丁洲祥

?(北京交通大學(xué)土木建筑工程學(xué)院，北京100044)

?(陜西省公路橋梁與隧道重點(diǎn)試驗(yàn)室，西安710064)

一維滲透力與浮力1)

丁洲祥?,?,2)

?(北京交通大學(xué)土木建筑工程學(xué)院，北京100044)

?(陜西省公路橋梁與隧道重點(diǎn)試驗(yàn)室，西安710064)

為簡(jiǎn)化分析，針對(duì)一維滲流問題，研究提出了土力學(xué)中滲透力和浮力的兩種推導(dǎo)方法，作為傳統(tǒng)的宏觀尺度孔隙水隔離體法的有益補(bǔ)充.彈性力學(xué)平衡微分方程、土力學(xué)Terzaghi有效應(yīng)力方程和流體力學(xué)簡(jiǎn)化Bernoulli方程構(gòu)成本文分析滲透力和浮力的3個(gè)基本方程.在基本方程基礎(chǔ)上，容易推導(dǎo)出相應(yīng)的骨架和孔隙水兩種隔離體的平衡微分方程，從而在靜力平衡范疇內(nèi)揭示滲透力和浮力的內(nèi)涵.單位體積飽和土體的滲透力，源于總水頭壓力的梯度，而浮力則源于位置水頭壓力在豎向的梯度，這兩者統(tǒng)一于骨架或孔隙水的平衡微分方程.實(shí)際工程關(guān)注的有效應(yīng)力計(jì)算問題，一般可以直接應(yīng)用3個(gè)基本方程來確定；只有在簡(jiǎn)化條件下可按滲透力和浮力計(jì)算土體中有效應(yīng)力分布規(guī)律.還討論了若干研究熱點(diǎn)問題，重點(diǎn)探討了當(dāng)前一種滲透力新定義j=nγwi在形式上的合理性以及在實(shí)際應(yīng)用中可能存在的風(fēng)險(xiǎn)，并驗(yàn)證了一維滲透力的一種經(jīng)典精細(xì)化表述結(jié)果中考慮滲流速度時(shí)間導(dǎo)數(shù)的嚴(yán)謹(jǐn)性.在土力學(xué)滲透力和浮力問題研究中應(yīng)重視和正確應(yīng)用Terzaghi有效應(yīng)力方程.

滲透力，浮力，有效應(yīng)力原理，孔隙水壓力，平衡微分方程

引言

經(jīng)典土力學(xué)[13]中滲透力和浮力的概念并不簡(jiǎn)單,尤其是前者.過去一年多來，文獻(xiàn)[4-7]從機(jī)理和公式推導(dǎo)等角度對(duì)這些既有概念加以研究，但尚無終論，如蔣中明等[6]認(rèn)為“滲透力概念定義的不統(tǒng)一性以及推導(dǎo)過程的多樣性、復(fù)雜性，是導(dǎo)致人們對(duì)滲透力的理解和應(yīng)用產(chǎn)生誤解的根源”.滲透力和浮力概念再度成為研究熱點(diǎn)，這并非人們有意將簡(jiǎn)單問題復(fù)雜化，而是因?yàn)榇罅康募扔邢嚓P(guān)認(rèn)識(shí)仍有不足乃至相互矛盾之處.這輪研究和反思的一個(gè)主要特點(diǎn)是，注重研究方法的一般性、系統(tǒng)性和推導(dǎo)過程的嚴(yán)謹(jǐn)性.自2013年來，筆者對(duì)滲透力和浮力概念格外加以關(guān)注，并做了一些探討性研究工作；現(xiàn)在意識(shí)到，可能存在一種觀點(diǎn)——有時(shí)在某種意義上，土力學(xué)應(yīng)用中使用的滲透力和浮力概念既不宜絕對(duì)肯定地當(dāng)成唯一正確的方法，也不宜無視其合理性及意義.

見仁見智的學(xué)術(shù)研究，一般強(qiáng)調(diào)言貴有據(jù).傳統(tǒng)孔隙水隔離體法[19]將孔隙水假想地從土水整體中隔離開來，然后考慮浮力和滲透力兩者的反力，據(jù)此分析孔隙水隔離體平衡條件，其中滲透力和浮力貌似不可或缺，容易被絕對(duì)肯定化.此外，滲透力和浮力概念在傳統(tǒng)土力學(xué)中沿用多年，在評(píng)價(jià)滲透破壞等方面也有相關(guān)應(yīng)用，這進(jìn)一步強(qiáng)化了上述看法.然而，歷史上也不乏相反的學(xué)術(shù)觀點(diǎn)，對(duì)滲透力和浮力的研究意義基本上持否定的態(tài)度.

