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(山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué),山東 濟(jì)南 250001)

2017年全國(guó)卷Ⅰ理科第13題的解法探究及應(yīng)用*

●馮瑞瑤

(山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué),山東 濟(jì)南 250001)

文章以2017 年全國(guó)卷Ⅰ理科第13 題為例，利用“轉(zhuǎn)化”思想，提升有關(guān)平面向量問(wèn)題的計(jì)算能力，探尋考題與教材中基本概念、基本公式和運(yùn)算性質(zhì)的關(guān)系，并把這一思想應(yīng)用到求解2017 年浙江卷第15 題和江蘇卷第12 題．

平面向量; 轉(zhuǎn)化思想; 一題多解

向量在物理學(xué)等應(yīng)用學(xué)科中有很多重要應(yīng)用，是數(shù)學(xué)解析幾何中教和學(xué)的重要內(nèi)容，也是高考的重要考點(diǎn)之一.其主要考查形式是選擇題和填空題，考查內(nèi)容主要有向量的模、向量的夾角和向量的數(shù)量積的計(jì)算以及向量平行和垂直的判定等，難度適中，是考生必爭(zhēng)之分.下面以2017年全國(guó)卷Ⅰ理科第13題為例，利用“轉(zhuǎn)化”思想，給出多種解法，提升有關(guān)平面向量問(wèn)題的計(jì)算能力.最后，筆者把這一思想應(yīng)用到求解2017年浙江卷第15題和江蘇卷第12題，說(shuō)明“轉(zhuǎn)化”思想是學(xué)好數(shù)學(xué)的一種重要思想，應(yīng)用非常廣泛.

1 問(wèn)題提出

例1已知向量a,b的夾角為60°，|a|=2,|b|=1,則|a+2b|=______.

(2017年全國(guó)數(shù)學(xué)高考卷Ⅰ理科試題第13題)

該題主要考查向量的數(shù)量積和向量模的計(jì)算.

分析1由向量的內(nèi)積滿足乘法公式可知

(a+2b)(a+2b)=a2+4b2+4a·b，

再利用向量的模與平方的關(guān)系a·a=a2=|a|2,即可求出.

解法1(求模平方化)由|a+2b|2=(a+2b)(a+2b)=a2+4b2+4a·b=|a|2+4|b|2+4|a|·|b|cos 60°=12,解得

評(píng)注解法1的關(guān)鍵是把求向量的模轉(zhuǎn)化為求向量模的平方，簡(jiǎn)稱求模平方化.這是一個(gè)重要思想，在歷年數(shù)學(xué)高考題中多有體現(xiàn).例如，文獻(xiàn)[1]利用這一思想給出了2013年浙江省數(shù)學(xué)高考理科第17題的多種解法.

(2013年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第17題)

2.若非零向量a,b滿足|a|=3|b|=|a+2b|,則向量a,b夾角的余弦值是______.

(2013年安徽省數(shù)學(xué)高考文科試題第13題)

(2013年江蘇省數(shù)學(xué)高考試題第15題)

圖1

分析2已知向量a,b的夾角為60°，從而向量a,2b的夾角也為60°.以向量a,2b為鄰邊作OBCA，作CD垂直于OA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D(如圖1)，則|a+2b|=OC.

解法2(求模直角化)因?yàn)閨b|=1,|2b|=2,又∠CAD=60°，∠ACD=30°,所以

從而

于是

點(diǎn)評(píng)在解法2中，把求向量的模轉(zhuǎn)化為求直角三角形的斜邊的長(zhǎng)度，進(jìn)而利用熟知的勾股定理即可求解.該解法簡(jiǎn)稱求模直角化，它的優(yōu)點(diǎn)是數(shù)形結(jié)合，不易出錯(cuò)，但在歷年數(shù)學(xué)高考向量問(wèn)題的解法探析中很少有人提出.例如，文獻(xiàn)[1-5]給出了求解向量模的多種方法，對(duì)于“把求向量的模轉(zhuǎn)化為求直角三角形斜邊的長(zhǎng)度”的想法尚未提及.

相關(guān)練習(xí)1.已知向量a,b的夾角為120°，|a|=2,|b|=1,則|a+2b|=_____.

3.已知向量a,b垂直，證明:|a+b|=|a-b|.

評(píng)注練習(xí)1是例1的變式，把條件“向量a,b的夾角為60°”改為“向量a,b的夾角為120°”.在一般情況下，只要告訴兩個(gè)向量的長(zhǎng)度和夾角，求有關(guān)向量的模，可優(yōu)先考慮求模直角化的方法，這樣做能事半功倍.由解法2知OBCA是菱形，∠COD=∠COA=30°，進(jìn)而可得到解法3.

分析3易知向量a,a+2b的夾角為30°，通過(guò)計(jì)算向量a和向量a+2b的數(shù)量積即可得到a+2b的模.

解法3(求模數(shù)量化)因?yàn)?/p>

a·(a+2b)=|a|·|a+2b|cos 30°,

且

a·(a+2b)=a2+2ab=6，

得

所以

點(diǎn)評(píng)在解法3中，我們把求向量模的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求向量的數(shù)量積的問(wèn)題，簡(jiǎn)稱求模數(shù)量化.這里的關(guān)鍵問(wèn)題是求出向量a,a+2b的夾角.

