許允斗， 劉文蘭， 陳亮亮， 姚建濤， 趙永生,*， 朱佳龍

1.燕山大學 河北省并聯(lián)機器人與機電系統(tǒng)實驗室， 秦皇島 066004 2.燕山大學 先進鍛壓成型技術與科學教育部重點實驗室， 秦皇島 066004 3.中國空間技術研究院 西安分院， 西安 710100

構架式可展天線機構自由度分析
——拆桿等效法

許允斗1,2， 劉文蘭1， 陳亮亮1， 姚建濤1,2， 趙永生1,2,*， 朱佳龍3

1.燕山大學 河北省并聯(lián)機器人與機電系統(tǒng)實驗室， 秦皇島 066004 2.燕山大學 先進鍛壓成型技術與科學教育部重點實驗室， 秦皇島 066004 3.中國空間技術研究院 西安分院， 西安 710100

針對四面體構架式可展天線機構的多環(huán)耦合特性，提出了一種空間多環(huán)耦合機構的自由度分析方法——拆桿等效法。首先拆除四面體基本可展單元機構的耦合約束鏈，將剩余部分視為一個并聯(lián)機構，然后應用螺旋理論分析各輸出節(jié)點的自由度數(shù)目及性質，進而構造各輸出節(jié)點與定節(jié)點之間的等效串聯(lián)運動鏈，最后復原拆除的耦合約束鏈得到四面體基本可展單元的等效機構，應用修正的G-K公式計算等效機構的自由度數(shù)目，并基于反螺旋理論分析等效機構的自由度性質，從而獲得四面體基本可展單元的運動特性。根據(jù)四面體基本可展單元的等效機構及其組合方式對最小組合單元及大尺寸構架式可展天線機構的結構進行了化簡，并根據(jù)其幾何特征約束方程推導了最小組合單元及大尺寸構架式可展天線機構的自由度。建立了由27個四面體基本可展單元組成的構架式可展天線機構的仿真模型，對該機構的自由度進行了驗證，結果表明提出的拆桿等效法求得的自由度正確，為進一步分析此類天線機構的運動學和動力學奠定了基礎，同時為其他類型的空間多環(huán)耦合機構的自由度分析提供了一種新的思路。

拆桿等效法； 四面體單元； 可展天線； 自由度； 螺旋理論

空間可展開天線已在衛(wèi)星通信、遙感測量、空間探測及軍事偵察等領域得到了廣泛應用。目前，可展開天線的種類多種多樣，其中，構架式可展天線整個網(wǎng)面靠桁架支撐，不僅剛度大且易于保證形面精度，其支撐機構由若干個基本可展單元組成，穩(wěn)定性好、折疊比大，因此，構架式可展天線是目前及未來較長時間內大型可展天線的主要發(fā)展對象之一。

構架式可展天線在國內外已經(jīng)獲得了多次在軌應用，例如，在俄羅斯“聯(lián)盟號”飛船[1]、日本ETS-VIII衛(wèi)星[2]以及中國的HJ-1-C衛(wèi)星SAR天線[3]上，等等。隨著構架式可展天線的多次成功應用，此種天線的研究受到了越來越多學者的關注。Jin等[4]應用多柔體動力學仿真軟件對一種構架式可展天線的展開過程進行了分析，關富玲等[5]提出了一種程序化設計四面體構架式可展天線機構的方法，陳務軍等[6]通過推導兩端帶扭簧的桿件宏單元的縮減線彈性剛度矩陣和一致質量矩陣分析了扭簧剛度對扭簧驅動的構架式可展天線結構的影響，文獻[7-8]給出了帶彈簧節(jié)點的構架式天線結構詳細的設計方案，Xu和Guan[9]綜合考慮四面體構架式可展天線機構的機械性能和電氣性能提出了一種結構-電氣綜合設計方法，楊玉龍等[10]從工程角度以結構設計的技術指標和全部構件集合為系統(tǒng)要素，基于結構解析模型法設計了一個四面體可展桁架拋物面天線，文獻[11]提出了一種利用伸縮桿驅動的六棱柱展開單元及其構成的大型構架式切割拋物面天線，黃志榮等[12]基于驅動部件的失效模式開展了面向可靠性的四面體構架式可展天線機構驅動部件的優(yōu)化設計，后來其又對偏饋式四面體構架可展天線機構進行了系統(tǒng)的構型設計和展開協(xié)調性研究[13]，張海波等[14]以弦桿夾角的均勻性和最小均方根誤差為優(yōu)化準則提出了確定四面體構架式可展拋物面天線上弦節(jié)點位置的三種映射方法：平面桁架垂直投影映射、中軸線弧等長映射和弦長協(xié)調變化映射，此外，文獻[15-18]也對構架式可展天線的結構設計、展開穩(wěn)定性等展開了相關研究。

