韓 震，閆 博，姚向紅

（中國空氣動力研究與發(fā)展中心，四川 綿陽 621000）

基于排隊系統(tǒng)的戰(zhàn)時基本搶修單元指派模型*

韓 震，閆 博，姚向紅

（中國空氣動力研究與發(fā)展中心，四川 綿陽 621000）

基本搶修單元的指派過程是戰(zhàn)時維修保障工作中的重要環(huán)節(jié)，其指派的合理性將直接影響到維修保障工作的順利進行。針對傳統(tǒng)的基本搶修單元指派模糊、效率低下等問題，結(jié)合戰(zhàn)時基本搶修單元可指派數(shù)量的有限性，建立了一種基于排隊系統(tǒng)的戰(zhàn)時基本搶修單元指派模型，為縮短保障時間、提高裝備作戰(zhàn)效能提供了一種參考方法。

基本搶修單元，排隊系統(tǒng)，搶修服務(wù)窗，指派模型

0 引言

基本搶修單元是指能獨立完成規(guī)定搶修任務(wù)所需的最少搶修資源的組合單位，主要承擔著輕損裝備、部件以及設(shè)備的搶修，對于保持和快速恢復(fù)受損裝備的各項戰(zhàn)技性能具有十分重要的作用。戰(zhàn)時裝備搶修具有任務(wù)重、時間緊、要求高等特點［1］，這與可指派的基本搶修單元數(shù)量有限矛盾突出。針對受損裝備后送至指定隱蔽處的規(guī)律性以及可指派基本搶修單元數(shù)量的有限性，為了及時地將受損裝備修復(fù)或恢復(fù)至指定的工作性能，本文建立了一種基于排隊系統(tǒng)的戰(zhàn)時基本搶修單元指派模型，該模型能夠有效縮短受損裝備的平均等待時間（因基本搶修數(shù)量不足誘導的等待時間），在有效時間內(nèi)盡量恢復(fù)受損裝備的各項戰(zhàn)技性能，從而一定程度上提高了受損裝備的維修保障效率，使其盡可能地恢復(fù)戰(zhàn)斗力，為戰(zhàn)爭贏得主動權(quán)。

1 排隊過程描述

假設(shè)若干個基本搶修單元被指派至指定地點對受損裝備進行搶修，按照文獻［2］的方法對受損裝備進行分解提煉，將分解后的受損裝備安排至相關(guān)搶修服務(wù)窗前排隊等待搶修，經(jīng)過服務(wù)窗中的相關(guān)基本搶修單元搶修后，判斷受損裝備是否還需要其他搶修服務(wù)窗對其實施搶修，若需要則前往相關(guān)服務(wù)窗前排隊等待搶修，若不需要則直接將其送至指定作戰(zhàn)區(qū)域，使其重新投入戰(zhàn)場。

通過上述分析，可將服務(wù)窗中的基本搶修單元執(zhí)行搶修任務(wù)的過程理解為搶修任務(wù)排隊通過搶修服務(wù)窗的過程，故可將搶修服務(wù)窗與對應(yīng)的搶修任務(wù)聯(lián)合起來構(gòu)成排隊系統(tǒng)。受損裝備經(jīng)過一個排隊系統(tǒng)完成部分功能的修復(fù)后，還可能前往下一個排隊系統(tǒng)等待搶修，這就使得排隊系統(tǒng)之間存在一定的聯(lián)系。因此，可將整個搶修過程抽象為一個排隊網(wǎng)絡(luò)，其具體示意圖如圖1所示。

圖1 搶修排隊網(wǎng)絡(luò)的示意圖

從圖1可知，該搶修排隊網(wǎng)絡(luò)主要包括輸入過程、排隊規(guī)則、搶修服務(wù)窗以及輸出過程等［3-7］。

①輸入過程。其主要是指戰(zhàn)時受損裝備按照一定的規(guī)律到達搶修服務(wù)窗。假設(shè)：受損裝備的數(shù)量是有限的；以單個流方式到達搶修服務(wù)窗；到達搶修服務(wù)窗的間隔時間服從負指數(shù)分布；受損裝備可能需要獲得多個服務(wù)窗的搶修，才能恢復(fù)至作戰(zhàn)所需的各項戰(zhàn)技性能。