(2013年山東省數(shù)學(xué)高考理科試題第15題)

2.已知a,b是平面內(nèi)的兩個(gè)互相垂直的單位向量，若向量c滿足(a-c)·(b-c)=0，則|c|的最大值是______.

(2008年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第9題)

分析4以向量a的起點(diǎn)為原點(diǎn)、所在的直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，求出向量a,2b分別對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)(如圖2)，即可求出向量a+2b的模.

a=(2,0)， |2b|=2.

又∠BOC=60°，∠OBC=30°,從而

于是

故

點(diǎn)評(píng)在解法4中，通過(guò)建立直角坐標(biāo)系，把向量問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)量問(wèn)題，簡(jiǎn)稱求模坐標(biāo)化.這里的關(guān)鍵問(wèn)題是求出向量對(duì)應(yīng)的坐標(biāo).

圖2 圖3

高考鏈接1.如圖3,在ABCD中，已知||=8，||求

(2014年江蘇省數(shù)學(xué)高考試題第12題)

(2013年天津市數(shù)學(xué)高考理科試題第12題)

讀者可以參照參考文獻(xiàn)[1，4，5]的方法對(duì)本題做進(jìn)一步的研究.

2 方法應(yīng)用

例2已知向量a,b滿足|a|=1,|b|=2,則|a+b|+|a-b|的最小值是______，最大值是______.

(2017年浙江省數(shù)學(xué)高考試題第15題)

分析部分考生以向量a,b為鄰邊作平行四邊形，然后借助三角形的三邊關(guān)系，得4<|a+b|+|a-b|<6.事實(shí)上，由此無(wú)法計(jì)算出|a+b|+|a-b|的最值.下面，利用“轉(zhuǎn)化”思想求解|a+b|+|a-b|的最值.

解假設(shè)向量a,b的夾角為θ，則0≤θ≤π.因?yàn)閨a|=1,|b|=2,所以

|a+b|+ |a-b|=

從而

16≤f2(θ)≤20,

即

圖4

點(diǎn)評(píng)在求解過(guò)程中,若直接考慮f(θ),則很難精確計(jì)算出|a+b|+|a-b|的最小值和最大值，而把問(wèn)題轉(zhuǎn)化成f2(θ)的最值問(wèn)題，可迎刃而解.

(2017年江蘇省數(shù)學(xué)高考試題第12題)

分析由tanα=7，sin2α+cos2α=1可知

(1)

(2)

評(píng)注在求解過(guò)程中，用到了向量的模與平方的關(guān)系.另外，需要指出先求出sinα的原因在于:當(dāng)0≤α≤π時(shí)，sinα的取值是非負(fù)，在開(kāi)方運(yùn)算中便于確定sinα的值.

對(duì)例3而言，還可以通過(guò)建立直角坐標(biāo)系，把向量問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)量問(wèn)題，留給感興趣的讀者進(jìn)行研究.

利用“轉(zhuǎn)化”思想，給出了2017年全國(guó)數(shù)學(xué)高考卷Ⅰ理科第13題的4種解法，只當(dāng)拋磚引玉，與大家分享.盡管方法不同，但是熟練運(yùn)用這些方法的前提是對(duì)教材中關(guān)于向量的基本概念、基本公式和運(yùn)算性質(zhì)的熟練掌握.否則，再漂亮的思想和方法也將“失效”.因此，學(xué)好教材，弄清楚每一個(gè)基本概念、基本公式和運(yùn)算性質(zhì)并熟練運(yùn)用才是關(guān)鍵.另外，通過(guò)上述對(duì)往屆數(shù)學(xué)高考題的解析不難發(fā)現(xiàn)：“轉(zhuǎn)化”思想是學(xué)好數(shù)學(xué)的一種重要思想.該思想在求解向量的模、向量的夾角和向量的數(shù)量積的運(yùn)算中有廣泛的應(yīng)用，值得我們學(xué)習(xí)和借鑒.在學(xué)習(xí)過(guò)程中,自主地培養(yǎng)轉(zhuǎn)化意識(shí)，這樣才能在解題過(guò)程中靈活使用，做到又快又好地解題.

[1] 桂再安.一葉而知秋 一題一世界[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2014(3)：59-60.

[2] 蔡明.2010年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第18題解讀[J].中學(xué)教研(數(shù)學(xué))，2010(8)：12-13.

[3] 張培強(qiáng).四劑良方求a·b——探解一道高考向量數(shù)量積試題[J].新高考：高三數(shù)學(xué)，2014(11)：8-9.

[4] 李學(xué)軍，曲文瑞.大音希聲 大象無(wú)形——基于2016年浙江省數(shù)學(xué)高考理科第15題[J].中學(xué)教研(數(shù)學(xué))，2016(12)：43-45.

[5] 蔣海甌.把握“長(zhǎng)度”“方向”兩要素 尋求“代數(shù)”“幾何”雙突破[J].中學(xué)教研(數(shù)學(xué))，2013(8)：15-18.

2017-09-04

馮瑞瑤(2000-)，女，山東濟(jì)南人，高中學(xué)生.

O123． 1

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1003 - 6407(2017)11-48-03