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(大廠高級中學(xué),江蘇 南京 210044)

多視角探析、拓展2017年江蘇卷解析幾何題*

●陳業(yè)代

(大廠高級中學(xué),江蘇 南京 210044)

高考試題對日常的教學(xué)方式和訓(xùn)練方式有著舉足輕重的影響． 認(rèn)真探析高考試題是十分必要的，它能指導(dǎo)我們有序復(fù)習(xí)、有章可循、有法可循; 研究拓展高考試題，既能提升教師專業(yè)技能，又能提高高三復(fù)習(xí)效率．

多視角; 探析; 拓展; 反思

2017年江蘇省數(shù)學(xué)高考遵循了《新課程標(biāo)準(zhǔn)》和《江蘇高考考試說明》，立足課本，注重雙基，考查能力，充分體現(xiàn)能力立意的命題原則.其中的解析幾何題改變以往的大運(yùn)算量，注重對學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)、基本運(yùn)算能力的考查，問題背景熟悉，內(nèi)涵豐富，是一道值得從多視角探析和拓展的好題.

1 嘗試改進(jìn)參考答案，多視角探析高考試題

圖1

1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

2)若直線l1，l2的交點(diǎn)Q在橢圓E上，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

(2017年江蘇省數(shù)學(xué)高考試題第17題)

解得a=2,c=1，于是

聯(lián)立直線l1，l2的方程可得

點(diǎn)Q在橢圓上，由對稱性得

即

又點(diǎn)P在橢圓E上，從而

評注第1)小題是常規(guī)求橢圓問題，第2)小題也是常規(guī)的思路，但學(xué)生可能會(huì)忘記考慮直線PF1,PF2斜率不存在的情形，容易丟分.

筆者思考的問題是：1)能不能對此方法加以改進(jìn)，回避討論斜率不存在的情形？2)能否對這道高考題進(jìn)行拓展？經(jīng)過多次思考與嘗試，現(xiàn)將探究整理如下(以下解法2和解法3中，第1)小題同解法1，對第2)小題的解法進(jìn)行了適當(dāng)改進(jìn))：

1.1 回避討論，探析真題

解法22)由第1)小題知，F(xiàn)1(-1,0)，F(xiàn)2(1,0),設(shè)P(x0,y0)，x0>0,y0>0，Q(x1,y1).由PF1⊥QF1,PF2⊥QF2,得

兩式相減得

x1=-x0，

從而

方程組無實(shí)數(shù)解.若y0=y1，則

由x0>0,y0>0，得

評注通過向量數(shù)量積回避斜率不存在討論，但在運(yùn)算量上與參考答案方法差不多，怎樣更簡單些呢？于是就有下面的探究.

1.2 借助平面幾何知識(shí)，探究真題

解法32)根據(jù)PF1⊥QF1,PF2⊥QF2,即∠PF1Q=∠PF2Q=90°，得4個(gè)點(diǎn)P,F1,F2,Q在以PQ為直徑的圓上.設(shè)P(x0,y0)，x0>0,y0>0，Q(x1,y1),則圓的方程為

(x-x0)(x-x1)+(y-y0)(y-y1)=0.

當(dāng)然，考慮到運(yùn)算量問題，本題還可作如下改進(jìn)：借助平面幾何知識(shí)，由PF1⊥QF1,PF2⊥QF2,即∠PF1Q=∠PF2Q=90°,得4個(gè)點(diǎn)P,F1,F2,Q共圓.設(shè)圓心為C，則點(diǎn)C既在PQ上又在y軸上，若設(shè)P(x0,y0),x0>0,y0>0，則C(0,y0)，⊙C的方程為

點(diǎn)P可看作⊙C與橢圓E的一個(gè)交點(diǎn)，由

評注對于解析幾何問題，學(xué)生往往困惑在方法選擇上，經(jīng)常出現(xiàn)要么想出方法算不出結(jié)果，要么根本想不到最佳方法，思維的長度決定了運(yùn)算量的大小.

2 改編試題，創(chuàng)新求解

這道高考題主要考查直線與橢圓的位置關(guān)系，根據(jù)兩條直線交點(diǎn)及點(diǎn)在橢圓上，通過方程組思想求解，對中等學(xué)生來說是一道容易題.這難道是對這幾年江蘇省高考解析幾何解答題因難而得分不理想的一個(gè)“補(bǔ)償”嗎？于是引起了筆者的興趣，想對本題作一些改編嘗試.

