龍凱，谷先廣，王選

1.華北電力大學(xué) 能源的安全與清潔利用北京市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 102206 2.華北電力大學(xué) 新能源電力系統(tǒng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 102206 3.合肥工業(yè)大學(xué) 汽車(chē)與交通工程學(xué)院，合肥 230009 4.大連理工大學(xué) 工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，大連 116024

基于多相材料的連續(xù)體結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)輕量化設(shè)計(jì)方法

龍凱1,2,*，谷先廣3，王選4

1.華北電力大學(xué) 能源的安全與清潔利用北京市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 102206 2.華北電力大學(xué) 新能源電力系統(tǒng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 102206 3.合肥工業(yè)大學(xué) 汽車(chē)與交通工程學(xué)院，合肥 230009 4.大連理工大學(xué) 工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，大連 116024

為了實(shí)現(xiàn)基于多相材料的結(jié)構(gòu)輕量化設(shè)計(jì)，遵循獨(dú)立連續(xù)映射法，提出了以結(jié)構(gòu)總重最小化為目標(biāo)和給定特征值為約束的拓?fù)鋬?yōu)化模型。方法采用2類獨(dú)立拓?fù)渥兞繉?shí)現(xiàn)了單元?jiǎng)偠染仃嚒①|(zhì)量矩陣和重量插值。推導(dǎo)了固有特征值和總重量的敏度表達(dá)式，通過(guò)1階和2階泰勒展開(kāi)得到其近似表達(dá)式。對(duì)約束函數(shù)一次項(xiàng)過(guò)濾轉(zhuǎn)換為偏微分方程的求解，消除了棋盤(pán)格現(xiàn)象和網(wǎng)格依賴性等數(shù)值不穩(wěn)定性。通過(guò)二維數(shù)值算例驗(yàn)證了提出方法的可行性和優(yōu)越性。結(jié)果表明，與單相組分材料拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)構(gòu)相比，多相材料拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)構(gòu)具有更輕的重量。通過(guò)附加相鄰頻率間隔約束或增加高階頻率約束，避免了模態(tài)交換現(xiàn)象。

拓?fù)鋬?yōu)化；獨(dú)立連續(xù)映射法；連續(xù)體結(jié)構(gòu)；固有頻率；模態(tài)分析

自Bendsoe和Kikuchi[1]提出連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化概念以來(lái)，迄今為止涌現(xiàn)出各類拓?fù)鋬?yōu)化方法，包括均勻化法、實(shí)體各向同性懲罰微結(jié)構(gòu)(Solid Isotropic Microstructures with Penalization,SIMP) 的變密度法、雙向結(jié)構(gòu)進(jìn)化式(Bi-directional Evolutionary Structural Optimization,BESO)法和水平集法等。文獻(xiàn)[2-6]給出了在不同發(fā)展階段各類方法的理論和應(yīng)用綜述。早期的動(dòng)態(tài)優(yōu)化研究大多以結(jié)構(gòu)固有頻率為目標(biāo)或約束，體現(xiàn)在各類拓?fù)鋬?yōu)化方法中[7-11]。在動(dòng)態(tài)響應(yīng)方面，以降低結(jié)構(gòu)振動(dòng)幅度、減小噪聲的拓?fù)鋬?yōu)化方法也被相繼提出[12-19]。文獻(xiàn)[20]綜述了現(xiàn)有的動(dòng)態(tài)拓?fù)鋬?yōu)化研究。

多相材料的布局優(yōu)化是拓?fù)鋬?yōu)化研究中另一類值得關(guān)注的問(wèn)題。Thomsen[21]較早開(kāi)展了多相材料的拓?fù)鋬?yōu)化研究。Sigmund和Torquato[22]采用常規(guī)材料，實(shí)現(xiàn)了負(fù)熱膨脹系數(shù)的材料微結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)。Gibiansky和Sigmund[23]提出了達(dá)到體積模量上限的多相材料組成的微結(jié)構(gòu)。除了SIMP法外，多相材料布局優(yōu)化在水平集法[24]、相場(chǎng)法[25]和BESO法[26]中也有所體現(xiàn)。Yin和Ananthasuresh[27]提出的峰值函數(shù)法用單變量描述多相材料以減少密度變量數(shù)目。Gao等[28-29]提出了線性對(duì)等混合材料插值和質(zhì)量約束拓?fù)鋬?yōu)化模型，指出質(zhì)量約束在尋找全局最優(yōu)解等方面的優(yōu)越性。Takakoli和Mohseni[30]將多相布局優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為序列兩相材料優(yōu)化問(wèn)題，采用優(yōu)化準(zhǔn)則法求解，實(shí)現(xiàn)了各相材料體積比約束下的布局優(yōu)化。Zuo和Saitou[31]歸一化處理密度變量，減少了密度變量數(shù)目，提出了序列SIMP方法。

