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        用GeoGebra呈現(xiàn)理想氣體狀態(tài)方程的三維圖景*

        2017-11-17 06:05:19盛寶驥
        物理通報(bào) 2017年12期
        關(guān)鍵詞:立體圖理想氣體狀態(tài)方程

        盛寶驥

        (南京師范大學(xué)附屬中學(xué) 江蘇 南京 210003)

        用GeoGebra呈現(xiàn)理想氣體狀態(tài)方程的三維圖景*

        盛寶驥

        (南京師范大學(xué)附屬中學(xué) 江蘇 南京 210003)

        通過GeoGebra軟件繪制了理想氣體狀態(tài)方程的三維立體圖,并在三維圖中分析了教學(xué)中常見的等溫線、等壓線、等容線,為理想氣體狀態(tài)方程提供了另一種教學(xué)視角.

        GeoGebra 理想氣體狀態(tài)方程圖像 雙曲拋物面

        1 課后反思

        人教版教科書高中《物理·選修3-3》第八章“氣體”[1]有較多圖像的理解與應(yīng)用,例如在p-V圖中比較不同溫度的等溫線,同時(shí)在p-V圖、V-T圖、p-T圖中表示一定質(zhì)量氣體經(jīng)歷的等壓、等溫、等容的循環(huán)過程.筆者發(fā)現(xiàn)無論是哪一幅圖,都是二維平面圖,而理想氣體狀態(tài)方程有3個(gè)狀態(tài)參量,能不能用三維圖像呈現(xiàn)p,V,T之間的關(guān)系呢?下文是筆者圍繞這個(gè)教學(xué)反思進(jìn)行的思考與嘗試.

        2 逐步成型

        2.1繪圖軟件的選擇

        Mathematica,Matlab和Maple是目前主流的科學(xué)計(jì)算軟件,均可以繪制方程的三維圖像,但是考慮到這3款軟件專業(yè)性較強(qiáng),絕大部分中學(xué)教師和學(xué)生不具備相應(yīng)編程基礎(chǔ),門檻高難度大,通過與數(shù)學(xué)教師的交流,筆者最終選擇了GeoGebra這款軟件,該軟件不僅操作簡(jiǎn)單,在PC端和MAC端均有正版免費(fèi)下載軟件,更適合在中學(xué)教師和學(xué)生中推廣應(yīng)用.

        2.2方程的選擇

        (1)

        圖1 三維坐標(biāo)與狀態(tài)參量的對(duì)應(yīng)關(guān)系

        2.3形成三維曲面

        打開GeoGebra,在【視圖】中選擇【3D繪圖區(qū)】,將式(1)輸入到軟件下方的文本框中,理想氣體狀態(tài)方程的三維空間曲面就繪制出來了,如圖2所示.

        圖2 理想氣體狀態(tài)方程的三維空間曲面

        幾何的面是由點(diǎn)組成的,曲面上每一個(gè)點(diǎn)的三維坐標(biāo)對(duì)應(yīng)氣體的溫度、壓強(qiáng)、體積,一個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)一個(gè)氣體狀態(tài).曲面包含了一定質(zhì)量氣體遵循理想氣體狀態(tài)方程所有可能的狀態(tài).軟件操作者可以點(diǎn)擊右鍵拖動(dòng)或旋轉(zhuǎn)圖像,這樣就可以從不同角度觀察立體圖像,如圖3所示.

        (a)

        (b)

        在軟件的代數(shù)區(qū)自動(dòng)顯示了所繪函數(shù)的名稱——雙曲拋物面,雙曲拋物面由于形似馬鞍,又稱馬鞍面(圖4).

        圖4 雙曲拋物面與馬鞍面

        3 聯(lián)系與拓展應(yīng)用

        3.1對(duì)比二維平面圖

        雖然理想氣體狀態(tài)方程的三維圖像給人眼前一亮的感覺,但是教學(xué)中學(xué)生熟悉的等溫線、等壓線卻看不見了,必須將這些熟悉的線找出來.

        圖5 200 K等溫線

        通過選擇從熱力學(xué)溫度軸(即y軸)視角觀察,就可以清楚地看到我們熟悉的200 K的等溫線,用相同的方法,筆者繪制了300 K的等溫線,與教學(xué)中溫度高的等溫線在外側(cè)的結(jié)論是一致的(圖6).

