郭聰，陳楊，貝超

(北京電子工程總體研究所，北京 100854)

面向空間非合作目標附著的制導控制律設(shè)計*

郭聰，陳楊，貝超

(北京電子工程總體研究所，北京 100854)

以實現(xiàn)對空間非合作目標表面附著的同時保證與其相對速度為0(“零距零速”附著)為目標，首先規(guī)劃了附著任務(wù)的燃料最優(yōu)軌跡，推導了主動飛行器動力學模型中的最優(yōu)性一階必要條件，用間接法求解多約束下的燃料最優(yōu)附著問題。然后，提出了用滑模變結(jié)構(gòu)控制追蹤燃料最優(yōu)軌跡的“零距零速”附著控制方法，結(jié)合了燃料最優(yōu)控制和滑?？刂频膬?yōu)點，是一種近似燃料最優(yōu)的反饋控制方法。仿真算例表明，該方法可有效克服初始誤差和建模誤差，同時實現(xiàn)近似燃料最優(yōu)，具有一定的可行性和工程應(yīng)用價值。

零距零速；非合作目標；燃料最優(yōu)；極大值原理；滑?？刂?；指數(shù)趨近律

0 引言

隨著在軌衛(wèi)星數(shù)量迅速增長，在軌維護任務(wù)的需求不斷上升，牽引了相關(guān)技術(shù)的研究開展。針對合作目標的相關(guān)技術(shù)已進入工程應(yīng)用階段，針對非合作目標的相關(guān)研究仍處于關(guān)鍵技術(shù)攻關(guān)階段。其中，如何處理具有非合作屬性的在軌失效衛(wèi)星就是一個十分棘手的問題。

非合作目標的在軌服務(wù)難度要遠大于合作目標，以失效衛(wèi)星為例，這類目標通常會繞其最大慣量主軸自旋[1]，自旋角速度一般大于1(°)/s[2]。對非合作自旋目標的在軌服務(wù)策略主要有以下2種[3]：第1種是保持主動飛行器的相對位姿不動，采用機械臂等降低目標飛行器的轉(zhuǎn)動角速度后進行操控；第2種是對主動飛行器施加控制，使其與目標飛行器姿態(tài)同步后進行操控。顯然，后一種策略具有較高的安全性和可行性。執(zhí)行在軌維護的前提是完成對目標的抵近以及可靠連接，其中主動飛行器制導控制技術(shù)是關(guān)乎大局的關(guān)鍵技術(shù)。在目標抵進過程的軌道運動領(lǐng)域，文獻[4-5]采用在主動飛行器軌道系中的模型，其中文獻[4]考慮了機動規(guī)避的情況用Lyapunov最小-最大方法設(shè)計控制律。文獻[6-7]則采用了在主動飛行器視線系中的相對運動模型，其中文獻[7]在文獻[6]的基礎(chǔ)上，控制律設(shè)計中采用了滑?？刂坪妥赃m應(yīng)控制的方法。文獻[8]則在目標飛行器軌道系中建模，并設(shè)計了非線性反饋姿態(tài)控制律以及基于最優(yōu)實時閉環(huán)反饋法的軌道控制律。在實現(xiàn)兩飛行器之間的姿態(tài)同步控制領(lǐng)域，文獻[9]采用了反饋控制和最優(yōu)控制的方法，文獻[10]則采取了前饋和反饋相結(jié)合的控制方法，文獻[11]針對空間機器人捕獲自由漂浮航天器的問題，設(shè)計了相對位置和姿態(tài)的同步控制算法，文獻[12]中研究了針對于翻滾目標交會的最優(yōu)控制問題。