上述這些文獻都是針對構架式可展天線的結構設計和控制展開的研究，目前鮮有關于構架式可展天線支撐機構(以下簡稱為構架式可展天線機構)自由度分析的文獻報道，而機構自由度的分析是對一個機構最基本的認識。構架式可展天線機構由多個基本可展單元通過一定的機構學原理連接而成，其基本可展單元本身就屬于空間多環(huán)耦合機構，因此，這類天線機構的結構比一般的串聯(lián)、并聯(lián)及串并混聯(lián)機構要復雜得多，傳統(tǒng)的機構自由度分析方法[19-24]和單個多環(huán)耦合機構的自由度分析方法[25-27]已不再適用于此類構架式可展天線機構。鑒于上述原因，本文提出一種拆桿等效法分析四面體構架式可展天線機構的自由度。

1 拆桿等效法介紹

鑒于空間多環(huán)耦合機構可以看做是在并聯(lián)機構的基礎上添加一定數(shù)量的耦合約束鏈構成的，本文提出一種拆桿等效法分析此類機構的自由度。該方法的主要思想是先將機構的耦合約束鏈拆除得到基本并聯(lián)機構，然后基于螺旋理論分析基本并聯(lián)機構動平臺的自由度數(shù)目及性質，進而構建并聯(lián)機構動平臺與基座之間的等效串聯(lián)運動鏈，再次復原拆除的耦合約束鏈得到整個多環(huán)耦合機構的等效機構，最后通過分析等效機構的自由度獲知原多環(huán)耦合機構的自由度。其求解步驟可概括為：① 拆桿，得到基本并聯(lián)機構；② 基于螺旋理論分析并聯(lián)機構的自由度；③ 根據(jù)并聯(lián)機構的自由度數(shù)目及性質建立等效串聯(lián)運動鏈；④ 復原拆桿，建立原空間多環(huán)耦合機構的等效機構，分析等效機構的自由度。

其中，從多環(huán)耦合機構中合理拆分基本并聯(lián)機構和構建整個機構的等效機構是該方法的關鍵。需要注意的是：① 為了復原拆桿后得到構型簡單的等效機構，在選擇基本并聯(lián)機構時以與耦合約束鏈兩端相連的桿件之一作為并聯(lián)機構的動平臺；② 因在原位置復原拆除的耦合約束鏈，故需分別以與耦合約束鏈兩端連接的桿件為并聯(lián)機構的動平臺分析其自由度并構建其與基座之間的等效串聯(lián)運動鏈。

