趙賢覺 趙詩華

(1. 北京大學附屬中學,北京 100190; 2.中國礦業(yè)大學(北京)理學院,北京 100083)

對稱性和對稱性分析方法的應用

趙賢覺1趙詩華2

(1. 北京大學附屬中學,北京 100190; 2.中國礦業(yè)大學(北京)理學院,北京 100083)

本文通過典型例題討論了對稱性方法在問題求解中的應用,指出對稱性分析不僅可以提供解題思路并且還能夠簡化計算．

軸對稱;面對稱;球?qū)ΨQ;左右對稱

物理學有系統(tǒng)性、理論性、科學性的美,對稱性是科學性的美的重要體現(xiàn)．很多物理現(xiàn)象都蘊含了對稱性,如拋體運動、行星運動、簡諧振動、交變電流、圓周運動、熱機中活塞往復運動,等等．很多物理規(guī)律也體現(xiàn)了對稱性,如電能生磁、磁能生電、庫侖定律、開普勒三大定律、保守力做功、機械能守恒定律、能量守恒定律、動量守恒定律、電荷守恒定律、光的折射定律和反射定律等等[1,2]．

應用對稱性分析解決問題的能力隱含在物理高考要求考查的5種能力之中．有些問題的求解,對稱性可用可不用,但應用對稱性分析往往會簡潔;還有些問題,如果不用對稱性分析是難以解決的．有的問題并沒有明顯的對稱性,設(shè)法填補對稱性就能順利求解[1,2]．下文我們通過一些典型例題來說明對稱性分析的方法．

圖1

例1.(2013年安徽高考題)如圖1所示,xOy平面是無窮大導體的表面,該導體充滿z< 0的空間,z> 0的空間為真空．將電荷量為q的點電荷置于z軸上z=h處,則在xOy平面上會產(chǎn)生感應電荷．空間任意一點處的電場皆是由點電荷q和導體表面上的感應電荷共同激發(fā)的．已知靜電平衡時導體內(nèi)部場強處處為0,則在z軸上z=h/2處的場強大小為(k為靜電力常量)

圖2

解析:要求z=h/2點的場強,該場強是在點電荷q和導體表面感應電荷在該點產(chǎn)生的電場矢量和,但感應電荷分布未知,不能直接求其場強．然而稍加觀察可知,此問題具有兩種對稱性．因為點電荷q位于z軸,在xOy平面上的感應電荷必定對稱地分布于以原點為圓心的同心圓上,空間各點的電場也就關(guān)于z軸對稱分布,z軸上的電場只有z分量,這是第一種對稱性．第二種是面對稱,由于感應電荷分布于xOy平面上,因此感應電荷激發(fā)的電場必定關(guān)于xOy平面對稱,即在上半空間和下半空間對應點的感應電荷產(chǎn)生的電場大小相等方向相反．將上述對稱性和電場強度疊加原理結(jié)合起來,可以求解空間任意一點的電場,特別是應用到z=h/2的P點和z=-h/2的P′點就能夠得到本問題的解,如圖2所示．P′點處的電場是z=h處的點電荷q與感應電荷產(chǎn)生電場的矢量和,由于導體內(nèi)部場強處處為0,因此有

EqP′+EeP′=0.

(1)

其中下標q表示點電荷q的電場,下標e表示感應電荷的電場．點電荷q在該點的電場只有z分量,因此得到感應電荷在P′點的電場也只有z分量EeP′,由(1)式可得

(2)

又由于感應電荷的電場關(guān)于xOy平面對稱,我們有

(3)

于是可知在z=h/2的P點處的場強為

(4)

P點的電場只有z分量,計算結(jié)果的正負也就表明了電場強度的方向．當q> 0時,(4)式表明電場沿z軸負方向,大小為40kq/9h2,因此本題正確選項為(D)．應當指出,由于電荷量可正可負,而場強大小只能是非負的,因此只有在題目中加上q> 0的條件才嚴謹．

圖3

例2.用均勻電阻絲做成正方形網(wǎng)絡(luò)如圖3,由9個相同的小正方形組成．小正方形每邊電阻均為r=8Ω．(1)A、B兩點間接入電池,其電動勢E=5.7V,內(nèi)阻忽略,求流過電池的電流強度．(2) 若用導線連結(jié)C、D兩點,求通過此導線的電流．