主動飛行器向目標飛行器的接近過程對于在軌服務(wù)無疑是非常重要的一個過程，對于各類空間任務(wù)來說，接近過程的燃料消耗是工程實際中最關(guān)心的因素之一，此外設(shè)計的控制系統(tǒng)抵抗因目標非合作屬性導致的擾動的能力是另一大關(guān)注點。本文在工程實際需求的牽引下，以針對非合作目標的“零距零速”附著任務(wù)為背景，在目標飛行器本體坐標系中建立主動飛行器動力學模型，采用間接法求解多約束條件下的燃料最優(yōu)問題，將結(jié)果作為標稱軌跡；進一步引入滑模變結(jié)構(gòu)控制跟蹤該最優(yōu)軌跡，實現(xiàn)一種近似燃料最優(yōu)的反饋控制。本文采用的方法在在軌服務(wù)領(lǐng)域公開發(fā)表的文獻中尚未見報道，該方法能夠為背景任務(wù)的開展提供一定的參考。

1 “零距零速”附著任務(wù)的數(shù)學模型

1.1坐標系定義

任務(wù)起始時，主動飛行器與目標飛行器已經(jīng)相當接近，通過主動飛行器上搭載的多模探測系統(tǒng)可直接獲取到與目標飛行器的相對位置、速度信息，以及目標飛行器的自旋角速度等信息，故直接利用2個飛行器之間的相對運動參數(shù)設(shè)計制導控制規(guī)律，從而能夠獲得滿足附著任務(wù)需求的相對位置精度。在研究空間飛行器環(huán)繞地球運行的經(jīng)典二體問題時，在軌空間飛行器以地心慣性坐標系作為參考系。然而，在建立環(huán)繞地球飛行的2飛行器之間的相對運動模型時，不能再采用地心慣性坐標系，而需要引進新的坐標系。為方便研究主動飛行器對非合作的目標飛行器的相對運動，常用的坐標系為目標飛行器軌道坐標系或者主動飛行器視線坐標系。但在此類坐標系中，大多把目標飛行器看做一個質(zhì)點，沒有考慮附著點在坐標系中的具體位置，更沒有考慮到目標自旋對附著點跟蹤的影響。

定義目標飛行器固連坐標系，原點O位于目標飛行器的整體質(zhì)心處，3個坐標軸OXb，OYb，OZb與目標飛行器本體固連，其中OZb沿飛行器的最大慣量主軸方向，通常來說，典型的非合作目標如失效航天器等均繞其最大慣量主軸自旋。OXb，OYb沿目標飛行器的其他2個慣量主軸方向。因此，目標飛行器旋轉(zhuǎn)角速度可表示為ω=(0,0,ω)T。

1.2動力學模型

在自旋角速度遠大于軌道角速度、目標飛行器軌道周期遠大于任務(wù)周期這2個“遠大于”的基礎(chǔ)上，可以合理的忽略軌道角速度，只考慮目標自旋角速度在2飛行器相對運動模型起作用，顯然目標飛行器相對于慣性空間的加速度也是一個小量，可以被忽略。

在目標飛行器本體系中，簡化發(fā)動機推力模型，主動飛行器的動力學方程為

(1)

式中：r為目標本體系中主動飛行器的位置矢量；ω為目標飛行器的自旋角速度；T為主動飛行器發(fā)動機推力值；m(t)為主動飛行器的瞬時質(zhì)量；α為描述主動飛行器發(fā)動機推力方向的單位矢量；f為綜合考慮攝動加速度、目標飛行器可能存在的規(guī)避機動加速度、系統(tǒng)外部輸入的干擾以及模型不確定部分等，形成的總的不確定等效性加速度項。在式中，發(fā)動機推力幅值T和推力方向α是控制量。

將動力學方程式(1)寫成更為具體的分量形式，且由本文先前所述，在目標本體坐標系中ω=(0,0,ω)T，一并代入式(1)可得

(2)

2 末端時間約束下的燃料最優(yōu)軌跡規(guī)劃

在規(guī)劃“零距零速”附著任務(wù)的燃料最優(yōu)軌跡時，暫不考慮建模過程中的各種干擾和誤差導致的等效加速度項f，主動飛行器的動力學方程簡化為

(3)

將動力學方程式寫為狀態(tài)方程形式

(4)

式中：Isp為發(fā)動機比沖；g0為海平面重力加速度。

本問題中，初始時刻記為t0，初始狀態(tài)約束為

r(t0)=r0,v(t0)=v0,m(t0)=m0.