本文以四面體可展天線機構為例應用拆桿等效法分析此類空間多環(huán)耦合機構的自由度。

2 四面體可展天線機構的自由度分析

2.1 基本可展單元的結構及自由度分析

四面體可展天線機構的基本可展單元由4個節(jié)點、9根連桿和15個轉動副組成，如圖1所示。為方便分析，記四面體基本可展單元頂端的1個節(jié)點和底面的3個節(jié)點分別為H、A、B、C，15個轉動副的中心分別為點R1～R15，連桿R10R11、R12R13、R14R15的軸線延長線相交于點P，四面體底面三角形ABC的外心為點O。連桿R1R2和R2R3等長，連桿R4R5和R5R6等長，連桿R7R8和R8R9等長，連桿R10R11、R12R13、R14R15等長，15個轉動副的方向矢量S1～S15滿足的幾何關系為：S1∥S2∥S3⊥平面R1R2R3，S4∥S5∥S6⊥平面R4R5R6，S7∥S8∥S9⊥平面R7R8R9，S10∥S11⊥平面AOP，S12∥S13⊥平面COP，S14∥S15⊥平面BOP，且節(jié)點H上的三個轉動副共面。

該四面體基本可展單元屬于空間多環(huán)耦合機構，根據(jù)本文提出的拆桿等效法選取節(jié)點B和C之間的R7R8R9運動鏈為耦合約束鏈，以節(jié)點A為基座，分別以節(jié)點B和C為并聯(lián)機構的動平臺分析其相對于基座的自由度數(shù)目和性質。

首先，拆除節(jié)點B和C之間的R7R8R9耦合約束鏈，將四面體基本可展單元的剩余部分視做以節(jié)點A為基座，節(jié)點B為動平臺，含兩個支撐分支的并聯(lián)機構，如圖2所示，其中，一個分支為R1R2R3串聯(lián)運動鏈，另一個分支為含閉環(huán)子鏈的(R4R5R6R12R13R11R10)-R15R14運動鏈。

其次，基于螺旋理論分析圖2所示的基本并聯(lián)機構的自由度。在基座A處建立參考坐標系A-XYZ，其中X軸沿節(jié)點B、A的連線方向，Y軸位于平面ABC且與節(jié)點B、A的連線垂直，則Z軸恰好與四面體單元底面的法線OP平行，如圖2 所示。四面體可展單元在收攏/展開過程中任意位形下其連桿R1R2和R2R3處于半折疊狀態(tài)(即兩桿不共軸)，連桿R4R5和R5R6、R7R8和R8R9亦然，則在四面體可展單元收攏/展開過程中的任意位形下，圖2所示并聯(lián)機構的分支1的運動螺旋系在參考坐標系A-XYZ下可表示為

圖1 四面體基本可展單元結構簡圖 Fig.1 Schematic diagram of deployable tetrahedralelement

圖2 拆桿后的基本并聯(lián)機構簡圖Fig.2 Schematic diagram of parallel mechanism with one coupled chain being removed

(1)

式中：[0b1c1]為分支1中轉動副的方向矢量；[x10 0]、[x2y2z2]、[x30 0]分別為轉動副中心點R1、R2、R3的坐標。

求式(1)所示運動螺旋系的反螺旋可得分支1提供給動平臺B的約束力螺旋系為

(2)

在分析分支2提供給動平臺B的約束作用之前先分析與分支2的閉環(huán)子鏈等效的廣義運動副。將閉環(huán)子鏈R10R4R5R6R12R13R11視作以節(jié)點H為動平臺、節(jié)點A為基座，含分支R10R11和分支R4R5R6R12R13的并聯(lián)機構，則分支R10R11的運動螺旋系在坐標系A-XYZ下可表示為

(3)

式中：[a4b40]為連桿R10R11兩端轉動副的方向矢量；[x11y11z]為轉動副中心點R11的坐標。

根據(jù)反螺旋理論可得分支R10R11提供給節(jié)點H的約束力螺旋系為

(4)

同理，分支R4R5R6R12R13的運動螺旋系在坐標系A-XYZ下可表示為

(5)

式中：[a2b2c2]和[a5b50]分別為運動鏈R4R5R6中轉動副和連桿R12R13兩端轉動副的方向矢量；[x4y40]、[x5y5z5]、[x6y60]、[x12y120]和[x13y13z]分別為轉動副中心點R4、R5、R6、R12和R13的坐標。

