江勝華，侯建國(guó)，何英明，汪時(shí)機(jī)

（1. 西南大學(xué) 工程技術(shù)學(xué)院，重慶 400715；2. 南洋理工大學(xué) 土木與環(huán)境工程學(xué)院，新加坡 639798；3. 武漢大學(xué) 土木建筑工程學(xué)院，武漢 430072）

基于磁偶極子的磁場(chǎng)梯度張量局部縮并及試驗(yàn)驗(yàn)證

江勝華1,2，侯建國(guó)3，何英明3，汪時(shí)機(jī)1

（1. 西南大學(xué) 工程技術(shù)學(xué)院，重慶 400715；2. 南洋理工大學(xué) 土木與環(huán)境工程學(xué)院，新加坡 639798；3. 武漢大學(xué) 土木建筑工程學(xué)院，武漢 430072）

基于磁偶極子的磁場(chǎng)梯度張量縮并理論雖然可較好地描述磁源，不受測(cè)量系統(tǒng)的朝向的影響，但在實(shí)際的磁場(chǎng)梯度張量測(cè)量中通常僅可測(cè)得部分磁場(chǎng)梯度參數(shù)，沒(méi)有獲得磁場(chǎng)梯度張量中的所有張量分量，如何有效利用這些部分磁場(chǎng)梯度參量，已成為目前磁場(chǎng)梯度張量縮并理論及在磁場(chǎng)定位的應(yīng)用中亟需解決的問(wèn)題。基于磁偶極子理論提出磁場(chǎng)梯度張量局部縮并的方法，給出磁場(chǎng)梯度張量的局部模量的概念，分析了磁場(chǎng)梯度張量的局部模量及相關(guān)參數(shù)的三維空間分布規(guī)律，結(jié)果表明：局部模量CXY及kXY值隨著?先增大后減小，在?=39°時(shí)取最大值，在?=90°時(shí)取最小值；局部模量CZ及kZ值隨著?先減小后增大，在?=63°時(shí)取最小值，在?=0°時(shí)取最大值。提出磁場(chǎng)梯度張量局部模量中重要參數(shù)的近似計(jì)算公式，并通過(guò)試驗(yàn)進(jìn)行驗(yàn)證。試驗(yàn)結(jié)果表明，試驗(yàn)值與理論計(jì)算值基本一致，可為磁場(chǎng)梯度張量局部縮并理論的應(yīng)用提供依據(jù)和參考。

磁偶極子；磁場(chǎng)梯度張量；局部縮并；局部模量

基于磁場(chǎng)梯度張量的地磁異常反演，主要基于磁感應(yīng)強(qiáng)度的梯度張量、張量不變量及張量的模量等，可更好地描述磁源體的邊界、位置、磁化形態(tài)及走向等，受地磁場(chǎng)的影響較小，受環(huán)境磁場(chǎng)的干擾影響亦較小，提高了對(duì)磁源體的探測(cè)效率和分辨率[1-3]，可廣泛用于定位與導(dǎo)航、工程物探、無(wú)損檢測(cè)等[4-7]。磁場(chǎng)梯度張量縮并將磁場(chǎng)梯度張量中的9個(gè)張量元素縮并為1個(gè)標(biāo)量（即模量）[8-9]，該標(biāo)量與磁源體的磁矩和位置直接相關(guān)，可更便捷地反映磁源體的相對(duì)距離和幾何邊界，不受磁場(chǎng)傳感探頭朝向的影響。全張量磁場(chǎng)梯度測(cè)量系統(tǒng)的發(fā)展則為磁場(chǎng)梯度張量縮并理論的實(shí)際應(yīng)用提供了傳感硬件上的支撐。另一方面，在磁場(chǎng)梯度張量的實(shí)際測(cè)量中，通常采用多個(gè)三軸磁傳感器組合形成磁場(chǎng)梯度張量測(cè)試系統(tǒng)，間接測(cè)量得到磁場(chǎng)梯度張量，但由于高精度磁傳感設(shè)備高昂的價(jià)格及在數(shù)量和空間布置等多方面的限制，很多情況下無(wú)法測(cè)量得到磁場(chǎng)梯度張量中的所有張量分量，僅可測(cè)得部分磁場(chǎng)梯度參量。如何有效利用這些部分磁場(chǎng)梯度參量，并應(yīng)用在基于磁場(chǎng)梯度張量的磁場(chǎng)定位及相關(guān)領(lǐng)域，成為目前磁場(chǎng)梯度張量縮并定位理論中亟需解決的問(wèn)題。