(5)

終端時刻記為tf，終端狀態(tài)約束為

r(tf)=rf,v(tf)=0.

(6)

為了使任務(wù)過程中的燃料消耗最少，性能指標選取終端型性能指標[13]，并設(shè)計如下的具體形式：

J=-λ0m(tf)，

(7)

式中：λ0為初值歸一化乘子[14]。

(8)

燃料最優(yōu)控制問題的Hamilton函數(shù)為

(9)

(10)

式(4)所描述的7維狀態(tài)方程和式(10)所描述的7維協(xié)態(tài)方程，組成了本文中最優(yōu)控制問題的正則方程，該14維微分方程組是求解本問題的關(guān)鍵。

根據(jù)Pontryagin極大值原理，所求得的最優(yōu)控制律應(yīng)使Hamilton函數(shù)取極值。Hamilton函數(shù)中與控制量(發(fā)動機推力幅值T和推力方向α)有關(guān)的項

(11)

整理得

(12)

為使Hamilton函數(shù)取極值，要使式(12)盡量小。

式中：T是非負的，括號中第2項的取值恒為正，括號中第1項因為推力方向α的形式不確定而無法確定大小及正負。故在設(shè)計α時，既要考慮能夠使式的值盡量小，又能夠盡量兼顧表達形式簡潔。

于是，選取如下推力方向控制策略

(13)

即推力方向α總是與速度協(xié)態(tài)變量λv反向。

將式(13)代入式(12)，有

(14)

式中：

(15)

設(shè)主動飛行器發(fā)動機提供的最大推力為Tmax，則該發(fā)動機提供的推力值區(qū)間為[0,Tmax]。以使Hamilton函數(shù)取極小值為目標，對式(14)的取值情況做如下討論：

當ρ>0時，為使式(14)取值盡量小，T取下界即T=0；

當ρ<0時，為使式(14)取值盡量小，T取上界即T=Tmax。

即形成如下的推力幅值控制策略

(16)

采用式(16)描述的推力幅值策略，主動飛行器的發(fā)動機只工作于其推力區(qū)間的2個邊界值上，即滿推力狀態(tài)和零推力狀態(tài)，故又稱bang-bang控制。ρ為開關(guān)函數(shù)，它的值決定了發(fā)動機的開啟或關(guān)閉。相應(yīng)的，主動飛行器的軌道將分為T=Tmax的滿推段和T=0的滑行段。

綜上，由Pontryagin極大值原理分析確定了如下的最優(yōu)控制律：最優(yōu)推力幅值為bang-bang控制，而推力方向總與速度協(xié)態(tài)變量的方向相反，最優(yōu)控制律的具體形式以及開關(guān)函數(shù)見式(13)，(16)和(15)。

由于末端質(zhì)量m(tf)自由，質(zhì)量協(xié)態(tài)變量的末端值要滿足橫截條件

(17)

至此，最優(yōu)控制問題已轉(zhuǎn)化為兩點邊值問題。共有8個約束方程需要滿足，即式(6)表示的固定的末端位置速度約束、式(17)表示的末端橫截條件約束以及式(8)表示的歸一化乘子約束條件。

3 跟蹤燃料最優(yōu)軌跡的滑模變結(jié)構(gòu)控制問題

3.1滑?？刂坡稍O(shè)計

在求得燃料最優(yōu)著陸軌跡之后，將其作為標稱值，設(shè)計滑模變結(jié)構(gòu)控制器跟蹤最優(yōu)軌跡，實現(xiàn)對空間非合作目標近似燃料最優(yōu)的“零距零速”附著。

記主動飛行器燃料最優(yōu)標稱運動軌跡的x，y和z分量分別為ξ，η和ζ，其實際運動軌跡的三軸分量分別為x，y，z。以x方向為例，定義主動飛行器在x方向?qū)ψ顑?yōu)軌跡的跟蹤誤差為

ex=x-ξ.