不同于常見(jiàn)拓?fù)鋬?yōu)化方法，獨(dú)立連續(xù)映射(Independent Continuous Mapping,ICM)方法以獨(dú)立于單元具體物理參數(shù)的變量表征單元的有無(wú)[32]。其獨(dú)立性體現(xiàn)在拓?fù)渥兞繑[脫了物理量的約束，提出了磨光、過(guò)濾函數(shù)等新概念。自1996年被提出以來(lái)，ICM方法實(shí)現(xiàn)了重量最小化目標(biāo)下的應(yīng)力、位移、頻率和屈曲因子等約束條件的拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)[33]，研究成果集中體現(xiàn)在文獻(xiàn)[34]中。

目前多相材料布局優(yōu)化較多地以各相材料體積比或總質(zhì)量為約束條件建立優(yōu)化模型。與此不同，本文將針對(duì)結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)題，基于ICM方法建立多相材料布局的拓?fù)鋬?yōu)化模型。優(yōu)化目標(biāo)為總重最小化，這種以輕量化設(shè)計(jì)為目的的優(yōu)化模型具有更為直觀的工程意義。方法定義了2類獨(dú)立拓?fù)渥兞恳员碚鲉卧挠袩o(wú)和不同材料相。采用1階、2階泰勒近似表達(dá)固有特征值和重量函數(shù)，建立的二次優(yōu)化近似模型采用序列二次規(guī)劃方法求解。最后通過(guò)數(shù)值算例來(lái)證明本文提出的方法在多相材料布局優(yōu)化的可行性。

1 材料插值模型

ICM方法定義2類獨(dú)立拓?fù)渥兞縮i(0≤si≤1)和ti(0≤ti≤1)用于表征單元的有無(wú)和不同相材料，其與單元?jiǎng)偠染仃噆i、質(zhì)量矩陣mi和重量wi的關(guān)系為

(1)

式中:N為設(shè)計(jì)區(qū)域單元總數(shù)；上標(biāo)Ⅰ和Ⅱ表示可選用材料Ⅰ和Ⅱ;si=1或0表示單元i由材料填充或空洞；ti=1或0表示單元i選用材料Ⅰ或材料Ⅱ;α和β分別為單元?jiǎng)偠染仃嚭唾|(zhì)量矩陣懲罰因子。

以重量最小化為目標(biāo)，給定特征值約束限值的拓?fù)鋬?yōu)化模型為

(2)

在動(dòng)力學(xué)優(yōu)化問(wèn)題中，普遍存在著局部模態(tài)的現(xiàn)象，這種現(xiàn)象是由低密度區(qū)的剛度懲罰不當(dāng)引起的[35]。在SIMP法和BESO法中，通常修正低密度區(qū)的彈性模量來(lái)避免局部模態(tài)現(xiàn)象[35-36]。這里通過(guò)對(duì)質(zhì)量矩陣予以剛度矩陣相同的懲罰來(lái)消除局部模態(tài)現(xiàn)象，即α=β=4。數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，這種參數(shù)設(shè)置能有效地避免局部模態(tài)現(xiàn)象，并得到清晰的拓?fù)鋬?yōu)化構(gòu)型。

2 結(jié)構(gòu)響應(yīng)量的顯式表達(dá)與優(yōu)化建模

模態(tài)分析有限元方程為

Kuj=λjMuj

(3)

式中：K和M分別為總體剛度矩陣和質(zhì)量矩陣；uj為第j階特征向量。由伴隨法易推導(dǎo)得

(4)