求式(5)所示螺旋系的反螺旋可得分支R4R5R6R12R13提供給節(jié)點H的約束力螺旋為

(6)

式(6)表示與運動鏈R4R5R6中轉動副和連桿R12R13兩端轉動副的軸線均垂直的約束力偶。

則求式(4)和式(6)所示約束力螺旋的并集可得在閉環(huán)子鏈中節(jié)點H受到的約束力螺旋系，從而根據(jù)反螺旋理論可得節(jié)點H的運動螺旋為

(7)

分支P0R15R14提供給動平臺B的約束力螺旋系在坐標系A-XYZ下可表示為

圖3 分支2的等效分支Fig.3 Equivalent mechanism of limb 2

(8)

則式(2)和式(8)所示約束力螺旋系的并集即為動平臺B受到的約束力螺旋系，求該約束力螺旋系的反螺旋可得節(jié)點B相對于節(jié)點A的運動螺旋為

(9)

式(9)表示沿X軸的移動，即在四面體可展單元收攏/展開過程中任意位形下拆除耦合約束鏈R7R8R9得到的并聯(lián)機構中節(jié)點B相對于節(jié)點A具有1個沿A、B連線方向的移動自由度。

同理，以節(jié)點C為并聯(lián)機構的動平臺，可得節(jié)點C相對于節(jié)點A也具有1個沿A、C連線方向的移動自由度。因此，在拆除耦合約束鏈R7R8R9的機構中，節(jié)點B和C與節(jié)點A之間的等效串聯(lián)運動鏈均為1個移動副，記節(jié)點B和C與節(jié)點A通過移動副相連的接觸點分別為P1和P2。

最后，在節(jié)點B和C之間復原拆除的R7R8R9約束鏈，并結合節(jié)點B(C)與節(jié)點A之間的等效串聯(lián)運動鏈可構建圖1所示的處于收攏/展開過程中的四面體基本可展單元的等效機構，如圖4所示。

圖4 四面體基本可展單元的等效機構 Fig.4 Equivalent mechanism of deployable tetrahedralelement

顯然，圖4所示的單閉環(huán)機構中，與三個轉動副的軸線垂直的2個約束力偶為該機構的公共約束，該機構中不存在冗余約束和局部自由度，則根據(jù)修正的G-K公式可得圖4所示等效機構的自由度為

4×(5-5-1)+5=1

(10)

式中：M為機構的自由度數(shù)目；d為機構的階數(shù)，且d=6-λ，λ為機構的公共約束數(shù)；n為含機架的構件數(shù)；g為機構中運動副的數(shù)目；fi為第i個運動副的自由度數(shù)目；v為除公共約束后冗余約束的數(shù)目；ξ為機構中存在的局部自由度數(shù)。

式(10)表明圖4所示的等效機構只有1個自由度，且在該機構運動過程中節(jié)點B和節(jié)點C相對于節(jié)點A只發(fā)生移動運動。為便于分析節(jié)點B和C向節(jié)點A移動的過程中節(jié)點B和C之間的相對運動，將節(jié)點B視為定節(jié)點，節(jié)點C視為動節(jié)點，根據(jù)運動螺旋和約束力螺旋之間的反螺旋關系可知P1P2運動鏈提供給節(jié)點C一個垂直平面ABC的約束力和空間的三個約束力偶，R7R8R9運動鏈提供給節(jié)點C一個沿該鏈中轉動副軸線的約束力和兩個與該鏈中轉動副軸線垂直的約束力偶，則節(jié)點C共受到2個約束力和5個約束力偶，限制了節(jié)點C的2個移動和3個轉動自由度，根據(jù)2個約束力的方位可知節(jié)點C相對于節(jié)點B具有1個沿B、C連線方向的移動運動，因此，節(jié)點B與C之間的R7R8R9運動鏈與一個軸線沿B、C連線方向的移動副等效，記節(jié)點B和C通過移動副相連的接觸點為P3，則圖4所示的等效機構可進一步簡化為圖5所示的機構。