2.1 改算為證，強(qiáng)化基礎(chǔ)

1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

分析1)略.

2)根據(jù)PF1⊥QF1,PF2⊥QF2和F1(-1,0),F2(1,0),得直線QF1的方程為

直線QF2的方程為

評注改編后思維量減小，運(yùn)算直接，考查了解析幾何運(yùn)算的基本技能.

2.2 改變思維長度，突出運(yùn)算能力

1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

2)若點(diǎn)F2關(guān)于直線PF1的對稱點(diǎn)Q在橢圓E上，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

分析1)略.

2)由第1)小題可知c=1，因?yàn)辄c(diǎn)F2關(guān)于直線PF1的對稱點(diǎn)Q在橢圓E上，所以

|F1Q|=|F1F2|=2.

設(shè)Q(x1,y1)，則

又點(diǎn)Q在橢圓上，則

2.3 橫向拓展，命題一般化

2.4 縱向拓展，創(chuàng)新求解

分析設(shè)P(x0,y0)，x0>0，y0>0,Q(x1,y1),橢圓焦距為2c.由PF1⊥QF1,PF2⊥QF2,得

兩式相減,得

x1=-x0，

從而

即

-c2=b2-a2(定值).

評注靜止是相對的，運(yùn)動(dòng)是絕對的，數(shù)學(xué)因運(yùn)動(dòng)而不再枯燥，數(shù)學(xué)因運(yùn)動(dòng)而充滿活力.變式5告訴我們動(dòng)中有靜，運(yùn)動(dòng)是有規(guī)律的，只要我們認(rèn)真探索，就能掌握其規(guī)律.

因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓上，所以

4(a2-b2)=4c2,

即

PQ≥2c,

因此，當(dāng)b2c，點(diǎn)Q在以點(diǎn)P為圓心、2c為半徑的圓外.

評注變式5、變式6的改編來源于點(diǎn)Q坐標(biāo)的結(jié)構(gòu)特征，從數(shù)字到字母，學(xué)生運(yùn)算起來比較吃力.在教學(xué)中，教師適當(dāng)?shù)貙Φ湫驮囶}作一些變式訓(xùn)練，會(huì)讓學(xué)生的思維更開闊，對提高學(xué)生的基本能力也有很大幫助.

2.5 類比聯(lián)想，觸類旁通

從變式5、變式6的解析過程可看出，變式5、變式6的結(jié)論在雙曲線中仍然成立.

3 反思提高

近幾年江蘇省數(shù)學(xué)高考對解析幾何大題的命制越來越趨于理性，結(jié)構(gòu)越來越簡潔，很好地控制了難度系數(shù)，給予學(xué)生充分的想象空間，讓運(yùn)算更合理，考查數(shù)學(xué)核心素養(yǎng);探析和拓展高考試題，指導(dǎo)高三教學(xué)方向，注重基礎(chǔ)，加強(qiáng)理性思維的訓(xùn)練，淡化特殊技巧，加強(qiáng)針對性，指導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)分析問題，學(xué)會(huì)選擇方法解決問題.

高三教學(xué)要以教材為本，按照知識(shí)的邏輯順序開展系統(tǒng)、全面地復(fù)習(xí)，幫助學(xué)生系統(tǒng)掌握基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和基本方法，形成明晰的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)和穩(wěn)定的認(rèn)知結(jié)構(gòu).以《高考說明》為方向，認(rèn)真研究近幾年國內(nèi)的高考試題，把握命題規(guī)律與趨勢，切口要小，研究要深，可采用微專題挖掘和研究，讓學(xué)生學(xué)會(huì)探尋數(shù)學(xué)問題的源與流，搞清楚數(shù)學(xué)思想方法的來龍去脈，做到融會(huì)貫通，建構(gòu)方法網(wǎng)絡(luò)，讓高三復(fù)習(xí)效率最大化.

2017-07-28

陳業(yè)代(1968-)，男，江蘇儀征人,中學(xué)高級教師.研究方向：數(shù)學(xué)教育.

O123． 1

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