②排隊規(guī)則。其主要是指搶修服務(wù)窗采取何種順序搶修受損裝備。戰(zhàn)時，到達同一搶修服務(wù)窗的搶修任務(wù)往往是相同或相似的，而這些搶修任務(wù)的優(yōu)先級往往又是相差不大的，故在搶修服務(wù)窗前排隊等待搶修的搶修任務(wù)按照“先到先服務(wù)”的排隊規(guī)則。

③搶修服務(wù)窗。其主要由若干個功能相同或相似的基本搶修單元有機組合而成。在搶修排隊網(wǎng)絡(luò)中，主要關(guān)注其所能提供的搶修服務(wù)窗數(shù)量（有限還是無限），搶修服務(wù)窗的搶修方式（單個搶修還是多個成批次搶修，串聯(lián)搶修還是并聯(lián)搶修）以及搶修時間的規(guī)律（如泊松分布、負指數(shù)分布以及愛爾蘭分布等）等。根據(jù)戰(zhàn)時搶修服務(wù)窗的基本情況，文中作了一定的假設(shè)：戰(zhàn)時搶修服務(wù)窗的數(shù)量是有限的；為每個服務(wù)窗所指派的基本搶修單元的數(shù)量也是有限的，搶修的方式以單個并聯(lián)搶修為主；基本搶修單元完成搶修任務(wù)所花費的時間服從負指數(shù)分布；搶修服務(wù)窗之間以及搶修服務(wù)窗內(nèi)部基本搶修單元之間的搶修過程是相互獨立的。

④輸出過程。其主要是指經(jīng)過搶修排隊網(wǎng)絡(luò)的搶修，受損裝備達到了作戰(zhàn)所需的各項戰(zhàn)技性能。

戰(zhàn)時參戰(zhàn)裝備的數(shù)量是有限的，即潛在的搶修對象的數(shù)量是有限的，令其數(shù)量為m；為每個搶修服務(wù)窗所指派的基本搶修單元的數(shù)量也是有限的，令其數(shù)量為n；每個基本搶修單元可接待的搶修任務(wù)的容量是有限的，并且與潛在搶修任務(wù)密切相關(guān)，故令其為m；搶修任務(wù)到達的間隔時間和基本搶修單元的搶修時間均服從負指數(shù)分布；搶修任務(wù)是相互獨立地到達搶修服務(wù)窗；搶修服務(wù)窗中的基本搶修單元能獨立地完成搶修任務(wù)。由此可見，戰(zhàn)時每個搶修服務(wù)窗與對應(yīng)搶修任務(wù)所組成的排隊系統(tǒng)可視為M/M/n/m/m型排隊系統(tǒng)，而整個搶修排隊網(wǎng)絡(luò)則可視為開環(huán)型排隊網(wǎng)絡(luò)。

2 排隊過程假設(shè)

為了便于研究，在建立基于排隊系統(tǒng)的基本搶修單元指派模型之前，需要對上述排隊過程作一定的假設(shè)，現(xiàn)作如下假設(shè)：①不考慮外界因素對搶修服務(wù)窗的影響；②不考慮外界因素導致受損裝備的二次損傷；③受損裝備需要經(jīng)過多個服務(wù)窗才能恢復(fù)至規(guī)定功能，若受損裝備有k個并行搶修任務(wù)，則將受損裝備分解成k個互不相關(guān)的搶修任務(wù)，再將這k個搶修任務(wù)分別安排至對應(yīng)服務(wù)窗前等待搶修，同時不考慮這個搶修任務(wù)前往對應(yīng)服務(wù)窗接收服務(wù)的先后順序。若受損裝備有k個串行搶修任務(wù)，則將受損裝備按搶修的前后順序依次前往對應(yīng)服務(wù)窗接收服務(wù)；④受損裝備擁有若干個串行搶修任務(wù)，在一個服務(wù)窗中恢復(fù)部分功能后，還需要繼續(xù)前往下一個服務(wù)窗接收搶修，這個前往過程所耗費的時間很短，文中忽略該時間。

