鄭 妍 ，陳徐兵 ，劉 琴 ，彭芳瑜

（1.華中科技大學無錫研究院，江蘇 無錫 214174；2.華中科技大學國家數(shù)控系統(tǒng)工程技術(shù)研究中心，湖北 武漢430074）

基于多體運動學的測量機幾何誤差敏感性分析

鄭 妍1，陳徐兵1，劉 琴2，彭芳瑜2

（1.華中科技大學無錫研究院，江蘇 無錫 214174；2.華中科技大學國家數(shù)控系統(tǒng)工程技術(shù)研究中心，湖北 武漢430074）

針對專用雙臂螺旋槳測量機的幾何誤差問題，提出一種基于多體運動學的幾何誤差敏感性分析方法，來保證專用雙臂螺旋槳測量機的空間幾何精度。針對專用雙臂螺旋槳測量機結(jié)構(gòu)及幾何誤差關(guān)系，建立了考慮運動幾何誤差的運動學模型。運用多體運動學理論求解相鄰體間的特征變換矩陣，根據(jù)測量機裝配幾何誤差和運動幾何誤差建立測量機空間誤差模型。通過運動軸幾何誤差對螺旋槳測量精度的對比驗證，結(jié)果表明該算法能實現(xiàn)專用雙臂螺旋槳測量機的幾何誤差敏感性分析。

專用雙臂螺旋槳測量機；幾何誤差；多體運動學；敏感性分析

專用雙臂螺旋槳測量機（以下簡稱“測量機”）是針對大型復雜船用螺旋槳實現(xiàn)葉面、葉背非接觸式同步測量的專用測量裝備，它對提高螺旋槳測量精度、測量效率及測量過程自動化具有重要意義。然而由于測量機制造安裝誤差、熱變形及運動誤差等因素影響，測量過程中機器實際運動位置與理論運動位置存在較大誤差，對螺旋槳的測量精度產(chǎn)生不利影響。

測量機的空間幾何誤差建模方法與數(shù)控機床的誤差建模方法類似。數(shù)控機床的誤差建模方法經(jīng)歷了幾何建模法、誤差矩陣法、二次關(guān)系模型法、機構(gòu)學建模法、剛體運動學法等幾個發(fā)展階段[1-2]，目前多體系統(tǒng)運動學建模方法[3]最受推崇。

測量機空間幾何誤差建模方法與數(shù)控機床的誤差建模方法類似，而數(shù)控機床組成的系統(tǒng)是典型的多體系統(tǒng)[4]。文獻[5-6]基于多體運動學原理，提出了機床相鄰體間特征變換矩陣的概念[5]，建立考慮機床多種誤差的特征矩陣[6]。

本文以多體系統(tǒng)運動學建模方法為基礎，分析測量機結(jié)構(gòu)及運動鏈傳遞關(guān)系，對測量機幾何誤差進行具體分類討論，分別建立測量機理想狀態(tài)下和考慮幾何誤差狀態(tài)下的特征變化矩陣，得到測量機空間幾何誤差模型。通過實驗分析驗證，得出各個運動軸6項幾何誤差分量對空間幾何誤差作用的主次關(guān)系。

1 測量機形式

測量機機械結(jié)構(gòu)如圖1所示，機械結(jié)構(gòu)主要由線性X軸、線性Z軸、線性U軸、線性W軸和旋轉(zhuǎn)C軸組成，此外還包括輔助軸Y軸和上下激光測頭。

圖1 測量機機械結(jié)構(gòu)

基于多體系統(tǒng)理論將測量機中各個運動軸和機身看成獨立的“體”，分析各聯(lián)動軸之間的連接方式，繪制出測量機的拓撲結(jié)構(gòu)圖，如圖2所示。4表示測量機床身，相對于大地靜止；3表示線性X軸，可以沿著上測量臂水平移動；2表示線性Z軸，可以上下移動；1表示上激光測頭，它通過夾具固定在Z軸上；8表示旋轉(zhuǎn)軸C，它通過夾具固定在測量機上；5表示線性U軸，可以沿著下測量臂水平移動；6表示線性W軸，可以上下移動；7表示下激光測頭，通過夾具固定在W軸上。

圖2 測量機拓撲結(jié)構(gòu)

為了建立測量機的運動學模型，基于多體系統(tǒng)理論，對每個獨立的體建立對應的體坐標系，也可叫局部坐標系，如圖3所示。圖中坐標系O4表示測量機坐標系，定為基坐標系；O3表示線性X軸的局部坐標系；O2表示線性Z軸的局部坐標系；OST表示上激光測頭局部坐標系；Ow表示旋轉(zhuǎn)軸C的局部坐標系；O5表示線性U軸的局部坐標系；O6表示線性W軸的局部坐標系；OXT表示下激光測頭的局部坐標系。

