷和星體平臺之間的相對平動位移和轉(zhuǎn)動位移。其相對轉(zhuǎn)動位移Δθ3需要通過星體平臺姿態(tài)控制進行抵消，避免Stewart平臺支桿行程飽和。星體平臺控制器輸出的指令力矩驅(qū)動整星進行姿態(tài)穩(wěn)定控制或敏捷機動控制，因此，星體平臺控制器需要實現(xiàn)整星的姿態(tài)穩(wěn)定控制以及Stewart平臺支桿去飽和控制。設計的衛(wèi)星平臺姿態(tài)控制器為：

(23)

式中：ωb為星體平臺角速度；ωbr為星體平臺期望角速度；θb為星體平臺姿態(tài)角；θbr為星體平臺期望的姿態(tài)角；Ic為整星慣量在fs系的表達：

(24)

上述控制器在保證衛(wèi)星整星姿態(tài)穩(wěn)定控制的同時，還能夠保證衛(wèi)星平臺和載荷之間的相對姿態(tài)角盡可能的小，從而減小Stewart平臺每個支桿的伸長量，實現(xiàn)每個支桿長度去飽和設計。

在將星體平臺-Stewart平臺-載荷視為一體進行姿態(tài)控制時，主要有3種姿態(tài)控制模式：1)：整星姿態(tài)穩(wěn)態(tài)控制；2)：載荷主動指向；3)：整星敏捷機動。模式2時，當載荷和衛(wèi)星本體之間的相對姿態(tài)較大時，通過式(22)計算載荷和星體平臺相對姿態(tài)，通過式(23)實現(xiàn)星體平臺向著載荷指向方向機動，減小Stewart平臺支桿伸長量。模式3時，星體平臺和載荷同時跟蹤同一個參考軌跡進行敏捷機動控制。由于載荷控制周期快，因此載荷的姿態(tài)要超前于衛(wèi)星本體姿態(tài)。設衛(wèi)星本體控制周期為ΔT1，載荷控制周期為ΔT2(ΔT2<<ΔT1)，Stewart平臺支桿最大伸長量為δLmax。由式(22)可知在一個衛(wèi)星本體控制周期ΔT1內(nèi)，載荷規(guī)劃的參考軌跡角速度應滿足：

(25)

超靜衛(wèi)星控制流程圖如圖4所示。模式1時，θpr=θbr為零參考姿態(tài)，整星進行姿態(tài)穩(wěn)定控制。模式2時，星體的參考姿態(tài)θbr為零姿態(tài)，載荷參考姿態(tài)θpr為期望指向姿態(tài)。當Stewart平臺桿長δL達到星體響應狀態(tài)時，星體平臺進行姿態(tài)控制，減小各支桿的伸長量。在模式3時，星體和載荷同時跟蹤同一參考姿態(tài)。

圖4 姿態(tài)控制流程圖

3 仿真算例與分析

Case 1：姿態(tài)穩(wěn)態(tài)控制

在超靜衛(wèi)星仿真平臺上載荷和星體姿態(tài)控制數(shù)學仿真，驗證超靜衛(wèi)星星體平臺和載荷姿態(tài)控制策略的正確性。整星姿態(tài)控制仿真參數(shù)見表1。

表1 仿真參數(shù)

按表1中的參數(shù)進行整星姿態(tài)穩(wěn)態(tài)控制仿真，仿真流程圖如圖4所示。圖5給出了星體和載荷姿態(tài)控制精度對比。由圖可知在外擾作用下，星體姿態(tài)控制精度優(yōu)于10″。通過Stewart平臺支桿的高精度控制，載荷姿態(tài)控制精度優(yōu)于0.1″。驗證了載荷和平臺控制器在姿態(tài)穩(wěn)定控制時的正確性。

圖5 模式1時星體和載荷姿態(tài)控制精度

Case 2：載荷主動指向

在星體姿態(tài)穩(wěn)定控制時，驗證載荷主動指向控制以及星體平臺控制器支桿去飽和設計的正確性。為了充分驗證載荷各個方向的指向能力，設計載荷指向期望軌跡為在滾動-俯仰平面內(nèi)半徑為500″圓。在0～60s內(nèi)進行載荷主動指向控制，通過Stewart平臺的精細調(diào)節(jié)，實現(xiàn)載荷對期望軌跡跟蹤控制。在60～100s內(nèi)進行載荷和整星的穩(wěn)態(tài)控制。載荷主動指向控制仿真結(jié)果如圖6所示。圖中表明載荷控制器能夠?qū)崿F(xiàn)載荷動態(tài)跟蹤期望軌跡，其動態(tài)跟蹤誤差小于0.5″。對比星體控制器中添加與不添加式(22)2種情況時，Stewart平臺支桿的伸長量。圖7給出2種情況下各個支桿的伸長量對比情況。平臺控制器中不添加式(22)支桿去飽和控制時，Stewart平臺支桿的最大伸長量為4.2mm；此時Stewart平臺支桿已超出最大行程3mm，即在載荷指向控制時，Stewart平臺支桿發(fā)生機械碰撞，極有可能導致支桿損壞。平臺控制器添加式(22)支桿去飽和控制時，Stewart平臺支桿的最大伸長量為2.4mm；此時Stewart平臺支桿無碰撞。由此可知，在平臺控制器中添加式(22)支桿去飽和控制，能夠有效避免Stewart平臺支桿的行程飽和。

