蘇憲飛，張忠陽(yáng)，張弫，谷逸宇

(1.北京電子工程總體研究所，北京 100854；2.中國(guó)航天科工集團(tuán) 第二研究院，北京 100854)

遠(yuǎn)程防空導(dǎo)彈的新型彈道優(yōu)化設(shè)計(jì)*

蘇憲飛1，張忠陽(yáng)2，張弫1，谷逸宇1

(1.北京電子工程總體研究所，北京 100854；2.中國(guó)航天科工集團(tuán) 第二研究院，北京 100854)

針對(duì)新型目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)學(xué)特性，在總結(jié)了傳統(tǒng)的遠(yuǎn)程攔截導(dǎo)彈飛行彈道基礎(chǔ)上，建立了快速介入攔截彈道模型并對(duì)彈道進(jìn)行了仿真，并對(duì)仿真結(jié)果進(jìn)行了分析。同時(shí)利用hp-自適應(yīng)偽譜法以攔截時(shí)間最小為優(yōu)化目標(biāo)對(duì)其進(jìn)行了優(yōu)化。優(yōu)化結(jié)果表明，快速介入攔截彈道能夠很好的同時(shí)滿足攔截快速性和較大橫向修偏能力的需求。

遠(yuǎn)程防御；快速介入攔截彈道；hp-自適應(yīng)偽譜法；彈道優(yōu)化；彈道設(shè)計(jì)；高超聲速

0 引言

美國(guó)HTV-2(falcon hypersonic technology vehicle 2)，AHW(advanced hypersonic weapon)等新型高超聲速目標(biāo)采取非彈道式機(jī)動(dòng)飛行方式，可在飛行過(guò)程中進(jìn)行長(zhǎng)時(shí)間、小過(guò)載、大空域的機(jī)動(dòng)，并且可以中途變更打擊目標(biāo)，飛行彈道難以預(yù)報(bào)。其既有與彈道導(dǎo)彈相當(dāng)?shù)目焖俅驌裟芰?，同時(shí)又有空氣動(dòng)力類目標(biāo)的長(zhǎng)時(shí)間機(jī)動(dòng)飛行能力，給防空導(dǎo)彈的攔截造成了很大的困難[1]。

1 彈道形式及優(yōu)化問(wèn)題描述

1.1彈道形式描述

遠(yuǎn)程攔截導(dǎo)彈飛行彈道可采用的形式有：彈道式、助推-巡航式等。

1.1.1 彈道式

彈道式是一種傳統(tǒng)的高超聲速飛行器彈道形式[2]，以彈道導(dǎo)彈為典型代表，其彈道呈拋物線狀。由于彈道導(dǎo)彈主要飛行在大氣層外，依靠慣性以及地球引力作用長(zhǎng)距離飛行，末端再入一般也不需要大機(jī)動(dòng)，因此導(dǎo)彈常采用無(wú)翼正常式布局，而且彈體一般為軸對(duì)稱布局。

采用純彈道式高拋彈道，有利于減少導(dǎo)彈速度損失，并且導(dǎo)彈長(zhǎng)時(shí)間處于50 km以上高空，可以利用星光導(dǎo)航修正導(dǎo)彈姿態(tài)誤差。缺點(diǎn)是導(dǎo)彈長(zhǎng)時(shí)間處于高空稀薄大氣中，飛行末段無(wú)法利用氣動(dòng)力進(jìn)行機(jī)動(dòng)，較難對(duì)目標(biāo)進(jìn)行橫向跟蹤修偏。

1.1.2 助推-巡航式

采用助推-巡航式，導(dǎo)彈全程處于30～40 km高度飛行，可以利用氣動(dòng)力進(jìn)行機(jī)動(dòng)。缺點(diǎn)在于導(dǎo)彈長(zhǎng)時(shí)間處于大氣層內(nèi)，速度能量損失較大；大氣層內(nèi)超高速飛行使得彈體表面氣動(dòng)加熱嚴(yán)重，對(duì)防熱設(shè)計(jì)和末制導(dǎo)探測(cè)帶來(lái)挑戰(zhàn)。并且若采用助推-巡航式彈道，為保持高超聲速飛行，動(dòng)力裝置一般采用超燃沖壓發(fā)動(dòng)機(jī)。但是從技術(shù)成熟度和技術(shù)風(fēng)險(xiǎn)角度來(lái)看，超燃沖壓發(fā)動(dòng)機(jī)目前還有諸多關(guān)鍵技術(shù)有待攻關(guān)，將會(huì)對(duì)動(dòng)力系統(tǒng)帶來(lái)較多風(fēng)險(xiǎn)。

