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(中國人民大學(xué)附屬中學(xué)分校,北京 海淀 100086)

選準(zhǔn)參量以“動”致“定”*
——評2017年北京市數(shù)學(xué)高考文科試題第19題

●唐庚

(中國人民大學(xué)附屬中學(xué)分校,北京 海淀 100086)

圓錐曲線是由運(yùn)動的點(diǎn)形成的，解析幾何就是用代數(shù)的方法研究幾何問題． 高考試題一般都有“背景復(fù)雜、內(nèi)容豐富、方法靈活、運(yùn)算量大”的特點(diǎn)． 文章就一類定值問題提供常見思路與解決方案．

定值; 參量; 轉(zhuǎn)化

解析幾何問題因其內(nèi)容豐富——既包含對幾何圖形的認(rèn)識和幾何量的處理，又有較復(fù)雜的代數(shù)運(yùn)算，并且切入點(diǎn)多種多樣，與函數(shù)、向量、三角函數(shù)等有交叉.無論是圖形的處理還是代數(shù)關(guān)系的轉(zhuǎn)化，路徑與方法都很靈活，因此解析幾何一直是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)、備考中的重點(diǎn)與難點(diǎn)之一.高考試題一般以常規(guī)圖形(如線段的垂直平分線、三角形、菱形等)、常規(guī)量(長度、面積、角度等)為背景，突破慣性思維，創(chuàng)新設(shè)計(jì)，倡導(dǎo)學(xué)生多觀察、多嘗試，并運(yùn)用其內(nèi)在規(guī)律，優(yōu)化和精確運(yùn)算.下面結(jié)合2017年北京市數(shù)學(xué)高考文科試題第19題對一類定值問題進(jìn)行分析與探討.

1 試題呈現(xiàn)

圖1

1)求橢圓C的方程.

2)D為x軸上一點(diǎn)，過點(diǎn)D作x軸的垂線交橢圓C于兩個(gè)不同的點(diǎn)M，N，過點(diǎn)D作AM的垂線交BN于點(diǎn)E.求證：△BDE與△BDN的面積之比為4∶5．

分析1)設(shè)橢圓的方程為

由題意得

2)證明兩個(gè)三角形面積之比為4∶5，顯然是一個(gè)定值問題.“定”對應(yīng)的是“動”，運(yùn)動中的定值問題本質(zhì)是尋求運(yùn)動變化過程中的不變性.本題中運(yùn)動的始作俑者是“過點(diǎn)D作x軸的垂線”，我們將引入什么樣的參量刻畫這條運(yùn)動的直線呢，一個(gè)還是多個(gè)？又如何用所設(shè)的參量建立已知量與所求量之間的關(guān)系(即面積之比該如何表達(dá))？參量的變化如何一步步影響所求量？最終結(jié)果是一個(gè)定值說明面積之比，表達(dá)式的某個(gè)系數(shù)或者整體結(jié)構(gòu)應(yīng)當(dāng)滿足一定的條件，這個(gè)條件是什么？如果是多個(gè)變量，那么它們之間又有怎樣的聯(lián)系？能否順利轉(zhuǎn)化、消減？這是我們要面對的一系列問題.

2 解法探究

筆者認(rèn)為解決本題中這些問題主要有以下兩種方法.

方法1縱觀整個(gè)問題，所有的變化皆因x軸上的點(diǎn)D的運(yùn)動而產(chǎn)生，而點(diǎn)D的運(yùn)動，改變的僅僅是其橫坐標(biāo).因此,可設(shè)D(m,0)，M(m,n),并以m,n為參量，依次表示已知條件以及所求面積之比的表達(dá)式，再觀察，伺機(jī)化簡.

解法1設(shè)D(m,0),依題意知m≠±2，并設(shè)M(m,n),N(m,-n),其中n≠0,則直線AM的斜率為

于是直線DE的斜率為

進(jìn)而直線DE的方程為

又因?yàn)橹本€BN的方程為

聯(lián)立

解得點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為

由點(diǎn)M在橢圓C上，知

即

4-m2=4n2,

從而

又

故△BDE與△BDN的面積之比為4∶5.