解析:這是一道復雜電路問題,由對稱性分析可以簡化成簡單電路．將題圖旋轉(zhuǎn)45°,如圖4,電路關(guān)于ABCD上下對稱,因此FF′、HH′、GG′、OO′、PP′、QQ′為成對的等勢點,可將各對應等勢點短接,于是簡化為簡單電路如圖5所示．易知RAB=5.7Ω,故流過電池的電流為1A．若用導線連結(jié)C、D兩點,仍為簡單的串并聯(lián)電路,稍加計算可知流過導線CD的電流為0.267A．

圖4

圖5

例3.試求如圖6所示電路中A、B間的等效電容CAB．已知C1=C2=C3=C9=1μF,C4=C5=C6=C7=2μF,C8=C10=3μF．

圖6

圖7

解析:易見電路中除C2和C9外,其他電容器呈左右對稱分布．如果整個電路具有完全的左右對稱性就好了,因而很自然地希望采取措施補足對稱性．利用電容的串并聯(lián)不難實現(xiàn)這一想法．為此,將電容器C2視為兩個電容器C2′串聯(lián),C2′=2μF;將電容器C9視為兩個電容器C9′并聯(lián),C9′=0.5μF．于是原電路轉(zhuǎn)化為圖7形式,成為左右對稱電路．顯然電容器C9′不起作用,可以拿掉,從而成為簡單的電容器串并聯(lián)電路,問題也就迎刃而解．計算結(jié)果為

(5)

圖8

解析:所給帶電體差一點就具有球?qū)ΨQ性,和上一例題類似,在這種對稱性稍有欠缺而對稱方案又比較明顯的情況下,我們的思路就是設(shè)法補充對稱性．若將小球視為兩個帶相反電荷的均勻帶電球體,且其中一個的電荷密度正好等于原來帶電體的電荷密度,則問題轉(zhuǎn)化為均勻帶電的大球和小球在P點所產(chǎn)生的電場的疊加,于是可以利用球?qū)ΨQ電場分布的結(jié)論求解．大球的電荷密度ρ和原帶電體相等,為

(6)

小球電荷密度為-ρ,半徑為R/2,球心位于O′點,P點在大球和小球之外,因而P點的電場為電荷位于球心的兩個點電荷電場的疊加,于是可得

(7)

代入電荷密度ρ之后可得P點的電場強度大小為

圖9

(8)

例5.由如圖9所示的電路,其中E為內(nèi)阻可以忽略的電源的電動勢,R為電阻的阻值;S為開關(guān);A、B右邊是如圖所標的8個完全相同的容量均為C的理想電容器組成的電路,問從合上S到各電容器充電完畢,電阻R上發(fā)熱消耗的能量是多少?(在解題時,要求在圖上標出你所設(shè)定的各個電容器極板上電荷的正負)

解析:題中電容均相等,且電容器布置似乎呈現(xiàn)出某種對稱性,啟發(fā)我們發(fā)掘?qū)ΨQ性．因此首先將題圖畫成更為對稱的形式,如圖10所示．現(xiàn)在電路中的對稱性一目了然,D和D′點等電勢,故可將導線DD′去掉,于是簡化為電容串并聯(lián)電路,如圖11所示．根據(jù)電源的正負極的位置,從圖11即可直接讀出各個電容器極板的正負,這里為簡潔起見將其省略．由圖11可見,CAB為C、C/2、3C/8 3個電容并聯(lián),因此有

圖10

圖11

(9)

電源的充電荷量Q為

(10)

由此可得電源的總功W,減去電容器儲能WCAB之后即可求得電阻R上發(fā)熱消耗的能量WR為

(11)

順便指出,本題是第21屆全國中學生物理決賽試題,本文所用方法較常見解答方法大為簡化．標準答案所用方法相對較繁,此不贅述．

以上我們通過幾道典型例題來說明了對稱性方法在求解過程中的應用,涉及到了軸對稱性、面對稱性、球?qū)ΨQ性以及左右對稱性．由例題可見,對稱性分析不僅能夠厘清解題思路,往往還能夠極大地簡化計算．

1 趙凱華.定性與半定量物理學力學[M].北京:高等教育出版社,1991.

2 舒幼生,鐘小平,沈中鋒等.高中物理競賽培優(yōu)教程[M].杭州:浙江大學出版社,2012.

本論文受中國礦業(yè)大學(北京)“數(shù)理方程”探究教學項目資助.

2017-05-30)