本文基于磁偶極子提出磁場(chǎng)梯度張量局部縮并的方法，給出磁場(chǎng)梯度張量的局部模量的概念，并推導(dǎo)磁場(chǎng)梯度張量局部縮并的公式，分析磁場(chǎng)梯度張量局部縮并的空間分布規(guī)律，給出相關(guān)參數(shù)的近似計(jì)算公式，并采用試驗(yàn)進(jìn)行驗(yàn)證。

1 基于磁偶極子的磁場(chǎng)梯度張量局部縮并

當(dāng)磁性體至測(cè)點(diǎn)的距離超過(guò)磁性體長(zhǎng)度的25倍時(shí)，可將磁性體視為一個(gè)磁偶極子模型[8]。磁性體在測(cè)點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度的矢量為：

式中，0μ為介質(zhì)磁導(dǎo)率，為磁性體的磁矩，r為磁性體至測(cè)點(diǎn)的位矢，

磁性體的磁場(chǎng)梯度張量[9-10]為：

磁場(chǎng)梯度張量的模量為：

磁場(chǎng)梯度張量的模量亦可表示為[11]：

k與磁性體至測(cè)點(diǎn)的距離r無(wú)關(guān)，僅與磁性體至測(cè)點(diǎn)的連線和磁偶極子的軸線的夾角相關(guān)。式(5)中，參數(shù)k近似為[12]：

式中，?為磁性體至測(cè)點(diǎn)的連線與磁偶極子的軸線的夾角。當(dāng)90°≤?≤180°時(shí)，參數(shù)k的取值與0°≤?≤90°對(duì)應(yīng)的取值對(duì)稱(chēng)，以下kXY和kZ同理。

定義磁場(chǎng)梯度張量的局部模量為：

通過(guò)式(7)得到磁場(chǎng)梯度張量的局部模量，即磁場(chǎng)梯度張量局部縮并——將磁場(chǎng)梯度張量G中的部分梯度參數(shù)縮并為標(biāo)量CX、CY、CZ、CXY、CXZ及CYZ。

磁場(chǎng)梯度張量的局部模量CX、CY、CZ、CXY、的表達(dá)式為：

式中，kX、kY、kZ、kXY、kXZ及kYZ為參數(shù)，其他參數(shù)的含義同式(5)，其中kXY、kXZ及kYZ可分別表示為：并且有

由于磁場(chǎng)梯度張量的局部模量CX、CY與磁矩、位矢r及?相關(guān)（CXZ和CYZ同樣），而磁場(chǎng)梯度張量的局部模量CZ和CXY僅與磁矩、距離及?相關(guān)，若應(yīng)用在磁場(chǎng)梯度張量定位中，則參量更少，使用更便捷，故本文后續(xù)僅研究磁場(chǎng)梯度張量的局部模量CZ和及相應(yīng)的參數(shù)kZ和kXY。

2 基于磁偶極子的磁場(chǎng)梯度張量局部縮并的理論分析

由式(1)～(8)可得到CXY、kXY、CZ和kZ值的空間分布特征，見(jiàn)圖1～4，其中kXY和kZ的部分取值見(jiàn)表1。和CZ與磁矩和距離相關(guān)，在計(jì)算CXY和CZ時(shí)，為便于顯示其空間分布特征，取磁矩M=1.0 A·m2，

圖1 CXY的空間分布Fig.1 Spatial distribution of parameter CXY

圖2 kXY的空間分布Fig.2 Spatial distribution of parameter kXY

圖3 CZ的空間分布Fig.3 Spatial distribution of parameter CZ

圖4 kZ的空間分布Fig.4 Spatial distribution of parameter kZ

表1 kXY和kZ值的理論反演值Tab.1 Theoretical inversive value of kXY and kZ

由圖1可得，對(duì)于相同距離r的測(cè)點(diǎn)（幾何上為球體）：當(dāng)0°≤?≤90°時(shí)，CXY先增大后減小；在?=39°時(shí)，CXY取最大值；在?=90°（在與磁偶極子軸線正交的赤道）時(shí)，CXY取最小值。