(18)

(19)

式中：常數(shù)cx>0。

對式(19)求導，有

(20)

由系統(tǒng)動力學方程式推導得到其在x軸方向上的分量方程為

(21)

將式(21)代入式(20)，并選擇指數(shù)趨近律

(22)

式中：-kxsx為指數(shù)趨近項，kx值決定了收斂速度的大小，該項能夠保證當滑動變量sx離滑模面較遠時，系統(tǒng)狀態(tài)能夠盡快向滑動模態(tài)轉(zhuǎn)移。-εxsgnsx為等速趨近項，此項存在的必要性是由于單純的指數(shù)趨近無法保證運動點在有限時間內(nèi)到達切換面，導致切換面上也就不存在滑動模態(tài)，因而增加此項使得當s接近于0時，趨近速度為εx而不是0，有效保證有限時間內(nèi)可達。εx為表示系統(tǒng)的運動點趨近切換面s=0的速率，εx越大，趨近速度越快，但同時運動點到達滑模面(切換面)的時刻將具有較大的速度，從而導致系統(tǒng)的抖動增大，俗稱“抖振”現(xiàn)象[15]。sgn為符號函數(shù)，表達式為

(23)

為了避免滑?？刂浦械摹岸墩瘛爆F(xiàn)象，可以用飽和函數(shù)sat代替式(22)表示的符號函數(shù)

(24)

式中：Δsx是為了避免“抖振”而設(shè)定的邊界。

對于國家出臺的一系列政策以及一些試行建議和措施，我國公民可以積極參與，聽一些民主政治會議，并在會議上提出自己的意見和建議，以此來不斷優(yōu)化政策和措施，為我國的民主政治建設(shè)貢獻力量，不斷推動我國社會的民主建設(shè)，促使社會的不斷發(fā)展。

將式(21)，(22)代入式(20)，并用飽和函數(shù)sat代替式(22)表示的符號函數(shù)，整理后得到x方向的控制加速度為

εxsatsx-kxsx-fx，

(25)

式中：fx為總的不確定等效加速度項的x軸分量。由于事先只能估算fx的范圍，無法預測準確的值，其在控制加速度中不能出現(xiàn)。故有

εxsatsx-kxsx.

(26)

同理，重復上述步驟，可設(shè)計得到y(tǒng)方向和z方向的控制加速度

εysatsy-kysy；

(27)

εzsatsz-kzsz.

(28)

在本文所定義的目標本體坐標系中，可知ω=(0,0,ω)T，代入式(26)～(28)可得

εxsatsx-kxsx，

(29)

εysatsy-kysy，

(30)

(31)

利用滑?？刂坡?29)～(31)將主動飛行器的運動約束在末端時間約束下的燃料最優(yōu)軌跡附近，不僅對建模不確定性和初始擾動的敏感性大大降低，同時在任務(wù)約束下可最大限度的降低主動飛行器的燃料消耗，實現(xiàn)一種近似燃料最優(yōu)的閉環(huán)反饋控制。

在計算機仿真過程中，標稱軌跡的位置、速度信息可直接對末端時間約束下的燃料最優(yōu)軌跡插值得到。將燃料最優(yōu)軌跡中的位置、速度函數(shù)作為被插值的樣本函數(shù)，很容易得到Lagrange插值多項式，公式結(jié)構(gòu)緊湊，該方法在理論分析和工程應(yīng)用中得到廣泛應(yīng)用。

3.2控制律的Lyapunov穩(wěn)定性分析

為了判斷存在擾動時系統(tǒng)的穩(wěn)定性，以x方向為例進行分析。

取Lyapunov函數(shù)

(32)

求導得

(33)

將動力學方程(21)以及控制律(29)代入式(33)，有

(34)

假設(shè)擾動項fx是有界的，滿足

|fx|≤Dx，Dx≥0.