3 建立指派模型

某時段裝備保障群［8］可以為某搶修排隊系統(tǒng)指派n個功能相同或相似的基本搶修單元，而該排隊系統(tǒng)所保障的區(qū)域內(nèi)存在對應(yīng)搶修任務(wù)的參戰(zhàn)裝備有m臺，排隊系統(tǒng)的容量為m，搶修任務(wù)以平均強度為λ的Poisson流到達排隊系統(tǒng)，而每個基本搶修單元以平均強度為μ的負指數(shù)流完成搶修任務(wù)。這就構(gòu)成了一個典型的M/M/n/m/m型排隊系統(tǒng)。

在信息化戰(zhàn)場條件下，若某時刻需要完成u個搶修任務(wù)，此時就往往會出現(xiàn)以下兩類情況：①可運載基本搶修單元的車輛數(shù)量充足，但裝備保障群不能指派數(shù)量充足的基本搶修單元實現(xiàn)一對一的搶修保障；②裝備保障群能指派數(shù)量充足的基本搶修單元實現(xiàn)一對一的搶修保障，但可運載基本搶修單元的車輛數(shù)量不足。這兩類情況都會導致運至目的地的基本搶修單元數(shù)量不能滿足所需。若最終可到達指定地點的基本搶修單元數(shù)量為n（其中，n＜u），這就會使得到達排隊系統(tǒng)的u-n個搶修任務(wù)需要排隊等待，此時排隊系統(tǒng)總的工作效率為nμ，其中μ為基本搶修單元的平均工作效率。由此可知該排隊系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)換，如圖2所示。

圖2 排隊系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)換

表1 排隊系統(tǒng)的平穩(wěn)狀態(tài)分布

根據(jù)圖2，再結(jié)合表1，可列出該排隊系統(tǒng)在平衡條件下的K氏代數(shù)方程（令

綜上所述，求解可知，

受損裝備排隊等候的平均隊長Lq為：

排隊系統(tǒng)的平均隊長Ls為：

受損裝備排隊的平均等候時間Wq為：

受損裝備排隊的平均逗留時間Ws為：

若受損裝備只需要在這個排隊系統(tǒng)實施搶修就能恢復(fù)至作戰(zhàn)所需功能，則該類型裝備的持續(xù)參戰(zhàn)率α為：

也正是冤家路窄，柳紅驚恐萬狀地竄出玉米地，就瞧見那個偷瓜賊抱著一只大西瓜，篤悠悠地朝玉米地走來，他大概也把這片玉米地當作掩護偷盜的天然屏障了。癩阿小走到玉米地邊上，剛想松口氣的當兒，柳紅突然從玉米地里跳將出，沖他大喝一聲。與其說他是被柳紅嚇倒了，倒不如說是被這種突發(fā)性的狀況所嚇倒了；癩阿小見到柳紅就跟見到鬼似的。不由自主地扔下那只大西瓜，轉(zhuǎn)身就跑。

式中，α表示某時段性能滿足作戰(zhàn)要求的裝備數(shù)與所有參戰(zhàn)裝備數(shù)的比值，這間接反映了排隊系統(tǒng)的搶修效率。

同理可得，排隊系統(tǒng)中指標Lq值、Ls值、Wq值、Ws值以及α值。

因為排隊系統(tǒng)之間工作是相互獨立的，所以若某類受損裝備有K個搶修任務(wù)，需要經(jīng)過K個排隊系統(tǒng)才能恢復(fù)至規(guī)定功能，則受損裝備排隊等候的平均隊長Lq為：

式中，Lqi表示受損裝備在第i個排隊系統(tǒng)的平均等候隊長。

受損裝備排隊的平均隊長Ls為：

式中，Lsi表示受損裝備在第i個排隊系統(tǒng)的平均隊長。

式中，Wqi表示受損裝備在第i個排隊系統(tǒng)的平均等候時間。

受損裝備排隊的平均逗留時間Ws為：

式中，Wsi表示受損裝備在第i個排隊系統(tǒng)的平均逗留時間。

該類型裝備的持續(xù)參戰(zhàn)率α為：

通過上述求解的指標 Lq值、Ls值、Wq值、Ws值以及α值可知，指派n個基本維修單元能否滿足作戰(zhàn)部隊對其的要求。若能滿足要求，則指派n個基本維修單元前往；若不能滿足作戰(zhàn)部隊的要求，則適當增加相關(guān)基本搶修單元的數(shù)量，重新構(gòu)建成一個排隊系統(tǒng)，重新按照式（1）～式（12）求解出指標Lq值、Ls值、Wq值、Ws值以及α值，再判斷新排隊系統(tǒng)的各項指標值能否滿足所需，若還是不能滿足所需，則繼續(xù)增加相關(guān)基本搶修單元的數(shù)量，重復(fù)上述操作，若增加到裝備保障群可指派基本搶修單元的上限數(shù)量后仍不能滿足所需，則裝備保障群指派上限數(shù)量的基本搶修單元前往指定地點實施搶修。