圖5 四面體基本可展單元的最簡等效機構 Fig.5 Simplest equivalent mechanism of deployabletetrahedral element

綜上，圖1所示的四面體基本可展單元在收攏/展開過程中始終具有1個自由度，任選1個轉動副添加驅動，若頂節(jié)點H固定，則在驅動作用下，節(jié)點A、B、C始終保持各自的姿態(tài)不變分別沿直線AO、BO、CO同步遠離或靠近點O，即在四面體基本可展單元的收攏/展開過程中，其底面三角形ABC同比例縮小或放大。

(11)

(12)

運動鏈R4R5R6中間轉動副運動螺旋的改變未影響分支2提供給動平臺B的約束力螺旋系，因此，四面體基本可展單元在完全展開狀態(tài)，其動平臺B受到的約束力螺旋系為式(2)、式(8)和式(12)所示約束螺旋的并集，該約束力螺旋系的最大線性無關數(shù)為6，限制了動平臺B所有的自由度。

因此，四面體基本可展單元機構在完全展開狀態(tài)自由度為零，則由其組成的最小組合單元及大型構架式可展天線機構在完全展開狀態(tài)的自由度也為零。從機構學角度來說四面體基本可展單元及其組成的大型機構的完全展開狀態(tài)即為其在整個工作空間內的邊界奇異位形，機構處于極限點時不能再繼續(xù)運動。故僅分析四面體基本可展單元組成的最小組合單元及大型構架式可展天線機構在收攏/展開過程中任意位形下的自由度。

2.2 最小組合單元的結構及自由度分析

四面體可展天線機構的最小組合單元由3個基本可展單元共用1個底面節(jié)點且基本可展單元彼此之間通過三個轉動副構成的串聯(lián)約束鏈連接而成，如圖6所示。每條三轉動副串聯(lián)鏈中的兩根連桿等長，且在每個四面體基本可展單元中，底面節(jié)點與頂節(jié)點之間的連桿等長。

根據(jù)前述四面體基本可展單元在收攏/展開過程中任意位形下的等效機構及基本可展單元間的連接方式易得四面體可展天線機構的最小組合單元的等效機構如圖7所示。

假設圖7中節(jié)點A為定節(jié)點，且斷開節(jié)點B與G之間的三轉動副串聯(lián)約束鏈，在四面體基本可展單元H-ABC的節(jié)點B與A之間的移動副上添加驅動，則根據(jù)單個基本可展單元的自由度數(shù)目及性質可知在驅動作用下節(jié)點B、C、D、E、F、G會同步移動到B′、C′、D′、E′、F′、G′位置，如圖8所示。

根據(jù)相似三角形的性質可得

(13)

即

圖6 最小組合單元結構簡圖Fig.6 Schematic diagram of the minimum composite unit

圖7 最小組合單元的等效機構 Fig.7 Equivalent mechanism of the minimum compositeunit

圖8 圖7所示機構運動后的位形Fig.8 Configuration of mechanism shown in Fig.7 after movement

(14)

式(14)表明當節(jié)點B和G之間無約束鏈時，在節(jié)點B和A之間移動副上添加的驅動作用下，節(jié)點B和G分別沿直線BA和GA同步向節(jié)點A移動，而根據(jù)本文2.1節(jié)的分析可知若復原節(jié)點B和G之間的三轉動副串聯(lián)約束鏈同樣能保證等式(14)成立，因此，圖7所示的等效機構的自由度為1，即四面體可展天線機構的最小組合單元在收攏/展開過程中具有1個自由度。