1.1.3 快速介入攔截彈道

綜合以上2種彈道形式的優(yōu)缺點(diǎn)以及所要攔截的目標(biāo)特性，本文提出了一種名為“快速介入攔截彈道”的彈道形式。

快速介入攔截彈道兼顧以上2種彈道模式的優(yōu)點(diǎn)。在飛行前半段，如圖1中AB段所示，采用高拋式，相當(dāng)于“大發(fā)射角”飛行，迅速爬升到30 km以上高空。導(dǎo)彈最大飛行高度可達(dá)約100 km，攔截過(guò)程大部分飛行段都在大氣非常稀薄的空間做拋物線飛行，既減少導(dǎo)彈的速度損失，又可長(zhǎng)時(shí)間利用星光導(dǎo)航修正姿態(tài)誤差，也有利于解決長(zhǎng)時(shí)間飛行氣動(dòng)加熱問(wèn)題。在飛行后半段，如圖1中BC段所示，飛行高度逐漸下降到50 km以下，此時(shí)利用高氣動(dòng)效率機(jī)動(dòng)，從而減小阻力損失，提高平均速度，而且還能有效地降低壁面熱流。同時(shí)可以利用氣動(dòng)力修正導(dǎo)彈位置，并且使導(dǎo)彈具備較強(qiáng)的機(jī)動(dòng)能力[3-10]。在飛行后半段，利用高氣動(dòng)效率機(jī)動(dòng)具有3個(gè)優(yōu)點(diǎn)：第1，機(jī)動(dòng)飛行中可利用氣動(dòng)力不間斷機(jī)動(dòng)，提高了導(dǎo)彈自身的機(jī)動(dòng)跟蹤能力；第2，在機(jī)動(dòng)彈道的軌跡上，導(dǎo)彈可實(shí)現(xiàn)以相對(duì)較小攻角產(chǎn)生較大升力，有利于減小導(dǎo)彈的速度損失；第3，導(dǎo)彈由于末段在大氣層內(nèi)滑翔其末速度相對(duì)于彈道式要小，相對(duì)純彈道式彈道更有利于彈道末段對(duì)目標(biāo)進(jìn)行搜索巡飛。

1.2彈道優(yōu)化問(wèn)題描述

本文的彈道優(yōu)化模式，以導(dǎo)彈飛行攻角作為控制量，對(duì)于鉛垂面內(nèi)固定的彈道命中點(diǎn)，形成滿足目標(biāo)函數(shù)、微分方程、路徑約束、邊界條件的優(yōu)化彈道。由于本文優(yōu)化的對(duì)象是遠(yuǎn)程防御彈道，所以其攔截時(shí)間不能過(guò)長(zhǎng)，必須兼顧中程、近程等導(dǎo)彈的發(fā)射攔截，所以取攔截時(shí)間最短作為目標(biāo)函數(shù)。導(dǎo)彈狀態(tài)變量x為攔截彈的橫向位置坐標(biāo)；y為攔截彈的縱向位置坐標(biāo)；v為攔截彈的速度；θ為攔截彈的彈道傾角；控制變量α為攔截彈的攻角。以上5個(gè)變量均基于發(fā)射坐標(biāo)系。

1.3導(dǎo)彈動(dòng)力學(xué)模型

本文假設(shè)攔截導(dǎo)彈發(fā)射點(diǎn)處海拔高度為0，將導(dǎo)彈運(yùn)動(dòng)看成質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，控制系統(tǒng)工作是理想的。為了使彈道優(yōu)化數(shù)學(xué)模型便于實(shí)時(shí)實(shí)現(xiàn)，還假設(shè)導(dǎo)彈的發(fā)射方式是朝向預(yù)測(cè)攔截點(diǎn)發(fā)射，從而把導(dǎo)彈的三維空間運(yùn)動(dòng)用二維垂直平面上運(yùn)動(dòng)來(lái)近似，則鉛垂平面內(nèi)導(dǎo)彈運(yùn)動(dòng)模型可表示為

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

X=CX(Ma,α)qS，

(8)

Y=CY(Ma,α)qS，

(9)

(10)

Ma=f1(v,h)，

(11)

ρ=f2(h)，

(12)

m=f4(t)，

(13)

(14)

nmax=CY(Ma,αmax)qS/mg，

(15)

式中：θr為當(dāng)?shù)貜椀纼A角；Re為地球半徑；R為飛行斜距；H為飛行海拔高度；S為導(dǎo)彈參考面積；ny為需用過(guò)載；nmax為可用過(guò)載。其他符號(hào)含義參見(jiàn)文獻(xiàn)[11]。

2 優(yōu)化方法

本文選取的彈道優(yōu)化方法為hp-自適應(yīng)偽譜法[12-14]。這種方法具有適應(yīng)性強(qiáng)與收斂速度快的優(yōu)點(diǎn)，尤其適合解決多階段的最優(yōu)控制問(wèn)題。hp-自適應(yīng)偽譜法的求解過(guò)程如下：