        圖6 200 K,300 K等溫線對(duì)比

        筆者用相似的辦法進(jìn)一步繪制了等壓線和等容線(圖7),圖像呈現(xiàn)出的規(guī)律與教學(xué)中的相關(guān)結(jié)論也是一致的.

        圖7 不同體積等容線對(duì)比

        3.2循環(huán)變化的立體圖

        【原題】已知一定質(zhì)量的理想氣體狀態(tài)發(fā)生變化,由狀態(tài)1→狀態(tài)2→狀態(tài)3→狀態(tài)1,完成了一個(gè)循環(huán),用V-T坐標(biāo)系把這一循環(huán)過程表示為如圖8所示.如果改用p-V坐標(biāo)系或p-T坐標(biāo)系表示這一循環(huán),下列哪些圖是正確的?( )

        圖8 原題題圖

        答案:B,C.

        這樣一個(gè)循環(huán)過程能不能在三維坐標(biāo)系中呈現(xiàn)呢?首先筆者對(duì)3個(gè)狀態(tài)的溫度、體積、壓強(qiáng)賦予具體數(shù)值,如表1所示.

        表1 3個(gè)狀態(tài)參量的倍率關(guān)系

        然后筆者將物理方程轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)函數(shù)關(guān)系,分別用交點(diǎn)A,B,C表示3個(gè)氣體狀態(tài),這樣這個(gè)循環(huán)過程的三維圖像就呈現(xiàn)出來了,如圖9所示.

        圖9 循環(huán)變化的三維圖像

        這個(gè)循環(huán)過程的圖像是由一段雙曲線和兩段直線所組成的立體圖,調(diào)整觀察視角從x軸(溫度軸)角度觀察立體圖,與p-V的關(guān)系是一致的,從另外兩個(gè)軸觀察,與p-T,V-T的關(guān)系也是一致的,如圖10所示.

        圖10 不同視角下的循環(huán)變化圖像

        4 總結(jié)與感悟

        筆者通過對(duì)課后反思的深度思考,結(jié)合GeoGebra軟件,建立數(shù)學(xué)模型,將理想氣體狀態(tài)方程原本的空間圖像呈現(xiàn)了出來,并且與傳統(tǒng)二維平面圖形進(jìn)行對(duì)比驗(yàn)證,還拓展到氣體狀態(tài)的循環(huán)變化.

        對(duì)于今后的教學(xué)而言,教師也可以先呈現(xiàn)三維圖像,然后代入特點(diǎn)條件,逐步演繹出等溫線、等壓線和等容線.教師也可以選擇在單元復(fù)習(xí)的時(shí)候利用以上教學(xué)資源,提供一個(gè)不同的視角看熟悉的問題.這樣的優(yōu)點(diǎn)是可以將原來繁雜的二維圖像歸納匯總到同一個(gè)三維圖像中,起到畫龍點(diǎn)睛的效果,也更符合人教版教材中知識(shí)點(diǎn)的編排順序.

        1 人民教育出版社,課程教材研究所,物理課程教材開發(fā)中心.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書 物理·選修3-3.北京:人民教育出版社,2010.23~25

        2 Morphett A, Gunn S, Maillardet R. Developing interactiveapplets with GeoGebra: processes, technolo-gies. Proceedings of Elephant Delta ′15[C]. Port Elizabeth, 2015

        PresentingtheThree-dimensionalPictureoftheStateEquationofIdealGasUsingGeoGebra

        Sheng Baoji

        (High School Affiliated To Nanjing Normal University,Nanjing, Jiangsu 210003)

        In this paper, the three-dimensional image of the ideal gas state equation is drawn by GeoGebra, and the isotherm、iscxhare and isobars are analyzed in the three-dimensional graph, which provides another teaching perspective for the ideal gas equation.

        GeoGebra; ideal gas state equation image; hyperbolic paraboloid

        2017-07-27)

        **南京市教育規(guī)劃課題第九期個(gè)人課題,項(xiàng)目編號(hào):“十三五”個(gè)(9)字第OK2900號(hào)

        盛寶驥(1980- ),男,中教高級(jí),主要從事高中物理教學(xué)和物理實(shí)驗(yàn)研究.

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