由圖 2可得，kXY值的空間分布規(guī)律與磁場(chǎng)梯度的局部模量CXY相同，但與距離r無(wú)關(guān)，僅與?（磁性體至測(cè)點(diǎn)的連線與磁偶極子的軸線之間的夾角）相關(guān)。在?=0°時(shí)，kXY為 4.2426；在?=39°時(shí)，kXY取最大值5.0199；在?=90°時(shí)，kXY取最小值3.0000。

由圖3可得，對(duì)于相同距離r的測(cè)點(diǎn)（幾何上為球體）：當(dāng)0°≤?≤90°時(shí)，CZ先減小后增大；在?=0°（與磁偶極子軸線一致的極點(diǎn)）時(shí)，CZ取最大值；在?=63°時(shí)，CZ取最小值。

由圖4可得，kZ值的空間分布規(guī)律與磁場(chǎng)梯度的模量CZ相同，但與距離r無(wú)關(guān)，僅與?相關(guān)。在?=0°時(shí)，kZ取最大值 6.0000；在?=63°時(shí)，kXY取最小值2.6836；在?=90°時(shí)，kZ為 3.0000。

kXY、kZ與磁性體至測(cè)點(diǎn)的距離r無(wú)關(guān)，僅與磁性體至測(cè)點(diǎn)的連線和磁偶極子的軸線的夾角?相關(guān)，此時(shí)，參數(shù)kXY和kZ為：

取?=0°～90°，間隔為 1°，則樣本為 91個(gè)，取顯著性水平α=0.05，采用K-S假設(shè)檢驗(yàn)復(fù)核上述擬合公式。當(dāng)時(shí)，則樣本符合假定的分布函數(shù)。對(duì)于式(9)，可見(jiàn)，kXY、kZ值與角度?之間的關(guān)系符合擬合公式(9)和(10)的分布規(guī)律。

3 磁場(chǎng)梯度張量局部縮并的試驗(yàn)驗(yàn)證

通過(guò)4個(gè)三軸磁傳感器（美國(guó)PNI公司生產(chǎn)）組成磁傳感探頭測(cè)量磁場(chǎng)梯度張量。采用基于電流脈沖的步進(jìn)電機(jī)角度控制系統(tǒng)作為旋轉(zhuǎn)試驗(yàn)平臺(tái)。磁性體采用燒結(jié)釹鐵硼永磁鐵，為圓柱形，直徑為8 mm，高8 mm，剩磁為1.23 T，矯頑力為860 kA/m，其磁矩約為0.048 A·m2。永磁鐵的中心設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)O(0, 0, 0)，磁傳感探頭的坐標(biāo)為(0, 0.2sin?, 0.2cos? )。通過(guò)旋轉(zhuǎn)試驗(yàn)平臺(tái)，磁傳感探頭可測(cè)量與永磁鐵的磁偶極子軸線夾角在0°～90°范圍的磁場(chǎng)梯度張量的局部模量CXY和CZ，進(jìn)一步可得到kXY和kZ值。試驗(yàn)平臺(tái)的實(shí)物見(jiàn)圖5。

基于前述的式(1)～(10)可計(jì)算得到局部模量CXY、和參數(shù)kXY、kZ值，其與實(shí)測(cè)值的對(duì)比見(jiàn)圖6～9。

由圖6和圖7可得，磁場(chǎng)梯度張量的局部模量CXY及kXY值隨著?先增大后減小，在?=39°時(shí)取最大值，在?=90°時(shí)取最小值，其與理論計(jì)算值基本一致。

由圖8和圖9可得，磁場(chǎng)梯度張量的局部模量CZ及值隨著?先減小后增大，在?=63°時(shí)取最小值，在?=0°時(shí)取最大值，其與理論計(jì)算值基本一致。可見(jiàn)，磁場(chǎng)梯度張量的局部模量CXY（或CZ）與kXY（或kZ）值的分布趨勢(shì)相同，且試驗(yàn)結(jié)果與前述的理論分析中的空間分布特征一致。

圖5 試驗(yàn)平臺(tái)的實(shí)物圖Fig.5 Photograph of experimental system

圖6 kXY值的試驗(yàn)值與理論值的比較Fig.6 Comparison between experimental and theoretical values of kXY