2.3 大型四面體可展天線機構的結構及自由度分析

大型四面體構架式可展天線的支撐機構由多個四面體基本可展單元彼此之間共用1個底面節(jié)點組成。鑒于每個四面體單元的結構均如圖1所示，在下文中只用簡單的線條表示四面體，不再給出所有轉動副的簡圖，圖9所示為由12個四面體基本可展單元兩兩之間共用1個底面節(jié)點組成的構架式可展天線機構的俯視圖，其中周邊節(jié)點M1與M2、M2與M3、M5與M6、M6與M7、M9與M10、M10與M11之間仍通過三轉動副串聯(lián)約束鏈連接。

根據(jù)四面體基本可展單元在收攏/展開過程中任意位形下的等效機構及基本單元間的連接方式可得圖9所示構架式可展天線機構在收攏/展開過程中的等效機構如圖10所示。

假設圖10所示機構中的12個四面體單元的運動相互獨立，則根據(jù)本文2.1節(jié)對四面體基本可展單元自由度的分析可知每個四面體單元在運動過程中其底面三角形同比例縮小/放大，即存在以下幾何關系：

圖9 含12個四面體單元的構架式可展天線機構的俯視圖Fig.9 Top view of deployable truss-antenna mechanism assembled by 12 tetrahedral elements

圖10 圖9所示構架式可展天線機構的等效機構Fig.10 Equivalent mechanism of deployable truss-antenna mechanism shown in Fig.9

(15)

式中：A′B′、A′C′和B′C′分別為四面體單元ABC在獨立收攏/展開過程中底面節(jié)點A與B、A與C、B與C之間的距離，是隨時間變化的量；AB、AC、BC分別為四面體單元ABC在初始狀態(tài)下底面節(jié)點A與B、A與C、B與C之間的距離，是常量；λ1為四面體單元ABC在收攏/展開過程中其底面節(jié)點兩兩之間的距離相對于初始距離的變化系數(shù)，是個變量；與λ1的定義類似，λ2～λ12分別為其他11個四面體單元在獨立收攏/展開過程中底面節(jié)點兩兩之間的距離相對于相應初始距離的變化系數(shù)。

此外，從圖9和圖10可以看到第1～12個四面體基本可展單元兩兩之間共用1個節(jié)點組成構架式可展天線機構的過程中自動構成了閉環(huán)機構BCM12、ACD、EDM4、AEF、ABG及GFM8，假設這6個閉環(huán)機構的運動也相互獨立，則這6個閉環(huán)機構在運動過程中存在以下幾何關系：

(16)

式中：λ13～λ18分別為閉環(huán)機構BCM12、ACD、EDM4、AEF、ABG及GFM8在獨立收攏/展開過程中其節(jié)點兩兩之間的距離相對于相應初始距離的變化系數(shù)，與λ1的定義類似。

當上述12個四面體單元機構和6個閉環(huán)機構的運動相互制約時，將式(16)代入式(15)可得

λ1=λ2=…=λ18

(17)

式(17)表明所有四面體單元在運動過程中底面相鄰兩節(jié)點間距離相對于其初始距離的變化系數(shù)相等，則僅在單個驅動作用下圖10所示機構就能實現(xiàn)整體縮小/放大。因此，圖9所示的由12個四面體基本可展單元組成的天線機構在收攏/展開過程中具有1個自由度，若固定底面中心節(jié)點A，則所有四面體同步向節(jié)點A靠攏，且在運動過程中各節(jié)點姿態(tài)始終保持不變。

同理可得由n(n>12)個四面體基本可展單元兩兩共用1個底面節(jié)點組成的大型構架式可展天線機構在收攏/展開過程中具有1個自由度，在完全展開狀態(tài)(即邊界奇異位形處)機構自由度減少為零。

3 仿真驗證

根據(jù)前述分析可知由多個四面體基本可展單元組成的大型構架式可展天線機構在收攏/展開過程中只具有1個自由度，即在機構收攏/展開的過程中所有節(jié)點只發(fā)生相對移動，其姿態(tài)始終保持初始位形下的姿態(tài)不變。在這里以圖11所示的由27個四面體基本可展單元組成的球面構架式可展天線的支撐機構為例驗證前述自由度分析的正確性。