(35)

進一步，取

εx≥Dx，

(36)

于是有

(37)

即，系統(tǒng)在x方向上的運動是漸近穩(wěn)定的[15]。

4 數(shù)值仿真及結(jié)論

4.1末端時間約束下的燃料最優(yōu)問題算例

以本文背景任務(wù)為算例，由于本文在目標固連本體系中描述主動飛行器的運動軌跡，且目標飛行器存在一定的自旋角速度，使主動飛行器相對與目標飛行器存在一個由目標自旋導致的相對速度，該相對速度可由如下公式計算得到

v=ωr.

(38)

假設(shè)目標飛行器軌道高度為800 km，其自旋角速度為2 (°)/s；主動飛行器的質(zhì)量為50 kg，發(fā)動機比沖300 s，發(fā)動機推力80 N；主動飛行器在目標本體坐標系中的初始相對位置約束為(0,-1.0,0)km，初始相對速度約束為(-0.034 9,0,0)km/s，末端相對位置約束為(0.001,0.001,0.001)km，末端相對速度約束為(0,0,0)km/s，任務(wù)時間約束設(shè)定為60 s。

本文在采用協(xié)態(tài)變量歸一化方法生成協(xié)態(tài)變量后，協(xié)態(tài)變量的初始設(shè)計范圍縮小到(0,1)開區(qū)間內(nèi)，使得對協(xié)態(tài)變量初值的猜測更加容易。采用Fortran的四階龍格-庫塔求解器遞推求解得到主動飛行器的實時運動參數(shù)，進一步采用非線性方程求解器hybrd1對問題涉及的非線性約束方程組進行迭代求解，經(jīng)過多次迭代求得終端時間約束下燃料最優(yōu)的附著軌跡，如圖1～3所示。

圖1 末端時間約束下的燃料最優(yōu)軌跡位置曲線Fig.1 Position curve of fuel-optimal trajectory with time constraint

圖2 末端時間約束下的燃料最優(yōu)軌跡速度曲線Fig.2 Velocity curve of fuel-optimal trajectory with time constraint

圖3 末端時間約束下的燃料最優(yōu)軌跡推力曲線Fig.3 Fuel-optimal trajectory thrust curve with time constraint

算例中，燃料最優(yōu)軌跡需要消耗的主動飛行器推進劑質(zhì)量約0.589 1 kg。

4.2跟蹤燃料最優(yōu)軌跡的滑模變結(jié)構(gòu)控制問題算例

將燃料最優(yōu)軌跡算例作為標稱值，采用滑?？刂破鲗υ摌朔Q軌跡進行跟蹤。在滑?？刂频膮?shù)值選取上，由于本例中建模不確定性造成的加速度數(shù)量級較小，小于10-1m/s2，故算例中等速趨近項參數(shù)選取(10-3，10-3，10-3)，指數(shù)趨近項系數(shù)k選取(0.2，0.2，0.2)，滑模面系數(shù)c取值(1,1,1)。

4.2.1 無初始誤差情況

沒有初始誤差的情況下，仿真結(jié)果如圖4～6所示。

圖4 無初始誤差情況下對最優(yōu)軌跡的位置跟蹤誤差Fig.4 Position tracking error of optimal trajectory without initial error

圖5 無初始誤差情況下對最優(yōu)軌跡的速度跟蹤誤差Fig.5 Velocity tracking error of optimal trajectory without initial error

圖6 無初始誤差時飛行過程中發(fā)動機的推力變化Fig.6 Thrust variation of engine during flight without initial error

分析上述圖中結(jié)果，飛行過程中的位置、速度誤差的數(shù)量級均在10-3以下，說明設(shè)計的滑?？刂坡赡軌?qū)ο惹耙?guī)劃的燃料最優(yōu)軌跡進行高精度跟蹤。采用滑模控制的實際飛行軌跡產(chǎn)生的燃料消耗約0.612 1 kg，接近燃料最優(yōu)軌跡給出的最優(yōu)值，實現(xiàn)了近似燃料最優(yōu)的反饋控制。

