劉明成

(河北師范大學(xué) 河北 石家莊 050091)

劉文芳

(吉林師范大學(xué) 吉林 四平 136000)

趙文桐

(河南師范大學(xué) 河南 新鄉(xiāng) 453007)

對(duì)“重力機(jī)械能守恒定律在各慣性系都成立”的修正

劉明成

(河北師范大學(xué) 河北 石家莊 050091)

劉文芳

(吉林師范大學(xué) 吉林 四平 136000)

趙文桐

(河南師范大學(xué) 河南 新鄉(xiāng) 453007)

1 前言

文獻(xiàn)[1]發(fā)表后,收到兩篇批評(píng)文章[2,3],我們非常高興,這說明兩位作者認(rèn)真審閱了我們的文章.富蘭克林先生說過：“誰批評(píng)我們,誰就是我們的朋友,因?yàn)樗麄冎赋隽宋覀兊娜秉c(diǎn).”為了對(duì)已經(jīng)發(fā)表的文章負(fù)責(zé),對(duì)自己的觀點(diǎn)負(fù)責(zé),我們接受文獻(xiàn)[2]的批評(píng)意見,把這兩個(gè)例題重做一遍.“堅(jiān)持真理,修正錯(cuò)誤”,這是討論問題時(shí)應(yīng)具備的正確態(tài)度.文獻(xiàn)[1]的論述方法確有毛病,但結(jié)論是正確的.“在自由落體和斜面滑塊問題中機(jī)械能守恒定律在電梯系和小車系也成立.”

本文為文獻(xiàn)[1]之修正版,和文獻(xiàn)[1]的主要區(qū)別是把自由落體、斜面滑塊兩個(gè)理想實(shí)驗(yàn)從電梯和小車上搬到地面上做,這樣修改使伽利略坐標(biāo)變換回到原來的規(guī)范配置上,使我們看清了參考系和坐標(biāo)系的本質(zhì)區(qū)別,即參考系是具體的,坐標(biāo)系是抽象的(假想的).

2 問題分析

【例1】一質(zhì)量為m的小球(視為質(zhì)點(diǎn)),自地面以上高h(yuǎn)處t=0時(shí)開始下落,t=T時(shí)落到地面.忽略一切非保守力作用.

(1)求證：在地面坐標(biāo)系小球(質(zhì)點(diǎn))在自由降落過程中機(jī)械能守恒;

(2)有一相對(duì)于地面勻速u上升的電梯,求證：在電梯坐標(biāo)系小球在自由降落過程中機(jī)械能守恒.

解析:(1)在地面系考察小球的機(jī)械能,勢(shì)能零點(diǎn)選擇地面.

當(dāng)t=0時(shí),y(0)=h,v(0)=0,于是Ep(0)=mgh,Ek(0)=0,則落體起始機(jī)械能為

Ek(0)+Ep(0)=mgh

(1)

于是有

Ek(t)+Ep(t)=mgh

(2)

這即說明t∈[0,T],y(t) ∈[0,h]下落過程中小球的機(jī)械能守恒.

(2)在電梯系考察小球的機(jī)械能.在電梯系觀測(cè)小球?yàn)樨Q直下拋.

按伽利略坐標(biāo)變換關(guān)系,y為地面系,y′為電梯坐標(biāo)系

y=y′+ut

v=v′+u

a=a′ = -g

在t=0和t=T時(shí)兩坐標(biāo)系及小球位置關(guān)系如圖1和圖2所示.

圖1 設(shè)uT=h，t=0時(shí)兩坐標(biāo)系重合，小球在頂端

圖2 設(shè)uT=h,t=T時(shí)小球落地，電梯系到達(dá)頂端

當(dāng)t=0時(shí),兩坐標(biāo)系原點(diǎn)重合,小球開始下落,有

y′(0)=y(0)=h

v′(0)=v(0)-u=-u

則

于是起始時(shí)落體機(jī)械能為

(3)

當(dāng)t∈[0,T]時(shí),y(t) ∈[0,h], 有

v′(t)=v(t) -u=-gt-u

于是有

(4)

這即證明了小球在下落過程中機(jī)械能在電梯系也守恒.

【例2】在地面上固定一光滑斜面,斜面高h(yuǎn),傾角為θ,斜面頂端有一個(gè)光滑的滑塊(視為質(zhì)點(diǎn)),其質(zhì)量為m,當(dāng)t=0時(shí)滑塊開始下滑,t=T時(shí)滑到地面.忽略一切非保守力因素.

(1)求證：在下滑過程中滑塊機(jī)械能在地面坐標(biāo)系守恒；

(2)同時(shí)有一輛小車沿x軸正方向勻速u直線運(yùn)動(dòng),求證：在小車系滑塊的機(jī)械能守恒.

(1)首先證明在地面系滑塊的機(jī)械能守恒.勢(shì)能零點(diǎn)選在地面.