圖11 含27個四面體單元的構架式可展天線機構俯視圖Fig.11 Top view of deployable truss-antenna mechanism assembled by 27 tetrahedral elements

圖11所示構架式可展天線機構在完全展開狀態(tài)的三維模型如圖12所示，該位形下27個四面體單元底面的節(jié)點位于球面上，即底面各節(jié)點姿態(tài)不相同。一般來說機構處于奇異位形時需靠冗余驅動或附加外力避開該位形后才恢復原有的自由度，因此，添加多個驅動使圖12所示可展天線機構避開其邊界奇異位形(即完全展開狀態(tài))后，僅在連接節(jié)點A和B的三轉動副串聯(lián)約束鏈的中間轉動副上添加驅動，使該轉動副每秒轉動0.5°，則所有四面體單元在該驅動作用下同步向中心節(jié)點A收攏，圖13和圖14分別為該天線機構的半收攏狀態(tài)和收攏末態(tài)。需要說明的是任選該機構的其他轉動副添加驅動，均能達到圖14所示的收攏末態(tài)。

在圖11所示機構中選取四面體單元底面三角形M1M2M14，已知在該機構完全展開狀態(tài)節(jié)點M1與M2、M2與M14、M1與M14之間的距離為：M1M2=0.353 m，M2M14=0.395 m，M1M14=0.377 m，測得在機構收攏過程中節(jié)點M1與M2、

圖12 完全展開狀態(tài)的三維模型Fig.12 3D model of antenna in fully expanded state

圖13 中間狀態(tài)的仿真模型Fig.13 Simulation model of antenna in its middle state

圖14 收攏末態(tài)的仿真模型Fig.14 Simulation model of antenna in its folded state

M2與M14、M1與M14之間的距離變化曲線如圖15 所示。

令

(18)

由圖15和節(jié)點M1與M2、M2與M14、M1與M14之間的初始距離可得

λ1,2=λ2,14=λ1,14=λ0

(19)

圖15 三角形M1M2M14的節(jié)點兩兩之間的距離變化曲線Fig.15 Distance between arbitrary two nodes of triangle M1M2M14

同理，可測得圖11所示機構在收攏過程中其他四面體單元底面三角形的節(jié)點兩兩之間的距離變化曲線，通過計算可得其與初始距離之間的比例系數(shù)均為λ0，如圖16所示。

圖16 比例收攏系數(shù)λ0Fig.16 Value of proportional shrinkage factor λ0

從圖12～圖14可以看到圖11所示的含27個四面體基本可展單元的構架式可展天線機構在避開邊界奇異位形后僅在1個驅動作用下實現(xiàn)了收攏運動，且在初始狀態(tài)位于球面上的所有節(jié)點在收攏末態(tài)位于同比例縮小的球面上，說明各節(jié)點向中心節(jié)點A收攏的過程中僅發(fā)生了移動運動，姿態(tài)未發(fā)生改變，此外，圖16表明在機構收攏過程中所有四面體基本單元同比例收攏，充分驗證了本文基于拆桿等效法對四面體基本可展單元及由其組成的大型構架式可展天線機構的自由度分析的正確性。

4 結 論

1) 基于螺旋理論提出了一種分析空間多環(huán)耦合機構自由度的拆桿等效法。將復雜的多環(huán)耦合機構拆分為基本并聯(lián)機構和耦合約束鏈，基于螺旋理論分析基本并聯(lián)機構的運動得到等效串聯(lián)運動鏈，結合耦合約束鏈得到多環(huán)耦合機構的等效機構，化簡了耦合機構的結構，從而通過分析等效機構得到原機構的自由度數(shù)目和性質。

2) 應用提出的拆桿等效法將空間多環(huán)耦合的四面體單元機構等效為一個單閉環(huán)機構，并化簡了由其構成的大型構架式可展天線機構的結構，通過分析等效機構得到了四面體基本可展單元及其構成的大型構架式可展天線機構的自由度數(shù)目及性質，為進一步分析此類天線機構的運動學和動力學奠定了理論基礎。

