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(溫州市第十七中學(xué),浙江 溫州 325000)

關(guān)注基本模型提煉拓寬問題解決思路*
——以2017年麗水市數(shù)學(xué)中考第16題為例

●葉茂恒

(溫州市第十七中學(xué),浙江 溫州 325000)

文章梳理了常見的幾何基本模型( 一線三等角型、倍半角模型、12345 型等) ，應(yīng)用這些模型，并采用多種方法解決了2017 年浙江省麗水市數(shù)學(xué)中考試題第16 題，呈現(xiàn)解題中基本模型的選擇、聯(lián)想、應(yīng)用等過程，凸顯基本模型與結(jié)論在數(shù)學(xué)解題中的實(shí)用價(jià)值．

一線三等角型; 倍半角模型; 12345 型

近年來，大量教師在網(wǎng)絡(luò)上開展解題研究，他們對初中數(shù)學(xué)實(shí)用解題模型較為關(guān)注，并注重研究初中數(shù)學(xué)解題的有效方法，從而實(shí)現(xiàn)初中數(shù)學(xué)解題技能的提升與數(shù)學(xué)思想方法的有效落地.目前初中階段數(shù)學(xué)常用的幾何模型有一線三等角型、倍半角模型、12345型等等.這些模型在很多中考問題的解決上有著重要作用，它是分析與解決數(shù)學(xué)問題的利器.如2017年浙江省麗水市數(shù)學(xué)中考第16題的第2)小題，應(yīng)用這些模型可快速找到解題突破口.筆者以此題為例，應(yīng)用各種模型一題多解.

圖1 圖2

1 試題呈現(xiàn)

例1如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=-x+m分別交x軸、y軸于點(diǎn)A，B，已知點(diǎn)C(2，0).

1)略.

2)設(shè)點(diǎn)P為線段OB的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)PA，PC，若∠CPA=∠ABO，則m的值是______.

(2017年浙江省麗水市數(shù)學(xué)中考試題第16題)

模型1一線三等角型[1]

如圖2，若∠A=∠DBE=∠C，則△ADB∽△CBE.此模型中，一直線(AC)的同側(cè)有3個相等的角(∠A=∠DBE=∠C)，通常稱為一線三等角型，也稱為M型相似.當(dāng)∠A=∠DBE=∠C=90°時(shí)，稱為三垂直型也稱為K型相似，三垂直型是一線三等角型的一種特殊情況.

在圖1中直線OB的一側(cè),若有∠CPA=∠ABO=45°，則可在直線OB的同側(cè)構(gòu)造一個45°角，即可構(gòu)造出一線三等角模型.

解法1如圖3，在y軸的負(fù)半軸上取點(diǎn)E(0，-2)，則可得△OCE為等腰直角三角形，即

∠CPA=∠ABO=∠PEC=45°，

從而

△ABP∽△PEC，

于是

AB∶BP=PE∶CE，

即

解得m=12.

評注一般地，在一直線上已有兩個相等的角時(shí)，往往可以再添加一等角，構(gòu)造一線三等角模型求解.在求解過程中，不難證明∠PAB=∠OPC，而△OPC為直角三角形，以∠BAP為銳角構(gòu)造一個與△OPC相似的直角三角形即可求解.

圖3 圖4

解法2如圖4，過點(diǎn)P作PE⊥AB，垂足為E.由∠BPE=∠CPA=45°,得

∠APE+∠CPO=90°，

又∠APE+∠PAE=90°，從而

∠CPO=∠PAE，

于是

△AEP∽△POC，

可得

AE∶OP=PE∶OC，

即

解得m=12.

評注事實(shí)上，由∠CPA=45°往往會聯(lián)想到構(gòu)造等腰直角三角形，有了直角三角形進(jìn)一步會聯(lián)想到構(gòu)造三垂直型[2]的一線三等角，這也是在平面直角坐標(biāo)系中常用的方法.

解法3如圖5，過點(diǎn)A作AE⊥PC，垂足為點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EF∥x軸，交y軸于點(diǎn)F，過點(diǎn)A作AG⊥EF，垂足為G，則△PAE為等腰直角三角形，且△PFE≌△EGA.設(shè)EF=t，則

因?yàn)镋F+EG=OA=m，所以

OC∶EF=PO∶PF，

即

解得m=12.

類似地，還可以過點(diǎn)C作AP的垂線段構(gòu)造等腰直角三角形，再構(gòu)造一線三等角型.

圖5 圖6

解法4如圖6所示作輔助線，則圖6中含母子相似三角形(△CEF∽△EAF∽△ACE)、一線三等角型(△CEF∽△EPG)、A型相似(△PAO∽△EAF)等基本圖形，從而

△CEF∽△EAF∽△PAO,

于是CF∶EF=EF∶AF=OP∶OA=1∶2，

進(jìn)而

CF∶AF=1∶4，

即

EF=2CF，AF=4CF.

又因?yàn)镺F=PG=EF，所以

OC+CF=2CF，

即

CF=OC=2，

故

m=AC+OC=6OC=12.