方法2如果我們適當(dāng)調(diào)整變化的先后順序，將問題轉(zhuǎn)化為：“從左頂點(diǎn)A引直線AM交橢圓于M，過點(diǎn)M作x軸的垂線，交x軸于點(diǎn)D，交橢圓于另一點(diǎn)N,……”，則視角會發(fā)生變化.

解法2設(shè)直線AM的斜率為k，顯然k≠0，則直線AM的方程為

y=k(x+2).

設(shè)點(diǎn)M(x1,y1),聯(lián)立方程組

消去y,可得

(4k2+1)x2+16k2x+16k2-4=0,

顯然Δ=256k4-4(4k2+1)(16k2-4)=16>0,

從而

于是直線BN的斜率為

聯(lián)立直線DE與BN的方程，得

即

兩式相減，可得交點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為

故△BDE與△BDN的面積之比為4∶5.

通過以上兩種方法的分析可以看出，解決這類定值問題：第一步是引入恰當(dāng)?shù)膮⒆兞?通常有點(diǎn)的坐標(biāo)、直線的斜率、截距、夾角等)；第二步是將幾何條件代數(shù)化，用參量來表示已知或所求，建立參量與其他量之間等量或不等量的關(guān)系式；第三步是化簡，利用推理、運(yùn)算、代數(shù)恒等變形等方式進(jìn)行整理化簡，最終消去參量，獲得定值.

解析幾何把數(shù)學(xué)的兩個(gè)基本對象——形和數(shù)有機(jī)地聯(lián)系起來，這使得坐標(biāo)法的作用更加明顯，對于人們發(fā)現(xiàn)新結(jié)論也具有重大意義．除了將“形”翻譯為“數(shù)”和將“數(shù)”翻譯為“形”這兩個(gè)環(huán)節(jié)外，還有一個(gè)關(guān)鍵環(huán)節(jié)就是代數(shù)運(yùn)算，有時(shí)候計(jì)算確實(shí)繁瑣，但是，科研無坦途.北京版《考試說明》對學(xué)生的個(gè)性品質(zhì)要求有如此表述：“考生要以平和的心態(tài)參加考試，合理支配考試時(shí)間，以實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度解答試題，樹立戰(zhàn)勝困難的信心，體現(xiàn)鍥而不舍的精神.”[1]可見具有復(fù)雜背景與運(yùn)算的問題，擔(dān)負(fù)著鍛煉、提高學(xué)生的意志品質(zhì)的教育功能.

過去很長一段時(shí)間，我們一直在考查“直線與圓錐曲線的位置關(guān)系”，以及由此產(chǎn)生的幾何元素代數(shù)化處理，有的問題解決被程序化、模式化.部分學(xué)生一味機(jī)械模仿、套用,并沒有理解到解析幾何是用來刻畫運(yùn)動的點(diǎn)這一本質(zhì)屬性.直線與圓錐曲線相交，研究的是它們產(chǎn)生的這兩個(gè)交點(diǎn)的相關(guān)性質(zhì)，顯然有一定的局限性,既不如一個(gè)點(diǎn)在曲線上運(yùn)動更能體現(xiàn)曲線的定義特征，也不如多點(diǎn)在曲線上自由運(yùn)動能夠帶來更加豐富多彩的變化.這幾年的高考試題，正逐漸遠(yuǎn)離傳統(tǒng)的以聯(lián)立為主的命題思路，轉(zhuǎn)而考查一點(diǎn)或者多點(diǎn)在曲線上運(yùn)動.從這點(diǎn)上說，方法1無疑是我們所倡導(dǎo)的.

[1] 北京教育考試院.2017年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試北京卷考試說明理科[M].北京：開明出版社,2016.

2017-08-01

唐 庚(1971-),男，北京海淀人，中學(xué)高級教師.研究方向：數(shù)學(xué)教育.

O123． 1

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