(1) 首先結(jié)合最優(yōu)控制問(wèn)題的物理意義將優(yōu)化問(wèn)題分段，本彈道優(yōu)化按照導(dǎo)彈的飛行過(guò)程進(jìn)行分段，導(dǎo)彈的飛行過(guò)程分為一級(jí)發(fā)動(dòng)機(jī)工作段，二級(jí)發(fā)動(dòng)機(jī)工作段和被動(dòng)飛行段，具體時(shí)間分段區(qū)間如表1所示。

表1 導(dǎo)彈飛行過(guò)程分段區(qū)間表Table 1 Missile flight procedure s

(2) 在各段中選取適量的配點(diǎn)，并利用多項(xiàng)式基函數(shù)對(duì)配點(diǎn)和分段節(jié)點(diǎn)處的狀態(tài)變量以及配點(diǎn)處的控制變量進(jìn)行近似，本優(yōu)化問(wèn)題的狀態(tài)變量x和控制變量u分別為：x=(v,θ,x,y)T，u=(α)。

(3) 將微分方程、目標(biāo)函數(shù)、路徑約束、邊界條件按照(2)中的近似轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程。這樣就把原最優(yōu)控制問(wèn)題轉(zhuǎn)化為了NLP問(wèn)題。

(4) 利用較成熟的NLP問(wèn)題求解方法如序列二次規(guī)劃法(SQP)等對(duì)其進(jìn)行求解；

(5) 對(duì)結(jié)果進(jìn)行誤差分析，如不滿足誤差要求則自適應(yīng)調(diào)整時(shí)間區(qū)間分段h以及各段近似基函數(shù)的階次p，然后返回第一步進(jìn)行迭代直到得出滿足誤差約束的結(jié)果。具體迭代過(guò)程如圖2所示[15-16]。

圖2 迭代步驟Fig.2 Iterative steps

3 彈道仿真與優(yōu)化分析

3.1彈道仿真

假設(shè)導(dǎo)彈飛行命中點(diǎn)斜距1 200 km，命中點(diǎn)海拔高度20 km。為了實(shí)現(xiàn)快速介入攔截彈道的彈道形式，首先導(dǎo)彈垂直發(fā)射，在一級(jí)發(fā)動(dòng)機(jī)和二級(jí)發(fā)動(dòng)機(jī)工作段依照程序角飛行，將導(dǎo)彈快速送出稠密大氣層，在被動(dòng)飛行前段采用最大升阻比方式飛行，在彈目距離小于100 km時(shí)導(dǎo)彈轉(zhuǎn)為比例導(dǎo)引，仿真步長(zhǎng)取0.01 s。導(dǎo)彈飛行過(guò)程中各級(jí)發(fā)動(dòng)機(jī)脈沖間隔為0。得到的導(dǎo)彈彈道曲線如圖3所示。

圖3 彈道仿真結(jié)果Fig.3 Trajectory simulation results

虛線、實(shí)線、點(diǎn)劃線分別代表導(dǎo)彈飛行過(guò)程的3個(gè)階段。從仿真結(jié)果可知，導(dǎo)彈飛行時(shí)間628.36 s，在第3階段采用最大升阻比的飛行方式中導(dǎo)彈共跳躍2次，最終轉(zhuǎn)為比例導(dǎo)引命中目標(biāo)。仿真結(jié)果實(shí)現(xiàn)了快速介入攔截彈道的彈道形式，彈道曲線平滑。但是從以上仿真結(jié)果中可以看出導(dǎo)彈在第3階段每跳躍一次，都造成了很大的速度損失，最終導(dǎo)致導(dǎo)彈飛行時(shí)間過(guò)長(zhǎng)，所以有必要對(duì)以上仿真結(jié)果進(jìn)行優(yōu)化。

3.2攔截時(shí)間最短優(yōu)化

與上節(jié)中初始條件相同，按導(dǎo)彈飛行過(guò)程，初始化分段時(shí)將優(yōu)化問(wèn)題分為3個(gè)階段，階段1為助推發(fā)動(dòng)機(jī)工作段，階段2為主級(jí)發(fā)動(dòng)機(jī)工作段，階段3為被動(dòng)飛行段。具體分段時(shí)間區(qū)間參看表格1。計(jì)算允許誤差取為10-3，各段內(nèi)多項(xiàng)式階次即配點(diǎn)數(shù)4≤p≤12，初始化時(shí)取p=5。

以平均速度最大為優(yōu)化目標(biāo)，即導(dǎo)彈飛行時(shí)間最小為目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行了彈道優(yōu)化，得到的優(yōu)化結(jié)果如圖4所示。