評注解法3與解法4都是過點(diǎn)C或點(diǎn)A作45°角的另一邊的垂線段構(gòu)造等腰直角三角形.事實(shí)上，也可以過點(diǎn)C或點(diǎn)A作45°角上點(diǎn)C或點(diǎn)A所在邊的垂線段構(gòu)造等腰直角三角形，然后構(gòu)造三垂直型求解.

圖7

解法5如圖7，過點(diǎn)C作CD⊥PC，交PA于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE⊥OA，垂足為E，則

△OPC≌△ECD，

從而DE=OC=2，

又因?yàn)椤鱀EA∽△POA，所以

DE∶EA=OP∶OA=1∶2，

從而

AE=2DE=4，

于是

解得m=12.

圖7

解法6如圖8，過點(diǎn)A作AD⊥PA，交PC的延長線于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE⊥OA，垂足為E，則

△POA≌△AED，

又因?yàn)椤鱀CE∽△PCO，所以

OC∶CE=OP∶DE=1∶2，

從而

CE=2OC=4，

于是

m=OA=2OE=12.

模型2倍半角模型

倍半角模型是指兩個有公共頂點(diǎn)的有倍角或半角關(guān)系，在這種圖形模型中存在一些常用的結(jié)論或方法.較為常用的是正方形內(nèi)45°半角模型結(jié)論：如圖9，在正方形ABCD中，從頂點(diǎn)A出發(fā)的45°角的兩條射線與邊BC，CD分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，聯(lián)結(jié)EF，則BE+DF=EF.簡證如下：

圖9 圖10

如圖10，可將△ADF旋轉(zhuǎn)到△ABF′，進(jìn)而證得△AEF≌△AEF′，于是

EF=EF′=BE+BF′=BE+DF.

解法7如圖11，過點(diǎn)P作PE∥x軸交AB于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EF⊥OA，垂足為F，EF交AP于點(diǎn)G.由∠ABO=45°,得

從而四邊形PEFO為正方形.由正方形45°半角結(jié)論知

EG+OC=CG,

故

解得m=0(舍去)或m=12.

圖11 圖12

解法8也可如圖12所示作輔助線，類似于解法7可列出方程

從而求得m=12.

這種兩角之間存在一半或一倍的關(guān)系，往往可聯(lián)想到同弧所對的圓周角與圓心角之間的聯(lián)系，不妨將45°角看成是某個圓的圓周角，那么此角所對弧所對的圓心角為直角，可利用倍角關(guān)系構(gòu)造出直角三角形，進(jìn)而結(jié)合勾股定理與垂徑定理解決問題.

解法9如圖13，作AC的中垂線ME交AB于點(diǎn)M，交AC于點(diǎn)E，聯(lián)結(jié)CM，PM，則△CMA為等腰直角三角形.又∠APC=45°，從而點(diǎn)P落在以M為圓心、AM為半徑的圓上，于是

PM=CM.

過點(diǎn)M作MF⊥OB，垂足為F，則

MF2+PF2=CM2，

解得m=12.

圖13 圖14

模型312345型

如圖14，在邊長為3，4，5的Rt△ABC外構(gòu)造兩個邊長為5的等腰△ABE和△ABD，則CE=9，CD=8.設(shè)∠D=β，∠E=α，則∠BAC=2β，∠ABC=2α，計(jì)算可得

α+β=45°.

整理可得一般性結(jié)論如下：

圖15

解法10仿解法7做輔助線(如圖15)，則

又∠HPI+∠OPC=45°，由12345型相關(guān)結(jié)論得

即

OP=3OC=6，

從而

解得m=12.

圖16 圖17

圖18 圖19

在數(shù)學(xué)解題中，“如何發(fā)現(xiàn)問題的突破口”是很多學(xué)生較為困惑的.很多學(xué)生在解題時(shí)抱著一種盲目心態(tài)，而基本模型的提煉學(xué)習(xí)，可以引導(dǎo)學(xué)生從眾多的數(shù)學(xué)問題中尋找到具有共性的模型，這樣在提高歸納能力的同時(shí)，還能為學(xué)生解題提供準(zhǔn)確的思考方向和線索.

波利亞在《怎樣解題》中提出：在擬訂方案時(shí)應(yīng)當(dāng)回顧是否解過類似的問題，能否將問題轉(zhuǎn)化為已解決的問題[3].由于學(xué)生已接觸過大量的數(shù)學(xué)問題，一方面在大腦中的檢索過慢，另一方面很多問題沒有歸納典型模型，大量信息相互干擾，不利于回顧.在回顧與解題之間增加一個提煉數(shù)學(xué)模型的過程，可以減少大量數(shù)據(jù)記憶，在大腦加深典型模型印象，提高回顧檢索效率，從而更好地拓展解題思維.

[1] 周禮寅．一線三等角模型的建立與應(yīng)用[J]．中國數(shù)學(xué)教育，2012(10)：27-30．

[2] 沈占立．例說與正方形有關(guān)的“三垂直”[J]．中學(xué)生數(shù)理化，2015(6)：23．

[3] 波利亞．怎樣解題[M]．涂泓，馮承天，譯．上海：上海科技教育出版社，2002．

2017-09-11

葉茂恒(1975-)，男，浙江溫州人，中學(xué)高級教師.研究方向：數(shù)學(xué)教育.

O123． 1

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1003 - 6407(2017)11-09-04