當(dāng)t=0時(shí),y(0)=h,v(0)=0,于是

Ep(0)=mgh

立即寫出t=0時(shí)機(jī)械能

Ek(0)+Ep(0)=mgh

(5)

在此問題中滑塊(質(zhì)點(diǎn))所受的外力是重力和斜面對(duì)質(zhì)點(diǎn)支持力(約束力).但由于支持力方向始終和滑塊位移方向垂直,因此始終不做功或做功為零.因此在下滑過程中只有重力做功. 當(dāng)t時(shí)刻滑塊滑到A點(diǎn)時(shí),由動(dòng)能定理,合外力對(duì)質(zhì)點(diǎn)所做之功等于質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的增量

W=Ek(t)-Ek(0)

(6)

再用質(zhì)點(diǎn)勢(shì)能定理,保守力重力所做之功等于質(zhì)點(diǎn)勢(shì)能增量的負(fù)值

W=—[Ep(t)-Ep(0)]

(7)

再用式(6)和式(7)消去W,并引用式(5)得

Ek(t)+Ep(t)=Ek(0)+Ep(0)=mgh

(8)

這就證明了在地面系滑塊在下滑過程中機(jī)械能守恒.

(2)求證在小車系滑塊下滑過程中機(jī)械能守恒.勢(shì)能零點(diǎn)選在地面.在t=0和t=T時(shí)兩坐標(biāo)系及滑塊位置如圖3所示.

圖3 設(shè)uT=s，t時(shí)刻兩坐標(biāo)系及滑塊位置示意圖

當(dāng)t=0時(shí),兩坐標(biāo)系原點(diǎn)重合,滑塊開始下滑,有

y′(0)=y(0)=h

v′(0)=v(0)-u=-u

則

于是起始時(shí)質(zhì)點(diǎn)機(jī)械能為

(9)

當(dāng)t∈[0,T]時(shí),y′(t)=y(t) ∈[0,h]時(shí),滑塊一直在斜面上,比如t時(shí)到達(dá)A點(diǎn),約束力(支持力)一直不做功,僅重力做功,所以根據(jù)動(dòng)能定理：合外力對(duì)質(zhì)點(diǎn)所做的功等于質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的增量

(10)

根據(jù)勢(shì)能定理：保守力重力對(duì)質(zhì)點(diǎn)做的功等于質(zhì)點(diǎn)勢(shì)能增量的負(fù)值

(11)

由式(10)和式(11)消去W,并引用式(9)可以得到

(12)

這就證明了在小車系滑塊下滑過程中機(jī)械能守恒.

3 結(jié)束語

“機(jī)械能守恒定律在各慣性系都成立”是“機(jī)械能守恒定律滿足力學(xué)相對(duì)性原理[6]”的通俗表述.2015年我們所寫的3篇文章[1,7,8]列舉4個(gè)例子說明(重申)了物體(質(zhì)點(diǎn))的重力、引力、彈力機(jī)械能守恒定律都滿足力學(xué)相對(duì)性原理.

在靜系

Ep(t)+Ek(t)=E(0)

在動(dòng)系

其中

式中m為物體(質(zhì)點(diǎn))的質(zhì)量,u為兩坐標(biāo)系之間相對(duì)速度.

文獻(xiàn)[3]還批評(píng)文獻(xiàn)[8,9],認(rèn)為這兩篇文章的結(jié)論錯(cuò)誤，兩位作者關(guān)于“結(jié)論錯(cuò)誤”的批評(píng),我們絕對(duì)不能接受,當(dāng)然這不妨礙我們對(duì)他們對(duì)我們的批評(píng)表示感謝！正是由于他們的批評(píng),我們才寫成此文,從而對(duì)“機(jī)械能守恒定律在各慣性系都成立”有了更清楚的認(rèn)識(shí).

1 趙文桐,劉文芳,劉明成．重力機(jī)械能守恒定律在各慣性系都成立．物理通報(bào),2015(3)：96～98

2 李偉鐸.對(duì)“重力機(jī)械能守恒定律在各慣性系都成立”的商榷.物理通報(bào),2016(增刊1)：110～112,115

3 朱如曾.力場(chǎng)與時(shí)間有關(guān)系統(tǒng)的功能定理及其應(yīng)用.大學(xué)物理,2016(10)：11～16

4 王立,張成華．機(jī)械能守恒定律具有伽利略變換不變性．吉林師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2004(3):95～96

5 張翠．斜面上下滑滑塊機(jī)械能守恒問題新解．物理通報(bào),2016(9)：115～117

6 趙佩章,陳華,胡世巧,等.機(jī)械能守恒定律滿足力學(xué)相對(duì)性原理.河北師范學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),1997(2):40～45

7 劉明成,劉文芳,趙文桐．引力機(jī)械能守恒定律在各慣性系都成立．物理通報(bào),2015(6)：123～124

8 劉明成,劉文芳,趙文桐．彈力機(jī)械能守恒定律在各慣性系都成立．物理通報(bào),2015(12)：109～111

9 李學(xué)生,師教民.對(duì)一道中學(xué)生物理競(jìng)賽試題答案的商榷. 物理通報(bào),2014(9)：119～120

2017-04-11)