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(責任編輯： 李世秋)

*Corresponding author. E-mail: yszhao@ysu.edu.cn

Mobility analysis of a deployable truss-antenna mechanism—Method based on link-demolishing and equivalent idea

XU Yundou1,2, LIU Wenlan1, CHEN Liangliang1, YAO Jiantao1,2, ZHAO Yongsheng1,2,*, ZHU Jialong3

1.ParallelRobotandMechatronicSystemLaboratoryofHebeiProvince,YanshanUniversity,Qinhuangdao066004,China2.KeyLaboratoryofAdvancedForging&StampingTechnologyandScienceofMinistryofNationalEducation,YanshanUniversity,Qinhuangdao066004,China3.ChinaAcademyofSpaceTechnology(Xi’an),Xi’an710100,China

A method for Degree Of Freedom (DOF) analysis of spatial mechanisms with multiple coupled-loops is proposed based on the link-demolishing and equivalent idea, in view of the multi-loop coupling characteristic of a deployable truss antenna assembled by tetrahedral elements. The coupling constraint chain of the deployable tetrahedral element is removed, and the remainder is regarded as a parallel mechanism. The number and characteristic of the DOF of each output node are then analyzed using the screw theory, and the equivalent serial kinematic chain between the output nodes and the fixed node are then established. The equivalent mechanism of the deployable tetrahedral element is obtained by reconstructing the coupling constrained chain. The number and characteristic of the DOF of the equivalent mechanism are got using the modified G-K formula and the reciprocal screw theory, respectively. As a result, the kinematic characteristics of the tetrahedral element are known. The structure of the minimum composite unit and the large-scale truss deployable antenna are simplified, according to the equivalent mechanism and the combination of the tetrahedral elements. The numbers of the DOF of the minimum composite unit and the large-scale truss deployable antenna are derived on the basis of the geometric constraint equations. The simulation model for a deployable truss antenna assembled by 27 tetrahedral elements is built, and its DOF is verified. The result shows that the DOF of the antenna analyzed by the proposed method is correct. The method lays a foundation for further analysis of the kinematics and dynamics of similar type of antennas, providing a new idea for DOF analysis of other multi-loop coupling mechanisms.

link-demolishing and equivalent method; tetrahedron cell; deployable antennas; mobility; screw theory

2017-02-24； Revised： 2017-03-13； Accepted： 2017-03-21； Published online： 2017-04-19 11:24

URL： www.cnki.net/kcms/detail/11.1929.V.20170419.1124.006.html

s： National Natural Science Foundation of China (51675458); Key Project of Natural Science Foundation of Hebei Province (E2017203335); Youth Top Talent Project of Hebei Province Higher Education (BJ2017060)

V243.4; TH112

A

1000-6893(2017)09-421188-12

2017-02-24； 退修日期： 2017-03-13； 錄用日期： 2017-03-21； 網(wǎng)絡出版時間： 2017-04-19 11:24

www.cnki.net/kcms/detail/11.1929.V.20170419.1124.006.html

國家自然科學基金(51675458)； 河北省自然科學基金重點項目(E2017203335)； 河北省高等學校青年拔尖人才計劃項目 (BJ2017060)

*通訊作者.E-mail: yszhao@ysu.edu.cn

許允斗， 劉文蘭， 陳亮亮， 等． 構架式可展天線機構自由度分析——拆桿等效法[J]． 航空學報, 2017, 38(9): 421188. XU Y D, LIU W L, CHEN L L, et al. Mobility analysis of a deployable truss-antenna mechanism—Method based on link-demolishing and equivalent idea[J]. Acta Aeronautica et Astronautica Sinica, 2017, 38(9): 421188.

http://hkxb.buaa.edu.cn hkxb@buaa.edu.cn

10.7527/S1000-6893.2017.421188