式中：K和M對(duì)si和ti的偏導(dǎo)數(shù)計(jì)算可歸結(jié)為單元?jiǎng)偠染仃嚭唾|(zhì)量矩陣的偏導(dǎo)數(shù)計(jì)算上，由式(1)可得

(5)

與SIMP方法不同，ICM方法引入si和ti的倒數(shù)函數(shù)作為設(shè)計(jì)變量，定義設(shè)計(jì)變量xi和yi為

(6)

由此可得

(7)

固有特征值采用2類設(shè)計(jì)變量的1階泰勒展開(kāi)得到其近似表達(dá)式為

(8)

(9)

將式(4)、式(5)和式(7)代入式(9)，可求得敏度值。

基于設(shè)計(jì)變量表達(dá)的重量函數(shù)為

(10)

易推導(dǎo)重量函數(shù)的1階偏導(dǎo)數(shù)為

(11)

同理可得重量函數(shù)的2階偏導(dǎo)數(shù)為

(12)

根據(jù)式(11)和式(12)，在當(dāng)前設(shè)計(jì)變量下，采用2階泰勒展開(kāi)得到重量函數(shù)的近似表達(dá)式為

(13)

經(jīng)過(guò)上述推導(dǎo)，優(yōu)化模型式(2)可轉(zhuǎn)換為

(14)

式(14)中的約束函數(shù)和目標(biāo)函數(shù)分別采用式(8)和式(13)的近似表達(dá)式。

動(dòng)態(tài)拓?fù)鋬?yōu)化中存在著模態(tài)交換問(wèn)題，除了關(guān)心特征值大于等于指定值外，ICM方法采用增加約束的處理方式來(lái)避免模態(tài)交換。例如，2階特征值始終不小于1階特征值[37-38]；或2階特征值大于指定值。上述2種方法的目的在于相鄰特征值間保持間隔，約束方程分別表達(dá)為

λ2≥bλ1

(15a)

(15b)

注意到模型式(14)是標(biāo)準(zhǔn)的二次規(guī)劃形式，這里采用序列二次規(guī)劃法求解，具體過(guò)程可參考文獻(xiàn)[39-40]。在優(yōu)化求解后，更新結(jié)構(gòu)直至滿足

|W(a+1)-W(a)|/W(a+1)≤ε

(16)

式中：ε為收斂率。

3 消除棋盤(pán)格現(xiàn)象和網(wǎng)格依賴性問(wèn)題

連續(xù)體拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)題中普遍存在著棋盤(pán)格現(xiàn)象和網(wǎng)格依賴性問(wèn)題[41-42]?；跀?shù)字圖像原理的過(guò)濾方法被廣泛應(yīng)用解決上述問(wèn)題。定義固有特征值對(duì)設(shè)計(jì)變量的偏導(dǎo)數(shù)與設(shè)計(jì)變量乘積為

(17)

(18a)

(18b)

容易證明，過(guò)濾場(chǎng)函數(shù)滿足

(19)

即過(guò)濾前后，式(8)中的一次項(xiàng)總和不變，這對(duì)穩(wěn)定優(yōu)化求解非常有利。

過(guò)濾措施帶來(lái)的平均效果不可避免地導(dǎo)致優(yōu)化構(gòu)型邊界不清晰。為了獲得清晰的拓?fù)鋬?yōu)化構(gòu)型，采用2階段優(yōu)化策略[39-40]，即在第1階段采用過(guò)濾措施消除棋盤(pán)格現(xiàn)象和網(wǎng)格依賴性問(wèn)題。第2階段不采用過(guò)濾措施直至優(yōu)化收斂。這2個(gè)階段采用的收斂率ε不同，分別取值為0.5‰和0.1‰。

4 數(shù)值算例

采用數(shù)值算例來(lái)說(shuō)明提出方法的可行性和優(yōu)越性?？蛇x用的材料及屬性如表1所示。每個(gè)算例均為平面結(jié)構(gòu)，厚度為1 mm。結(jié)構(gòu)采用四節(jié)點(diǎn)方形單元離散，單元尺寸為1 mm×1 mm。當(dāng)結(jié)構(gòu)全部由碳鋼材料組成，其質(zhì)量和重量分別為m0和W0，結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化后的重量為W，以重量比W/W0來(lái)說(shuō)明減重效果。在拓?fù)鋬?yōu)化構(gòu)型中，碳鋼、鋁和鎂分別采用紅色、藍(lán)色和綠色表示，空洞部分不顯示。