圖6 模式2時載荷姿態(tài)主動指向控制

圖7 有無支桿去飽和各支桿伸長量對比

Case 3：敏捷機動

驗證在整星敏捷機動過程中，星體和載荷的動態(tài)跟蹤能力。同時通過姿態(tài)機動控制驗證星體控制器、載荷控制器及式(19)的載荷平動補償控制的正確性。仿真參數(shù)見表2。

表2 機動仿真參數(shù)

星體平臺和載荷同時進行滾動軸45°敏捷機

動。如圖8所示，在0～40s內(nèi)進行整星姿態(tài)敏捷機動，載荷和星體平臺能夠?qū)崿F(xiàn)對參考軌跡的跟蹤控制。在機動過程中，星體平臺姿態(tài)動態(tài)跟蹤誤差小于0.05°，而載荷姿態(tài)動態(tài)跟蹤誤差為優(yōu)于2×10-4(°)。通過載荷控制器中添加和不添加式(19)兩種情況下Stewart平臺支桿伸長量，證明載荷控制器添加式(19)載荷平動補償?shù)谋匾?。圖9給出在姿態(tài)機動時，兩種情況下各個支桿的伸長量對比。當載荷控制器不添加式(19)時，Stewart平臺支桿的最大伸長量為5.2mm。此時Stewart平臺支桿已超出最大行程3mm，即在敏捷機動中，Stewart平臺支桿發(fā)生機械碰撞。載荷控制器中添加式(19)時，Stewart平臺支桿的最大伸長量為1.9mm；此時Stewart平臺支桿無碰撞。由此可知，在載荷控制器中添加式(19)平動補償控制，能夠有效避免Stewart平臺支桿的行程飽和。

圖8 模式3時星體和載荷姿態(tài)和角速度

圖9 有無平動補償控制各支桿伸長量對比

4 結(jié)論

以基于Stewart超靜衛(wèi)星主動指向和敏捷機動為研究背景，采用廣義動量定理建立包括載荷平動轉(zhuǎn)動、整星平動轉(zhuǎn)動在內(nèi)的耦合動力學模型。分別設計了載荷和平臺姿態(tài)控制器，并通過3組仿真算例驗證控制器的正確性。仿真結(jié)果表明：1)建立的動力學模型能夠正確反映載荷平動和轉(zhuǎn)動之間的耦合關系；2)設計的載荷、星體平臺控制器在姿態(tài)穩(wěn)定控制的前提下實現(xiàn)Stewart平臺支桿去飽和控制；3)在星體平臺姿態(tài)控制優(yōu)于10"的基礎上，通過Stewart平臺高精度控制，實現(xiàn)載荷指向精度優(yōu)于0.1″。平臺控制器添加去飽和控制、載荷控制器中添加平動補償控制能夠?qū)崿F(xiàn)Stewart平臺支桿去飽和控制，有效避免Stewart平臺支桿發(fā)生碰撞。

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DynamicsModelingandControlforUltra-QuietSatellite

Zhang Kebei1, Wang Dayi2, Wang Youyi1

1. Beijing Institute of Control Engineering, Beijing 100190, China 2. Beijing Institute of Spacecraft Engineering, Beijing 100190, China

Todescribethecouplingfactoroftranslationandrotationactually,dynamicsmodelingbasedongeneralizedmomentumispresentedforStewartultra-quietsatellite.Thecouplingfactorbetweencentroidofpayloadandspacecraftisexactlyanalyzedinthedynamicsmodel.Duetothetranslationofpayloadcentroid,thelengthsofStewartstrutsareeasilysaturable,evencollisionoccurred.Todealwiththisproblem,thepayloadcontrollerwithtranslationcompensationandbasecontrollerwithstrutsdesaturationaredesigned.Theyarevalidatedbythreeattitudecontrolmodes.Simulationresultsshowthatthepayloadpointingaccuracyisupto0.1″,whilethebaseattitudecontrolaccuracyis10″.Thestrutsdesaturationperformanceofpayloadcontrollerandbasecontrollercometrueinthreeattitudecontrolmodes.

Stewartultra-quietspacecraft;Generalizedmomentum;Dynamicsmodel;Saturationcontrol

TB535

A

1006-3242(2017)05-0037-08

*國家杰出青年科學基金(61525301)；國家自然科學基金重大項目課題(61690215)

2017-01-26

張科備(1985-)，男，山西人，博士研究生，主要研究方向為航天器指向控制；王大軼(1973-)，男，黑龍江人，研究員，博士生導師，主要研究方向為航天器導航、制導與控制；王有懿(1983-)，男，黑龍江人，博士，主要研究方向為航天器主動隔振與精確指向控制。