江蘇師范大學附屬實驗學校 鹿 靜

蘇教版高中數(shù)學《圓的一般方程》教學研究

江蘇師范大學附屬實驗學校 鹿 靜

人類具有學習的內(nèi)在屬性與自然傾向，而主動學習是人不同于其他生物的基本潛能，因而，教學的主要任務應為創(chuàng)設(shè)一種對學生潛能發(fā)揮有利的情境，將學習過程演變成學生對知識的主動發(fā)現(xiàn)、探索的過程。本文以蘇教版高中數(shù)學《圓的一般方程》為例，探討此課程的教學設(shè)計策略。

高中數(shù)學；《圓的一般方程》；教學；設(shè)計

圓的一般方程是繼圓的標準方程之后延伸出的新形式，當學生完成圓的標準方程與直線方程的學習后，對解析幾何當中研究問題的方法已有較深認識，這為學生深入探究圓的一般方程奠定了良好基礎(chǔ)。本文基于蘇教版《圓的一般方程》的課程要求，在教學中堅持“以教師為主導，以學生為主體，以問題為主線，以思維為核心”的“三主一核心”原則，通過課前精心設(shè)計以及課堂中即時生成系列問題，以問題為驅(qū)動，引導學生高效探究，開發(fā)學生主動學習潛能，提升學習質(zhì)量。

一、問題指引，探究方程

教師：通過之前的課程學習，我們了解到圓在平面直角坐標系中，可用方程：（x-a）2+（y-b）2=r2表示，我們將其稱為標準方程，反之，還可用方程（x-a）2+（y-b）2=r2表示圓?，F(xiàn)在請同學們完成如下問題：

問題1：判斷下列方程，分析其是否為圓的方程，如果是，指出其半徑與圓心。

問題2：如果用（4）來表示圓，大家有何看法？（此時學生開始思考與討論）

學生：圓的方程沒有必要一定寫成標準形式，還可以寫成與x、y有關(guān)的二元二次形式。

問題3：究竟哪些類型的二元二次方程可以表示圓？

學生：應該是那些經(jīng)配方轉(zhuǎn)換可以變成標準方程的，也就是說，展開標準方程后，所得到的二元二次方程可表示圓。

二、意義建構(gòu)，構(gòu)建概念

學生討論后，最終達成共識，將其定義為“圓的一般方程”。

問題4：圓的一般方程都有哪些比較突出的特點呢？兩種不同形式的方程之間又有怎樣的聯(lián)系？（留給學生獨立思考時間）。

學生：（1）方程當中有3個參數(shù)：D、E、F；（2）x2的系數(shù)為1，y2的系數(shù)也為1；（3）不含xy項。

學生：展開標準方程后便可得到一般方程，然后把一般方程進行配方，即可得到標準方程，在兩個方程當中，均有3個參數(shù)。

教師：大家可以發(fā)現(xiàn)，標準方程展現(xiàn)其“形”的特點為：從方程便可看出其半徑與圓心，而對于一般方程，注重的是“術(shù)”的特性。

學生：可以，但是須讓B=0，A=C。

學生：不太全面，須有B=0，A=C≠0，另外，還需D2+E2-4AF＞0。

教師：很好！同學們認真欣賞圓的兩種形式的方程，如此簡捷、和諧，與“圓”的幾何形態(tài)很匹配。

三、簡化應用，增強理解

問題6：對下列二元二次方程進行判斷，觀察其是否可以表示圓？若能，求出半徑與圓心坐標。

學生獨立思考，彼此互評，可以直接用D、E、F之間的關(guān)系來判斷，也可以轉(zhuǎn)化為標準方程。

四、巧妙應用，強化能力

問題7：已知△ABC的頂點分別為：A（4，3）、B（5，2）、C（1，0），求△ABC外接圓的方程。

學生：用圓的垂徑分弦定理也能求出，首先將弦AB的中垂線方程求出，AC的中垂線方程也可求出，其交點便是外接圓的圓心。至此，便能求出標準方程。

教師：同學們真是太厲害了！這種驗證、猜想與觀察的科學意識，正是大家需要培養(yǎng)與學習的。

五、提煉小結(jié)與反思

問題8：請同學們歸總以下，本節(jié)課你都有哪些收獲？

學生：了解并掌握了圓的一般方程；圓的兩種形式方程的區(qū)別與聯(lián)系。

教師：通過圓的一般方程，我們從中可以感知到等價轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學思想及抽象概括的數(shù)學意識；通過求圓的方程，讓我們知道方程的思想與選擇、比較的數(shù)學意識。這些數(shù)學思想與方法是數(shù)學的根本與靈魂，還是解決數(shù)學問題的關(guān)鍵所在。

綜上，本文以問題為驅(qū)動，用探究的方式來引導學生認知圓的一般方程的知識，這樣有助于激發(fā)學生的主動提問意識以及求知欲，因而可以較好地提升教學效率與質(zhì)量。

[1]汪得志.怎樣學好高中數(shù)學——高中數(shù)學學習方法探討[J].教育教學論壇，2017（04）：275-276.

[2]李昌官.高中數(shù)學“導研式教學”研究與實踐[J].課程·教材·教法，2013，33（02）：59-65.