圖7 局部模量CXY的試驗(yàn)值與理論值的比較Fig.7 Comparison between experimental and theoretical values of CXY

圖8 kZ值的試驗(yàn)值與理論值的比較Fig.8 Comparison between experimental and theoretical values of kZ

圖9 局部模量CZ的試驗(yàn)值與理論值的比較Fig.9 Comparison between experimental and theoretical values of CZ

4 結(jié) 論

1）本文針對(duì)磁場(chǎng)梯度張量的實(shí)際測(cè)量中通常僅可測(cè)得部分磁場(chǎng)梯度張量元素的現(xiàn)狀，為有效利用這些部分磁場(chǎng)梯度參數(shù)，考慮磁場(chǎng)梯度張量縮并理論的日益廣泛的應(yīng)用，發(fā)展了基于磁偶極子的磁場(chǎng)梯度張量局部縮并方法。

2）提出了磁場(chǎng)梯度張量局部縮并的方法，并給出了磁場(chǎng)梯度張量局部模量的概念。分析了局部模量及相關(guān)參數(shù)的空間分布規(guī)律，結(jié)果表明：局部模量CXY及kXY值隨著?先增大后減小，在?=39°時(shí)取最大值，在?=90°時(shí)取最小值；局部模量CZ及kZ值隨著?先減小后增大，在?=63°時(shí)取最小值，在?=0°時(shí)取最大值。

3）提出了局部模量計(jì)算中相關(guān)重要參數(shù)的近似計(jì)算公式，對(duì)磁場(chǎng)梯度張量的局部模量CXY、CZ及近似公式中kXY和kZ值與角度?的關(guān)系進(jìn)行了試驗(yàn)驗(yàn)證，其試驗(yàn)值與理論公式計(jì)算值基本一致。

4）由于磁場(chǎng)梯度張量在磁場(chǎng)定位理論中的重要性及部分磁場(chǎng)梯度傳感器的發(fā)展，磁場(chǎng)梯度張量局部縮并理論值得進(jìn)一步的研究。

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Theoretical study and experimental verification of magnetic gradient tensor partial contraction using magnetic dipole

JIANG Sheng-hua1,2, HOU Jian-guo3, HE Ying-ming3, WANG Shi-ji1
(1. College of Engineering and Technology, Southwest University, Chongqing 400715, China;2. School of Civil and Environmental Engineering, Nanyang Technological University, 639798, Singapore;3. School of Civil Engineering, Wuhan University, Wuhan 400712, China)

The magnetic gradient tensor contraction theory can effectively describe a magnetic source without being influenced by the orientation of magnetic measuring instrument. However, in the actual measurement of magnetic field gradient tensor, only a part of gradient parameters can usually be obtained due to some hardly inevitable factors. To effectively use these parameters, a magnetic gradient tensor partial contraction method is put forward based on magnetic dipole theory, and the conception of magnetic gradient tensor’s partial modulus is given. The three-dimensional distribution of magnetic gradient tensor’s partial modulus and related parameters is analyzed, and the theoretical formulae of the related parameters are derived. The verification experiments show that the partial modulusCXYand the parameterkXYincreases with ? ranged from 0° to 39°,and decreases with ? ranged from 39° to 90°. TheCXYandkXYare maximum when ? is 39°, and are minimum when ? is 90°. The partial modulusCZand parameterkZdecreases with ? ranged from 0° to 63°, and increases with ? ranged from 63° to 90°. TheCZandkZare maximum when ? is 0°, and are minimum when ? is 63°.These experimental values are in accordance with the theoretically calculated values, showing that the proposed method can provide reference for the application of the magnetic gradient tensor contraction theory.

magnetic dipole; magnetic gradient tensor; partial contraction; partial modulus

1005-6734(2017)04-0473-05

10.13695/j.cnki.12-1222/o3.2017.04.009

TM153

A

2017-04-10；

2017-07-25

國(guó)家自然科學(xué)基金（51208078）；重慶市前沿與應(yīng)用基礎(chǔ)研究計(jì)劃（cstc2015jcyjA30008）；中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專(zhuān)項(xiàng)資金（XDJK 2015B007）

江勝華（1982—），男，工學(xué)博士，博士后，副教授，主要從事基于磁場(chǎng)的結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測(cè)等方面的研究。E-mail: jiangsh@whu.edu.cn