4.2.2 存在初始誤差情況

在真實任務(wù)場景中，因為定軌誤差的存在，導致主動飛行器在初始時刻的位置、速度與規(guī)劃的標稱軌跡初始點的位置、速度存在偏差。

在仿真中，將主動飛行器的初始位置、速度均加入誤差，其中初始位置誤差Δr=(0.1,0.1,0.01)km，初始速度誤差Δv=(0.001,0.001,0.001)km/s。需要說明的是：為了驗證控制律的有效性以及更明顯的反應(yīng)出控制律的控制效果，初始誤差的取值均比實際情況要大。相應(yīng)的仿真結(jié)果如圖7～9所示。

圖7 存在初始誤差情況下對最優(yōu)軌跡的位置跟蹤誤差Fig.7 Position tracking error of optimal trajectory with initial error

圖8 存在初始誤差情況下對最優(yōu)軌跡的速度跟蹤誤差Fig.8 Velocity tracking error of optimal trajectory with initial error

如圖，在滑模控制律的作用下，主動飛行器在飛行過程中克服了初始誤差。圖9為滑?？刂葡碌娘w行過程發(fā)動機推力變化。由于初始誤差取值較大，導致主動飛行器在飛行開始階段修正初始誤差、回到標稱軌跡這一過程的燃料消耗較大，最終實際消耗推進劑約0.67 kg，大于無初始擾動情況的0.612 1 kg和末端時間約束下的燃料最優(yōu)策略情況的0.589 1 kg。

需要指出的是，在實際工程中，發(fā)動機開機時的推力近似為常值(不考慮誤差)。所以，計算機仿真得到的連續(xù)變化的推力需要進一步調(diào)制成發(fā)動機多次開關(guān)機的常值推力形式。這就要求主動飛行器攜帶多種不同推力的發(fā)動機，以保證末端附著精度。常值推力調(diào)制的方法國內(nèi)外已有較多相關(guān)研究，本文受篇幅所限不再贅述。

5 結(jié)束語

本文基于固連于目標飛行器的目標本體坐標系建立主動飛行器動力學模型，提出了一種滑模變結(jié)構(gòu)控制跟蹤燃料最優(yōu)軌跡的閉環(huán)反饋控制方法。該方法將燃料最優(yōu)控制與滑模變結(jié)構(gòu)控制相結(jié)合，通過理論分析和仿真結(jié)果表明：該方法在繼承了滑模變結(jié)構(gòu)控制快速響應(yīng)、對參數(shù)變化及擾動不敏感的特點的同時，還能使得燃料消耗近似最少。此方法對于具體工程應(yīng)用具有一定的參考意義。

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DesignofGuidanceControlLawforSpaceNon-CooperativeTargetAttachment

GUO Cong，CHEN Yang，BEI Chao

(Beijing Institute of Electronic System Engineering，Beijing 100854，China)

In order to achieve the goal of attaching the surface of the non-cooperative target while relative velocity is zero, the following research has been done. Firstly, the fuel optimal trajectory of the task is programmed. The first order necessary conditions of the optimal dynamic model of active vehicle are derived and indirect method is used for solving the optimal fuel adhesion problem with multiple constraints. Then, a “zero distance and zero velocity” adhesion control method is proposed with sliding mode control to track the fuel optimal trajectory. This method combining the advantages of fuel optimal control and sliding mode control is a kind of approximate optimal feedback control method. Simulation example shows that this method can effectively overcome the initial error and model error, and achieve approximate fuel optimal. This method has certain feasibility and engineering application value.

zero distance zero velocity；non-cooperative target；fuel optimization；maximum principle；sliding mode control；exponential approach law

2017-02-21；

2017-03-10

有

郭聰(1991-)，男，北京人。碩士生，主要從事空間飛行器總體方向研究。

通信地址：100854 北京142信箱30分箱E-mail：guocong1991@foxmail.com

10.3969/j.issn.1009-086x.2017.05.013

V448.233；TP391.9

A

1009-086X(2017)-05-0078-09