圖3 測量機聯(lián)動軸坐標系

從圖3可以看出，測量機的運動鏈由上下激光測頭兩條運動鏈組成，螺旋槳上表面運動鏈傳遞關(guān)系為：上激光測頭－Z軸－X軸－床身－C軸－螺旋槳上表面；螺旋槳下表面運動鏈傳遞關(guān)系為：下激光測頭－W軸－U軸－床身－C軸－螺旋槳下表面。

2 考慮幾何誤差的測量機運動學模型

2.1 測量機垂直度誤差

實際測量機由于安裝、制造等因素的影響，各聯(lián)動軸之間存在垂直度誤差和平行度誤差，因上測量臂可以繞Y軸旋轉(zhuǎn)調(diào)整位置，平行度誤差可人為消除。垂直度誤差會影響測量機的測量精度。垂直度誤差分為運動軸對平面的垂直度誤差和運動軸之間的垂直度誤差，測量機在測量過程中，各軸的垂直度誤差隨軸的位置不同而產(chǎn)生對應的位置誤差。為方便空間誤差計算，將垂直度誤差分解為繞X、Y、Z三個方向的角度誤差，并隨軸的運動引起沿X、Y、Z方向的位置誤差。

（1）上激光測頭到地面運動鏈垂直度誤差

線性Y軸與地面垂直度誤差：

如圖4所示，l1為Y軸在初始位置時的局部坐標系原點到地面的距離，k為Y軸從局部坐標系原點移動的位移，gαk為Y軸相對于地面繞X方向的角度誤差，gβk為Y軸相對于地面繞Y方向的角度誤差，gγk為Y軸相對于地面繞Z方向的角度誤差。其中 l1、k 為已知值，gαk、gβk、gγk為測量值。設△Xk、△Yk、△Zk分別為Y軸在X、Y、Z方向的位置誤差，因Y軸與地面垂直度誤差在Z方向分量極小，所以△Zk可忽略不計，△Xk和△Yk可由 l1、k、gαk、gβk計算得到。

圖4 Y軸與地面垂直度誤差分解

（2）上測量臂與線性Y軸垂直度誤差

如圖5所示，l2為Y軸、X軸初始位置時局部坐標系原點之間的距離，x為X軸從局部坐標系原點移動位移，kαx為上測量臂相對Y軸繞X方向角度誤差，kβx為上測量臂相對Y軸繞Y方向的角度誤差，kγx為上測量臂相對Y軸繞Z方向的角度誤差。其中l(wèi)2、x 為已知值，kαx、kβx、kγx為測量值。設△Xx、△Yx、△Zx分別為X軸在X、Y、Z方向的位置誤差，因上測量臂與Y軸垂直度誤差在X方向分量極小，所以△Xx可忽略不計，△Yx和△Zx可由 l2、x、kβx、kγx、gβk、gγk計算得到。

圖5 上測量臂與Y軸垂直度誤差分解

（3）線性Z軸與上測量臂垂直度誤差

如圖6所示，l3為Z軸、X軸在初始位置時局部坐標系原點在Z方向的距離，z為Z軸從局部坐標系原點移動的位移，xαz為Z軸相對于上測量臂繞X方向的角度誤差，xβz為Z軸相對于上測量臂繞Y方向的角度誤差，xγz為Z軸相對于上測量臂繞Z方向的角度誤差。其中 l3、z 為已知值，xαz、xβz、xγz為測量值。設△Xz、△Yz、△Zz分別為 Z 軸在 X、Y、Z 方向的位置誤差，因Z軸與上測量臂垂直度誤差在Z方向分量極小，所以△Zz可忽略不計，△Xz和△Yz可由l3、z、xαz、kαx、gαk、xβz、gβk計算得到。

圖6 Z軸與上測量臂垂直度誤差分解

（4）旋轉(zhuǎn)軸C到地面運動鏈垂直度誤差

如圖7所示，l6為C軸局部坐標系原點到地面距離，gαc為C軸相對于地面繞X方向角度誤差，gβc為C軸相對于地面繞Y方向角度誤差，gγc為C軸相對于地面繞 Z 方向的角度誤差。其中 l6已知，gαc、gβc、gγc為測量值。

圖7 C軸與地面垂直度誤差分解

設△Xc、△Yc、△Zc為 C 軸在 X、Y、Z 方向的位置誤差，因C軸與水平面垂直度誤差在Z方向分量極小，△Zc忽略不計，△Xc和△Yc可由 l6、gαc、gβc計算得到。

3 基于多體系統(tǒng)運動學的測量機空間幾何誤差建模

在多體系統(tǒng)中，體坐標系之間的關(guān)系可以由4×4階齊次矩陣來描述。測量機各聯(lián)動軸局部坐標系間的關(guān)系用4×4階齊次矩陣表示，可使各局部坐標系間的變換轉(zhuǎn)化成矩陣間的數(shù)量運算，方便測量機空間幾何誤差建模與計算。