表1 可選用材料的屬性Table 1 Properties of candidate material

算例1圖1所示的長(zhǎng)梁結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu)尺寸為280 mm×40 mm。梁兩端全固定，平板中心附加一個(gè)質(zhì)量為m0的質(zhì)量點(diǎn)?？蛇x材料為碳鋼和鋁，當(dāng)結(jié)構(gòu)分別采用碳鋼和鋁時(shí)，對(duì)應(yīng)的1階頻率分別為1 237和813 Hz。對(duì)于多相材料布局優(yōu)化問(wèn)題，設(shè)結(jié)構(gòu)1階頻率下限值為750 Hz。本算例首先考察懲罰參數(shù)對(duì)優(yōu)化結(jié)果的影響。選取參數(shù)α=4、β=1，拓?fù)鋬?yōu)化過(guò)程迭代振蕩無(wú)法收斂。結(jié)構(gòu)固有頻率值在優(yōu)化迭代過(guò)程中會(huì)突然變小，該現(xiàn)象由低密度區(qū)的虛假模態(tài)引起。當(dāng)參數(shù)α=β=4時(shí)，優(yōu)化迭代78步收斂，優(yōu)化結(jié)果重量比為0.271，拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果如圖2(a)所示。為了驗(yàn)證提出方法的可行性和有效性，優(yōu)化模型采用式(2)形式，采用移動(dòng)漸近線(MMA)算法更新變量，在指定的最大優(yōu)化迭代步(≥300)收斂，優(yōu)化重量比為0.278，拓?fù)鋬?yōu)化構(gòu)型如圖2(b)所示。

由圖2可知，2種不同方法得到的拓?fù)鋬?yōu)化構(gòu)型類似，說(shuō)明本文提出方法具有可行性。長(zhǎng)梁結(jié)構(gòu)1階振型為彎曲振型，圖2(a)中更多的強(qiáng)相材料布置在上下表面以提高結(jié)構(gòu)抗彎性，優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)重量更輕。由此可知，ICM方法得到的優(yōu)化結(jié)構(gòu)合理，且優(yōu)化迭代效率高。

圖1 長(zhǎng)梁結(jié)構(gòu)Fig.1 A long beam

圖2 不同方法下的優(yōu)化構(gòu)型Fig.2 Optimal configurations with different methods

算例2本算例是算例1的擴(kuò)展，用于考察不同頻率約束下多相材料拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果與單相拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果的對(duì)比。設(shè)結(jié)構(gòu)1階頻率下限在500～900 Hz之間變化，不同頻率約束下的多相材料拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果如表2所示。為了便于比較，在相同的頻率約束條件下，單相組分材料下的拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果如表3和表4所示。

由表2可知，在不同的頻率約束條件下，多相材料拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)構(gòu)包含碳鋼、鋁和空洞，強(qiáng)相材料碳鋼始終布置在約束位置、質(zhì)量點(diǎn)位置等區(qū)域。對(duì)比表2～表4的結(jié)果可知，在相同的1階頻率約束條件下，多相材料拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)構(gòu)比2種組分材料下的優(yōu)化結(jié)構(gòu)更輕。當(dāng)1階頻率要求不低于900 Hz時(shí)，整個(gè)結(jié)構(gòu)全部采用鋁材料無(wú)法滿足設(shè)計(jì)要求。綜合上述2點(diǎn)，多相材料不僅能更好地滿足設(shè)計(jì)要求，同時(shí)達(dá)到了結(jié)構(gòu)輕量化設(shè)計(jì)的目的。優(yōu)化結(jié)果說(shuō)明所提方法具有協(xié)調(diào)多相材料布局優(yōu)化的能力。

表2 不同頻率約束下的多相材料優(yōu)化結(jié)果Table 2 Optimal results for multiple phases materials under different frequency constraints