4 案例分析

某作戰(zhàn)區(qū)域內(nèi)參戰(zhàn)裝備的受損搶修都由某一裝備保障群負責保障，假設(shè)該區(qū)域內(nèi)主要有Ⅰ型、Ⅱ型以及Ⅲ型參戰(zhàn)裝備，數(shù)量分別為5、8、12，Ⅰ型裝備以底盤受損為主，Ⅱ型裝備底盤與上裝都容易受損，Ⅲ型裝備則以上裝受損為主，3類受損裝備到達指定隱蔽處的過程都服從Poission分布，且到達率都是λ=2臺/h。裝備保障群針對此情況，可指派出基本搶修單元到達指定隱蔽處，分別組建相互獨立的底盤搶修服務(wù)窗與上裝搶修服務(wù)窗（注：所有裝備受損的底盤部分都能在底盤搶修服務(wù)窗內(nèi)得到搶修，上裝搶修服務(wù)窗類似），搶修單元之間相互獨立且搶修時間都服從負指數(shù)分布，底盤搶修單元與上裝搶修單元的工作效率分別為μ1=4臺/h與μ2=6臺/h，并且兩類服務(wù)窗的空間都能容納足夠多的受損裝備，但該裝備保障群在該時段內(nèi)最多可指派出2個底盤搶修單元和4個上裝搶修單元前往指定隱蔽地點實施搶修。規(guī)定：受損裝備排隊的平均逗留時間不能超過25 min，裝備的持續(xù)參戰(zhàn)率不能低于60%。

由題意可知，整個搶修過程可抽象成一個簡單的排隊網(wǎng)絡(luò)，網(wǎng)絡(luò)中主要有兩個排隊系統(tǒng)。其中，底盤搶修服務(wù)窗與對應(yīng)受損裝備聯(lián)合起來，可以視為一個排隊系統(tǒng)，記為a；而上裝搶修服務(wù)窗與對應(yīng)受損裝備聯(lián)合起來，也可以視為一個排隊系統(tǒng)，記為b。

在排隊系統(tǒng)a中，采用底盤搶修服務(wù)窗對Ⅰ型受損裝備實施搶修，若裝備保障群指派1個底盤搶修單元前往搶修，則此時 n=1，m=5，λ=2，μ=4，于是通過式（2）～式（7）計算可知：Lq=2.191臺，Ls=3.152 臺，Wq=35.566 min，Ws=51.185 min，α=40.0%。

從計算結(jié)果可知，此種情況下Ws值與α值均未達到規(guī)定值，即該種情況不能滿足作戰(zhàn)部隊對Ⅰ型裝備的要求。將指派的底盤搶修單元數(shù)量增加至2個，再通過計算可知：Lq=0.533臺，Ls=1.990臺，Wq=5.515 min，Ws=19.839 min，α=60.2%。

從計算結(jié)果可知，此種情況下Ws值達到規(guī)定值，而α值則剛好達到規(guī)定值，即該種情況基本能滿足作戰(zhàn)部隊對Ⅰ型裝備的要求。

在排隊系統(tǒng)b中，采用上裝搶修服務(wù)窗對Ⅲ型受損裝備實施搶修，若裝備保障群指派1個上裝搶修單元前往搶修，則此時 n=1，m=12，λ=2，μ=6，于是通過式（2）～式（7）計算可知：Lq=8.000臺，Ls=9.000 臺，Wq=79.999 min，Ws=90 min，α=25%。

從計算結(jié)果可知，此種情況下Ws值與α值均未達到規(guī)定值，即該種情況不能滿足作戰(zhàn)部隊對Ⅲ型裝備的要求。將指派的上裝搶修單元數(shù)量增加至2個，計算可知：Lq=4.161 臺，Ls=6.127 臺，Wq=21.255 min，Ws=31.297 min，α=48.9%。