3.1 測量機理想狀態(tài)下相鄰體間的特征變換矩陣

為得到測量機激光測頭在理想狀態(tài)下的空間位置，需建立測量機各聯(lián)動軸相鄰坐標系理想坐標變換矩陣。

（1）上激光測頭運動鏈：上激光測頭－Z軸－X軸－床身－C軸

上激光測頭到Z軸的理想坐標變換矩陣

Z軸到X軸的理想坐標變換矩陣

X軸到Y(jié)軸的理想坐標變換矩陣

Y軸到C軸的理想坐標變換矩陣

C軸到工件的理想坐標變換矩陣

式中，各參數(shù)含義如下：

LSTZ1表示上激光測頭局部坐標系到Z軸局部坐標系沿x向偏移距離；

LSTZ2表示上激光測頭局部坐標系到Z軸局部坐標系沿z向偏移距離；

L1表示X軸局部坐標系到Y(jié)軸局部坐標系沿x向偏移距離；

L2表示Y軸局部坐標系到C軸局部坐標系沿x向偏移距離；

L3表示Y軸局部坐標系到C軸局部坐標系沿z向偏移距離。

3.2 測量機考慮幾何誤差后相鄰體間的特征變換矩陣

為得到測量機激光測頭在考慮幾何誤差影響后的實際空間位置，需建立測量機各聯(lián)動軸相鄰坐標系實際坐標變換矩陣。由于激光測頭通過夾具安裝在運動軸上后，與運動軸沒有相對運動，所以不存在運動幾何誤差。

（1）上激光測頭運動鏈

Z軸到X軸的實際坐標變換矩陣

X軸到Y(jié)軸的實際坐標變換矩陣

Y軸到C軸的實際坐標變換矩陣

C軸到工件的實際坐標變換矩陣

3.3 測量機空間誤差模型的建立

根據(jù)以上各相鄰運動軸之間的變換關(guān)系，得到理想情況下激光測頭坐標系到工件坐標系的轉(zhuǎn)換矩陣和實際激光測頭坐標系到工件坐標系的轉(zhuǎn)換矩陣，并且可算出激光測頭運動幾何綜合誤差變換矩陣，結(jié)合垂直度誤差，得到測頭綜合誤差矩陣，最終建立測量機空間誤差模型。

上激光測頭坐標系到工件坐標系的理論變換矩陣和實際變換矩陣位：

令Es=為上激光測頭運動幾何綜合誤差變換矩陣，

由Q′WST=QWSTEs，可得：

上激光測頭空間位姿誤差如下：

由此可得上激光測頭綜合誤差矩陣

其中：

設測量機上測頭位置點Q在上激光測頭坐標系中的坐標為 Qt=（Qx，Qy，Qz，1），點 Q 在工件理想坐標系與實際坐標系之間的差值為：

式22即為測量機空間幾何誤差模型，根據(jù)測量機幾何誤差測量與求解可得到上述特征矩陣的參數(shù)值，代入式22得到測量機空間幾何誤差模型數(shù)學表達式。

4 測量機幾何誤差敏感性分析

研究各運動軸幾何誤差對螺旋槳葉面葉背測量精度的影響時，涉及的變量有6個運動軸，每個軸有6項誤差分量。在未考慮耦合誤差影響的情況下，計算單一軸、單一方向誤差產(chǎn)生的擬合曲面法向誤差值，根據(jù)擬合曲面法向誤差值的大小確定影響螺旋槳葉面葉背測量精度的主要因素和次要因素。

4.1 測量機各軸誤差分量影響分析

測量機為上下雙聯(lián)動結(jié)構(gòu)，運動軸數(shù)較多，造成測量機運動幾何誤差分量也較多，這樣就為綜合幾何誤差求解和幾何誤差標定帶來了巨大的困難。因此必須分析各運動軸各項誤差對測量機測量誤差的影響效果，指導后續(xù)的空間幾何誤差補償和誤差標定工作。

以3400螺旋槳1號葉片模型為實驗對象，分別對上激光測頭－Z軸－X軸－床身－C軸和下激光測頭－W軸－U軸－床身－C軸兩條運動鏈各誤差分量進行分析。針對單一軸、單一方向誤差分量，誤差等級分別為 0.001，0.005，0.025，0.125.首先根據(jù)設計模型參數(shù)點x，y，z坐標值轉(zhuǎn)換成G代碼后，在G代碼正解過程中考慮某一運動軸某一誤差傳遞矩陣，得到實際點 x′，y′，z′坐標值，通過設計模型參數(shù)點 x，y，z和實際點 x′，y′，z′擬合的曲面法向誤差值分析誤差影響大小，表1和表2分別為葉片上表面運動鏈C軸誤差分量實驗數(shù)據(jù)和Y軸誤差分量實驗數(shù)據(jù)。