表3 相材料1下的優(yōu)化結(jié)果Table 3 Optimal results for Phase 1

表4 相材料2下的優(yōu)化結(jié)果Table 4 Optimal results for Phase 2

算例3如圖3所示的短懸臂梁，結(jié)構(gòu)尺寸為160 mm×100 mm。梁左端全約束，右端中心附加一個(gè)質(zhì)量為0.8m0的質(zhì)量點(diǎn)。分別選用碳鋼、鋁和鎂來(lái)填充結(jié)構(gòu)，1階頻率分別為1 284.9、834和669 Hz。設(shè)結(jié)構(gòu)1階頻率不低于700 Hz。顯然，整個(gè)結(jié)構(gòu)全部采用鎂材料無(wú)法滿足設(shè)計(jì)要求。對(duì)于多相材料布局優(yōu)化問(wèn)題，考慮不同的多相材料組合：碳鋼和鋁、碳鋼和鎂，拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果如表5所示。為便于比較，碳鋼和鋁單相材料拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果也列于表5中。

由表5可知，2類多相材料組合和2類單相材料拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果均能滿足動(dòng)態(tài)設(shè)計(jì)要求，多相材料拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)構(gòu)均比組分單相材料拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)構(gòu)輕。鋁和鎂材料比剛度較為接近，在多相材料拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果中，這2種弱相材料所占的體積不同，最優(yōu)結(jié)構(gòu)重量接近。這說(shuō)明多相材料的最優(yōu)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)隨著組分材料的不同而不同。

圖3 短懸臂梁Fig.3 A short cantilever beam

表5 不同相材料組合下的優(yōu)化結(jié)果Table 5 Optimal results for different combinations of phases materials

算例4如圖4所示的平面結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu)尺寸為120 mm×40 mm，在下端面1/4、1/2和3/4位置處分別附加質(zhì)量為0.8m0、0.6m0和0.8m0的質(zhì)量點(diǎn)。可選材料為碳鋼和鋁。設(shè)結(jié)構(gòu)1階頻率不低于2 000 Hz。本算例用來(lái)考察附加約束對(duì)拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果的影響。計(jì)算3種情況：① 2階頻率無(wú)任何約束(Case 1)；② 根據(jù)式(15a)，設(shè)置λ2≥bλ1，強(qiáng)迫2階頻率始終大于1階頻率(Case 2)；③ 根據(jù)式(15b)增加2階頻率約束λ2≥2 500 Hz(Case 3)。3種情況下，優(yōu)化迭代過(guò)程中的前2階頻率變化如圖5所示。

由圖5(a)可知，當(dāng)沒(méi)有2階頻率約束時(shí)，結(jié)構(gòu)1、2階頻率在優(yōu)化迭代過(guò)程中較為接近，容易產(chǎn)生模態(tài)交換現(xiàn)象，無(wú)法得到理想的拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果。由圖5(b)可知，λ2≥bλ1導(dǎo)致2階頻率與1階頻率保持一定的距離。由圖5(c)可知，前2階頻率均滿足設(shè)計(jì)要求，說(shuō)明所提方法的有效性。

Case 2和Case 3下的拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果如表6所示。由表6可知，拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果均滿足設(shè)定的約束條件，拓?fù)鋬?yōu)化構(gòu)型略有區(qū)別。Case 3的約束條件比Case 2的約束條件更為苛刻，故而優(yōu)化結(jié)構(gòu)稍重。

圖4 平面結(jié)構(gòu)Fig.4 A plane structure

圖5 固有頻率迭代歷程Fig.5 Iteration history of natural frequency

表6 不同約束條件下的優(yōu)化結(jié)果Table 6 Optimal results for different constraints

5 結(jié) 論

1) 在結(jié)構(gòu)輕量化設(shè)計(jì)要求下，提出基于多相材料的動(dòng)態(tài)拓?fù)鋬?yōu)化的ICM方法。與目前的多相材料拓?fù)鋬?yōu)化方法不同，建立了指定固有特征值約束下的重量最小化優(yōu)化模型。遵循ICM建模方式，將結(jié)構(gòu)固有特征值和重量函數(shù)分別采用1階、2階泰勒展開(kāi)得到其近似表達(dá)式，從而將優(yōu)化模型轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)二次規(guī)劃形式，采用序列二次規(guī)劃法求解，方法穩(wěn)健高效。