從計算結(jié)果可知，此種情況下Ws值與α值也均未達到規(guī)定值，即該種情況仍不能滿足作戰(zhàn)部隊對Ⅲ型裝備的要求。再將指派的上裝搶修單元數(shù)量增加至3個，再通過計算可知：Lq=1.539臺，Ls=4.154臺，Wq=5.250 min，Ws=14.171 min，α=65.4%。

從計算結(jié)果可知，此種情況下Ws值與α值均達到規(guī)定值，即該種情況能滿足作戰(zhàn)部隊對Ⅲ型裝備的要求。

排隊網(wǎng)絡(luò)對Ⅱ型受損裝備實施搶修需要經(jīng)過排隊系統(tǒng)a與排隊系統(tǒng)b。在排隊系統(tǒng)a中，有由式（2）～ 式（7）可知，此時排隊系統(tǒng)的指標值分別為：Lq=2.314臺，Ls=4.220 臺，Wq=18.365 min，Ws=33.492 min。

在排隊系統(tǒng) b 中，有 n2=3，m2=8，λ2=2，μ2=6，ρ′′1=由式（2）～式（7）可知，此時排隊系統(tǒng)的指標值分 別 為 ：Lq=0.294 臺 ，Ls=2.118 臺 ，Wq=1.499 min，Ws=10.802 min。

因為底盤搶修任務(wù)與上裝搶修任務(wù)相互獨立，即可認為是并行任務(wù)。因此，通過式（8）～式（12），可得Ⅱ型受損裝備在排隊網(wǎng)絡(luò)中的指標值分 別 為 ：Lq=2.314 臺 ，Ls=4.220 臺 ，Wq=18.365 min，Ws=33.492min，α=47.3%。

從計算結(jié)果可知，此種情況下Ws值與α值均未達到規(guī)定值，即該種情況不能滿足作戰(zhàn)部隊對Ⅱ型裝備的要求。通過分析計算過程可知，導致不能滿足部隊所需的根本原因在于可指派的底盤搶修單元數(shù)量不足。但由于裝備保障群至多可指派2個底盤搶修單元，所以，針對保障區(qū)域內(nèi)的Ⅰ型受損裝備、Ⅱ型受損裝備以及Ⅲ型受損裝備，最終裝備保障群指派2個底盤搶修單元與3個上裝搶修單元前往指定隱蔽地點，分別組成排隊系統(tǒng)對受損裝備實施搶修。

5 結(jié)論

隨著信息化裝備保障的日益推進，戰(zhàn)時搶修任務(wù)的嚴峻性與可指派搶修單元數(shù)量的有限性之間的矛盾日益突出，致使其不能有效滿足信息化戰(zhàn)爭對裝備保障的要求。針對排隊思想在解決服務(wù)系統(tǒng)設(shè)計與優(yōu)化控制等方面具有獨特的優(yōu)勢，本文借鑒排隊思想，建立了一種基于排隊系統(tǒng)的戰(zhàn)時基本搶修單元指派模型，該指派模型能有效解決戰(zhàn)時裝備搶修問題，提升戰(zhàn)時裝備搶修能力，對提高部隊戰(zhàn)斗力具有重要的支撐作用。

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Dispatching Model of Basic Maintenance Units in Wartime Based on Queuing System

HAN Zhen，YAN Bo，YAO Xiang-hong
（China Aerodynamics Research and Development Center，Mianyang 621000，China）

The dispatching process of basic maintenance units is an important link of maintenance support work in wartime，its rationality directly affects whether maintenance support goes on well.Aiming at these problems of fuzzy dispatching and low efficiency of the conventional basic maintenance units，and the limit of dispatching number of basic maintenance units in wartime，the paper develops the dispatching model of basic maintenance units in wartime based on the queuing system.The model provides a reference method to shorten the support time and improve the equipment operational effectiveness.

basic maintenance unit，queuing system，maintenance service window，dispatching model

1002-0640（2017）10-0039-05

E92

A

10.3969/j.issn.1002-0640.2017.10.009

2016-08-03

2016-10-11

國家自然科學基金資助項目（60904071）

韓 震（1986- ），男，四川資陽人，博士。研究方向：裝備保障信息化。