圖4 彈道優(yōu)化結(jié)果Fig.4 Trajectory optimization results

空心圓圈、三角形和菱形分別為3個(gè)階段中自適應(yīng)生成的配點(diǎn)，實(shí)線為根據(jù)配點(diǎn)擬合而成的曲線。從優(yōu)化結(jié)果可知，導(dǎo)彈飛行時(shí)間535 s，相較于上節(jié)中的仿真結(jié)果顯著降低了優(yōu)化時(shí)間，得到的彈道結(jié)果平滑。從優(yōu)化結(jié)果也可以看出，在第3階段導(dǎo)彈僅跳躍一次，且最大高度明顯降低。

3.3加入過(guò)載限制后的彈道優(yōu)化

從3.2節(jié)的彈道曲線可以看出，為了達(dá)到優(yōu)化目標(biāo)，在飛行末端出現(xiàn)了彈道上抬的現(xiàn)象，從而導(dǎo)致飛行末端導(dǎo)彈的可用過(guò)載降低。本文設(shè)計(jì)的攔截目標(biāo)航向機(jī)動(dòng)性較強(qiáng)，為了有效攔截目標(biāo)，攔截導(dǎo)彈在飛行過(guò)程中必須進(jìn)行航向修偏，所以需對(duì)滑翔階段導(dǎo)彈的可用過(guò)載進(jìn)行限制。因此，本節(jié)對(duì)加入飛行末端可用過(guò)載約束的彈道進(jìn)行優(yōu)化。

與3.2節(jié)一致，假設(shè)導(dǎo)彈飛行命中點(diǎn)斜距1 200 km，命中點(diǎn)海拔高度20 km。假設(shè)導(dǎo)彈飛行300 s后對(duì)導(dǎo)彈的可用過(guò)載進(jìn)行約束。因此按導(dǎo)彈飛行過(guò)程，優(yōu)化分為4個(gè)階段。階段1為助推發(fā)動(dòng)機(jī)工作段，階段2為主級(jí)發(fā)動(dòng)機(jī)工作段，階段3為被動(dòng)飛行前段，階段4為被動(dòng)飛行后段，此階段要求可用過(guò)載不小于12。具體分段時(shí)間區(qū)間如表2所示。

表2 加入過(guò)載約束的彈道優(yōu)化過(guò)程分段表Table 2 Trajectory optimization process with overload constraint s

其余初始化條件與3.2節(jié)相同，最終得到的優(yōu)化結(jié)果如圖5所示。

從優(yōu)化結(jié)果可知，導(dǎo)彈飛行時(shí)間540 s，與上一節(jié)的優(yōu)化結(jié)果相比，由于階段4引入了可用過(guò)載的約束，導(dǎo)彈飛行時(shí)間更長(zhǎng)，平均速度更低，但從以上圖中可以看出，飛行300 s后彈道的跳躍程度減弱，導(dǎo)彈的可用過(guò)載均大于12，可見(jiàn)過(guò)程約束起到了作用。

圖5 加入過(guò)載限制后的優(yōu)化結(jié)果Fig.5 Optimization results with overload limit

4 結(jié)束語(yǔ)

本文針對(duì)新型高超聲速目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)學(xué)特性，在總結(jié)了傳統(tǒng)遠(yuǎn)程攔截彈道形式的基礎(chǔ)上，提出了“快速介入攔截彈道”并對(duì)其進(jìn)行優(yōu)化。文中給出的仿真及優(yōu)化結(jié)果有效滿足了遠(yuǎn)程攔截彈道的攔截時(shí)間及可用過(guò)載需求。

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NewTrajectoryOptimizationDesignofLongRangeAirDefenseMissile

SU Xian-fei1，ZHANG Zhong-yang2，ZHANG Zhen1，GU Yi-yu1

(1.Beijing Institute of Electronic System Engineering，Beijing 100854，China；2.The Second Academy of CASIC，Beijing 100854，China)

According to the kinematic characteristics of a new type of target, a kind of rapid intervention interception trajectory model is established based on summarizing the traditional long-range interception trajectory, and the trajectory simulation is carried out. Then, the trajectory simulation result is optimized using the hp-adaptive pseudospectral method to minimize the interception time. The optimization results show that the rapid intervention interception trajectory can satisfy the rapidity of interception and provide a large lateral deflection overload simultaneously.

long-range defense; rapid intervention interception trajectory; hp-adaptive pseudospectral method; trajectory optimization; trajectory design; hypersonic

2017-01-11；

2017-02-24

有

蘇憲飛(1993-)，男，黑龍江克山人。碩士生，主要研究方向?yàn)轱w行器總體設(shè)計(jì)。

通信地址：100854 北京市海淀區(qū)永定路52號(hào)航天科工二院研究生院E-mail：1124265059@qq.com

10.3969/j.issn.1009-086x.2017.05.006

TJ761.7；V412

A

1009-086X(2017)-05-0029-06