表1 C軸誤差分量實驗數(shù)據(jù)（單位：mm）

表2 Y軸誤差分量實驗數(shù)據(jù)（單位：mm）

同理計算出X軸、Z軸、U軸、W軸和葉片下表面運動鏈C軸實驗數(shù)據(jù)。

4.2 測量機幾何誤差敏感性分析

根據(jù)上下運動鏈各軸誤差分量實驗數(shù)據(jù)可得到上下葉片傳動鏈誤差影響分析表，如表3所示。

表3 上葉片傳動鏈誤差影響分析表

（續(xù)下表）

（續(xù)上表）

軸誤差類別 測量誤差與軸向誤差比例δx Z 0.15 δy 0.75 δz 1 εα 9.1 εβ 4.4 εγ 2

通過比較測量誤差與軸向誤差比例大小分析上下運動鏈關(guān)節(jié)誤差分量對最終測量精度的影響大小，上葉片：

Y（εβ） ＞ C（εβ） ＞ X（εα） ＞ C（εα） ＞ Z（εα）＞ Y（εγ）=C（εγ）=Y（εα）＞ X（εβ）＞ Z（εβ）＞＞其他

從結(jié)果可以看出上運動鏈中Y軸繞Y方向的角度誤差對螺旋槳槳葉上表面輪廓測量誤差影響最大，下運動鏈求解方法類似?？傮w看來，各軸的角度誤差比位置誤差對槳葉表面測量誤差的影響大。

5 結(jié)論

本文對專用雙臂螺旋槳測量機空間幾何誤差模型進行研究，分析測量機組成結(jié)構(gòu)和運動鏈傳遞關(guān)系，運用多體運動學理論得到相鄰體間的特征變換矩陣，建立測頭到工件的運動學模型，通過測頭位置點建立測量機空間誤差模型。通過實驗驗證運動軸幾何誤差對螺旋槳測量精度影響，結(jié)果表明該算法能實現(xiàn)專用雙臂螺旋槳測量機的幾何誤差敏感性分析。

[1]Rahman M，Heikkala J，Lappalainen K.Modeling，Measurement and error compensation of multi-axis machine tools[J].International Journal of Machine Tool&Manufacture，2000，40：1535-1546.

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[3]郭 辰.多功能數(shù)控銑床幾何誤差補償技術(shù)的研究[D].沈陽：沈陽工業(yè)大學，2005.

[4]王小平，姚英學，荊懷靖.數(shù)控機床幾何誤差建模及誤差補償?shù)难芯縖J].機械工程師，2005（09）:18-20.

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Sensitivity Analysis of Geometric Error of Measuring Machine Based on the theory of Multi-body System

ZHENG Yan1，CHEN Xu－bing1，LIU Qin2，PENG Fang－yu2
（1.HUST-Wuxi Research Institute，Wuxi Jiangsu 214174，China；2.National NC System Engineering Research Center，Huazhong University of Science&Technology，Wuhan Hubei 430074，China）

A geometrical error sensitivity analysis method based on the theory of multi-body system is proposed to ensure the geometric accuracy of the special two-arm propeller measuring machine.A kinematic model considering the geometric error of motion is established for the relationship between the structure and geometric error of the special propeller measuring machine.The mult-body system theory is used to solve the feature transformation matrix between adjacent bodies，and the error model is established according to the geometric error and the motion geometry error of the special measuring machine.The results show that the algorithm can realize the geometric error sensitivity analysis of the special two-arm propeller measuring machine by comparing the geometric error of the motion axis with the accuracy of the propeller.

special two-arm propeller measuring machine；geometric error；multi-body system theory；sensitivity analysis

TP391.7

A

1672-545X（2017）09-0093-06

2017-06-01

國家科技支撐計劃（編號：SQ2015BAJY2541）；江蘇省“雙創(chuàng)計劃”人才項目；江蘇省產(chǎn)學研前瞻性聯(lián)合研究項目（編號：BY2015022-03）

鄭 妍（1989－），女，江蘇無錫人，碩士，工程師，研究方向：機械工程；陳徐兵（1982－），男，江蘇南通人，工程師，碩士，華中科技大學無錫研究院工程師；劉 琴（1989－），女，江蘇泰州人，學生，碩士，華中科技大學國家數(shù)控系統(tǒng)工程技術(shù)研究中心碩士研究生；彭芳瑜（1972－），男，江西宜豐人，高級工程師（教授、博導），博士，華中科技大學國家數(shù)控系統(tǒng)工程技術(shù)研究中心教授、博士研究生導師。