宋輝武 劉 博

(1. 鄂爾多斯市第一中學(xué),內(nèi)蒙古 鄂爾多斯 017010； 2. 長春師范大學(xué)物理學(xué)院，吉林 長春 130032)

·復(fù)習(xí)與考試·

作圖法巧解鏡像電荷與零勢(shì)能面
——兼談圓的對(duì)稱點(diǎn)在鏡像法中的應(yīng)用

宋輝武1劉 博2

(1. 鄂爾多斯市第一中學(xué),內(nèi)蒙古 鄂爾多斯 017010； 2. 長春師范大學(xué)物理學(xué)院，吉林 長春 130032)

結(jié)合數(shù)學(xué)上關(guān)于圓的對(duì)稱點(diǎn)的概念,利用幾何作圖的方式處理了和鏡像法有關(guān)的典型的電學(xué)問題——接地導(dǎo)體球問題,第一,簡(jiǎn)潔準(zhǔn)確地找到像電荷的位置,并計(jì)算其電荷量;第二,作出了兩個(gè)不等量異號(hào)點(diǎn)電荷的零勢(shì)面．

對(duì)稱點(diǎn); 作圖; 像電荷; 零勢(shì)面; 阿波羅尼斯圓

1 確定像電荷的位置和電荷量

鏡像法,顧名思議就是鏡子加上像的思想方法,眾所周知,最簡(jiǎn)單也最典型的模型就是接地?zé)o限大平面導(dǎo)體板附近若有一個(gè)點(diǎn)電荷,則導(dǎo)體表面為零勢(shì)面,這個(gè)零勢(shì)面即相當(dāng)于一個(gè)“鏡子”,而關(guān)于這個(gè)鏡子對(duì)稱的地方便可以等效出一個(gè)像電荷,此種情況下像電荷到鏡子的距離等于點(diǎn)電荷到鏡子的距離,像電荷的電荷量與點(diǎn)電荷的電荷量等大且電性相反,可以看出像電荷和這個(gè)點(diǎn)電荷是關(guān)于鏡子對(duì)稱的,這是一類問題,常見的另一個(gè)典型的問題就是接地導(dǎo)體球的像電荷問題,如下所示.

圖1

例1.如圖1所示,真空中有一半徑為R0的接地導(dǎo)體球,距球心為a(a>R0)處有一點(diǎn)電荷Q(正電荷),求空間各點(diǎn)的電勢(shì)．

解析:此題是郭碩鴻教授主編的《電動(dòng)力學(xué)》54頁選取的一個(gè)問題,用于講解鏡像法,鏡像法即用一個(gè)假想電荷Q′來代替球面上的感應(yīng)電荷,最后把問題變?yōu)榍蠼鈨蓚€(gè)點(diǎn)電荷在空間各點(diǎn)產(chǎn)生的電勢(shì),對(duì)于這個(gè)問題,關(guān)鍵是如何找到像電荷的位置和像電荷的電荷量．郭教授給出的參考答案如下:

如圖1所示,假設(shè)可以用球內(nèi)一個(gè)假想點(diǎn)電荷Q′來代替球面上感應(yīng)電荷對(duì)空間電場(chǎng)的作用,由對(duì)稱性,Q′應(yīng)在OQ連線上,關(guān)鍵是能否選擇Q′的大小和位置使得球面上φ=0的條件得到滿足?

考慮球面上任一點(diǎn)M,邊界條件要求:

式中r為Q到M的距離,r′為Q′到M的距離,因此對(duì)球面上任一點(diǎn),應(yīng)有

由圖1可以看出,只要選Q′的位置使△OQ′M∽△OMQ,即

探究:實(shí)際上如果我們懂得了鏡像法的內(nèi)涵,根本不用進(jìn)行復(fù)雜的計(jì)算即可得出像電荷的位置和電荷量．

圖2

下面筆者再介紹一種更簡(jiǎn)便的方法準(zhǔn)確地找到像電荷的位置,那就是作圖法,為了得出更加具有普遍意義的方法,我們考慮一種比較復(fù)雜的情況．假設(shè)現(xiàn)在有兩個(gè)球形的零勢(shì)面,即兩個(gè)球形的鏡子,如何找到兩個(gè)同時(shí)關(guān)于這兩個(gè)鏡子對(duì)稱的點(diǎn)呢?如圖2所示,圓O1和圓O2的半徑分別為R1和R2,圓心在同一條直線上,并且兩個(gè)圓心之間的距離為L,下面我們通過作圖的方式找到同時(shí)關(guān)于這兩個(gè)圓對(duì)稱的兩點(diǎn),首先過圓O1和圓O2的切線交兩個(gè)圓于點(diǎn)A、B,以|AB|長為直徑作一個(gè)圓O,與直線|O1O2|交于點(diǎn)M、N,則M、N兩點(diǎn)既關(guān)于圓O1對(duì)稱,又關(guān)于圓O2對(duì)稱,證明如下:

圖中∠O1AB=∠O2BA=∠AMB=∠ANB=90°,

又∠AMO1+∠BMO2=∠O1AN+∠BAN=90°,

根據(jù)同弦所對(duì)的圓周角相等,可知∠BMO2=∠BAN,

因此∠AMO1=∠O1AN,

因此△O1MA∽△O1AN,即可得R12=|O1M|·|O1N|,

所以M、N兩點(diǎn)關(guān)于圓O1對(duì)稱;

同理可得R22=|O2N|·|O2M|,

所以M、N兩點(diǎn)也關(guān)于圓O2對(duì)稱．

圖3

下面我們?cè)倩剡^頭來看例1就會(huì)感覺容易很多,此時(shí)我們可以將上述的圓O2進(jìn)行無限壓縮,最后縮小成一個(gè)點(diǎn)Q,即變?yōu)槔?的模型,如圖3所示,首先我們過點(diǎn)電荷Q作圓O的切線QA交圓O于點(diǎn)A,再以|OA|長為直徑作圓O′,與線段OQ交于點(diǎn)Q′,這樣一來我們便輕輕松松地找到了像電荷Q′的位置,并且此時(shí)滿足∠OAQ=∠AQ′Q=90°,直角三角形中的射影定理在這里即表示為R02=|OQ′|·|OQ|=b·a．

必須強(qiáng)調(diào)的是,對(duì)于圖2的問題來說,既然我們已經(jīng)說M、N是同時(shí)關(guān)于這兩個(gè)圓對(duì)稱的兩點(diǎn),那么是否意味著在M、N兩點(diǎn)的電荷Q、Q′能同時(shí)滿足圓O1和圓O2是兩個(gè)不同的零勢(shì)面?答案是否定的,下面來看證明,

為了方便,我們?cè)O(shè)|O1M|=b,|O2N|=c,則|O1N|=L-c,|O2M|=L-b,

考慮M、N兩點(diǎn)關(guān)于圓O1對(duì)稱,則應(yīng)該有

(1)

考慮M、N兩點(diǎn)關(guān)于圓O2對(duì)稱,則應(yīng)該有

(2)

(1)(2)兩式相乘,可得

R1·R2=(L-c)(L-b),

(3)

而實(shí)際上根據(jù)對(duì)稱性,滿足的是以下方程:

R12=b·(L-c),

(4)

R22=c·(L-b),

(5)

若(3)～(5)3個(gè)方程同時(shí)成立,則應(yīng)該滿足L=b+c,顯然此時(shí)M、N兩點(diǎn)將重合為一點(diǎn),因此這是不可能的．也就是說如果有兩個(gè)點(diǎn)電荷,那么它們的零勢(shì)面只能是唯一的,這一點(diǎn)我們通過下面例2的討論也將再一次得到證實(shí)．

2 確定兩個(gè)不等量異號(hào)點(diǎn)電荷的零勢(shì)能面

上面講述的問題是已知零勢(shì)面即已知鏡子,然后尋找像電荷,下面我們來看一下相反的過程,即已知兩個(gè)點(diǎn)電荷尋找零勢(shì)面．

圖4

例2.如圖4所示,兩個(gè)不等量異號(hào)點(diǎn)電荷-q和Q,相距為d,其中q

3 總結(jié)

“鏡像法”是大學(xué)物理的必修內(nèi)容,如果我們能夠以數(shù)學(xué)理論為依據(jù),結(jié)合幾何作圖的方式簡(jiǎn)單易懂地處理掉這些問題,相信會(huì)激起學(xué)生的研究熱情,學(xué)生會(huì)好奇“為什么可以這樣作圖呢?這其中難道有什么更深層次的物理意義?”圖文并茂始終是我們理科學(xué)習(xí)的一個(gè)重要手段,在強(qiáng)調(diào)培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的時(shí)代背景下,教師如果能夠提出一些具有啟發(fā)探究意義的物理問題作為課堂引入,相信會(huì)有利于引導(dǎo)學(xué)生的深入學(xué)習(xí)．利用作圖的方法解決物理問題實(shí)際上有很多形式,筆者撰寫此文,旨在拋磚引玉．

1 郭碩鴻.電動(dòng)力學(xué)[M].北京:高等教育出版社,2008.6.

2 鄭金.利用阿氏圓巧解物理題[J].物理教師,2017(4)： 64-66.

本文獲吉林省教育學(xué)會(huì)“十三五”教育科學(xué)課題“高中物理與其他學(xué)科進(jìn)行交叉教學(xué)的研究”(課題編號(hào):13513148B)資助.

2017-05-12)