2) 在相同的固有特征值約束條件下，多相材料拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)構(gòu)更輕。在動(dòng)態(tài)設(shè)計(jì)要求下，提出方法實(shí)現(xiàn)了各相材料的合理分配和結(jié)構(gòu)輕量化設(shè)計(jì)。

3) 根據(jù)優(yōu)化設(shè)計(jì)要求，優(yōu)化模型可拓展為多約束拓?fù)鋬?yōu)化模型并實(shí)現(xiàn)優(yōu)化求解，通過(guò)強(qiáng)迫相鄰頻率間距或增加高階頻率約束，能避免模態(tài)交換現(xiàn)象，并得到理想的拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果。

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Lightweightdesignmethodforcontinuumstructureundervibrationusingmultiphasematerials

LONGKai1,2，*,GUXianguang3,WANGXuan4

1.BeijingKeyLaboratoryofEnergySafetyandCleanUtilization,NorthChinaElectricPowerUniversity,Beijing102206,China2.StateKeyLaboratoryforAlternateElectricalPowerSystemwithRenewableEnergySources,NorthChinaElectricPowerUniversity,Beijing102206,China3.SchoolofAutomobileandTrafficEngineering,HefeiUniversityofTechnology,Hefei230009,China4.StateKeyLaboratoryofStructuralAnalysisforIndustrialEquipment,DalianUniversityofTechnology,Dalian116024,China

Toachievelightdesignofcontinuumstructurecontainingmultiphasematerials,atopologicaloptimizationmodelforweightminimizationwiththegiveneigenvalueconstraintisproposedusingtheindependentcontinuousmappingmethod.Twosetsofindependenttopologicalvariablesareemployedtointerpolatetheelementalstiffnessmatrix,themassmatrixandweight.Thesensitivityexpressionsfortheeigenvalueandtotalweightarederived.Theapproximationsoftheeigenvalueandtotalweightcanbeobtainedviathefirst-orderandsecond-orderTaylorexpansion.Thefilteringtechniqueforthefirsttermoftheconstraintfunctionisadoptedasasolutiontothepartialdifferentialequation.Thenumericalinstabilitiesincludingcheckerboardpatternsandmeshdependenceareremoved.Thefeasibilityandsuperiorityoftheproposedmethodarevalidatedbytwo-dimensionalnumericalexamples.Theresultsshowthattheweightoftheoptimalstructureconstructedbymultiphasematerialsislighterthanthatcomposedofconstituentphase.Themodeswitchcanbepreventedbyimposingtheconstraintonthegapoftheadjacentfrequencyoradditionalhighorderfrequencyconstraint.

topologyoptimization;independentcontinuousmappingmethod;continuumstructure;naturalfrequency;modeanalysis

2016-12-05；Revised2017-02-16；Accepted2017-04-25;Publishedonline2017-05-310942

URL：http://hkxb.buaa.edu.cn/CN/html/20171013.html

s：NationalNaturalScienceFoundationofChina(51405123);FundamentalResearchFundsfortheCentralUniversity(2017MS077)

.E-maillongkai1978@163.com

http://hkxb.buaa.edu.cnhkxb@buaa.edu.cn

10.7527/S1000-6893.2017.221022

V414.5；O343.1

A

1000-6893(2017)10-221022-10

2016-12-05；退修日期2017-02-16；錄用日期2017-04-25；< class="emphasis_bold">網(wǎng)絡(luò)出版時(shí)間

時(shí)間：2017-05-310942

http://hkxb.buaa.edu.cn/CN/html/20171013.html

國(guó)家自然科學(xué)基金(51405123)； 中央高校基本科研業(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金(2017MS077)

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.E-maillongkai1978@163.com

龍凱, 谷先廣, 王選. 基于多相材料的連續(xù)體結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)輕量化設(shè)計(jì)方法J. 航空學(xué)報(bào)，2017,38(10):221022.LONGK,GUXG,WANGX.LightweightdesignmethodforcontinuumstructureundervibrationusingmultiphasematerialsJ.ActaAeronau-ticaetAstronauticaSinica,2017,38(10):221022.

(責(zé)任編輯：徐曉)