目前少有文獻(xiàn)辯證地分析滲透力和浮力的上述絕對(duì)肯定與否定的觀點(diǎn)，這就需要我們謹(jǐn)慎地求證開展辯證分析的力學(xué)依據(jù).這樣做的意義是，從新視角探求滲透力和浮力含義與適用條件的同時(shí)，也發(fā)現(xiàn)了推導(dǎo)土力學(xué)滲透力的一種新方法，該方法有別于目前仍占主流的孔隙水隔離體法.為避免將問題復(fù)雜化，本文僅針對(duì)一維問題進(jìn)行分析：首先，提出滲透力和浮力的3個(gè)基本方程；然后，導(dǎo)出骨架和孔隙水兩種隔離體平衡微分方程；其次，面向應(yīng)用討論有效應(yīng)力計(jì)算中的等價(jià)性問題；最后，就同行最新研究成果進(jìn)行了對(duì)比探討.所得結(jié)論有助于深化對(duì)滲透力和浮力概念的認(rèn)識(shí).

1 一維模型和3個(gè)基本方程

飽和土體一維滲流模型如圖 1所示.其中，Z坐標(biāo)軸向上為正，坐標(biāo)原點(diǎn)位于同質(zhì)土層的底面z=0；土層厚度為H；土層底面、頂面和坐標(biāo)z的水頭分別為 h(0)、h(H)和 h(z).在圖示條件下，h(0)＞h(H)，故滲流方向豎直向上，但模型也適用于h(0)≤h(H)的情況.坐標(biāo)增量(z,z+dz)微元段dz內(nèi)土體受力情況:上下端面對(duì)應(yīng)應(yīng)力增量(σ,σ+dσ)，體力為fzdz.

圖1 滲透力和浮力的一維飽和土模型Fig.1 One-dimensional saturated soil model for seepage force and buoyance

1.1 總應(yīng)力平衡微分方程

在土水整體總應(yīng)力平衡微分方程方面，土力學(xué)和彈性力學(xué)是相通的——如果將土體固相在空間占據(jù)的區(qū)域明確定義為土體連續(xù)介質(zhì)構(gòu)形[10].這樣可沿用彈性力學(xué)中一維靜力平衡微分方程[11]

式中，σ是飽和土體總應(yīng)力；fz是單位體積土體的體力，fz=?γsat；σ，fz均服從彈性力學(xué)符號(hào)約定.

1.2 Terzaghi有效應(yīng)力方程

在固液兩相應(yīng)力分配關(guān)系上，土力學(xué)很有特色.經(jīng)典土力學(xué)經(jīng)常采用Terzaghi有效應(yīng)力方程[3]

式中，σ′是土體有效應(yīng)力；u孔隙水壓力；σ,σ′和u按土力學(xué)習(xí)慣，常以受壓為正.

1.3 孔隙水壓力方程

在考慮滲流勢(shì)能時(shí)，土力學(xué)借鑒了流體力學(xué)的部分經(jīng)典成果.當(dāng)忽略速度水頭時(shí)，流體力學(xué)Bernoulli方程[12]更加簡(jiǎn)化，由此可得到

式中，h=h(z)是總水頭；z是土中考察點(diǎn)的位置，z=0是零勢(shì)參考面；γw是孔隙水單位體積的重度.

本文認(rèn)為，上述3個(gè)基本方程是研究傳統(tǒng)滲透力和浮力的聯(lián)合控制方程.

2 骨架平衡微分方程與滲透力和浮力

2.1 骨架平衡微分方程與浮力

將式(2)和式(3)代入式(1)的過程中，注意應(yīng)力符號(hào)約定的學(xué)科差異，不妨以壓為正，則

式中，等號(hào)左端第3項(xiàng)γw其實(shí)就是單位體積飽和土體受到的浮力，它源于位置水頭壓力在豎向的梯度，在本文中以沿坐標(biāo)軸正向?yàn)檎?如果只看其模，就是俗稱的孔隙水重度)，而左端第2項(xiàng)則表示滲流的影響.

具體分析還涉及土力學(xué)中兩個(gè)相關(guān)概念.

概念1：有1種水力梯度定義

在數(shù)學(xué)上表示總水頭h的梯度對(duì)應(yīng)的負(fù)矢量，反映驅(qū)動(dòng)孔隙水滲流的一種作用.

概念2：根據(jù)三相關(guān)系，飽和土體有效重度或浮重度(e ff ective or buoyant unit weight)[13]

按上述兩概念，改寫式(4)，得到式(1)的等價(jià)形式

式中，若γwi和?γ′數(shù)值為正,則表示沿坐標(biāo)軸正向.

可見，單位體積的浮力與總體力 fz都是矢量，兩者合并成單位體積有效體力，記.也就是說，飽和土的浮力被整合到有效體力或通常的浮重度概念中，這較易理解.

2.2 骨架平衡微分方程與滲透力

接下來的問題是：滲透力在哪里？

需要先回到土力學(xué)界對(duì)滲透力的常規(guī)理解.不妨以國(guó)外近期和較早的著作為例.Das[14]認(rèn)為：“Flow ofwaterthroughasoilmassresultsinsomeforcebeingexerted on the soil itself”.Budhu[13]認(rèn)為：“As water fl ows through soil,it exerts a frictional drag on the soil particles,resulting in head losses.The frictional drag is called seepage force in soil mechanics”.Lambe 等[15]認(rèn)為：“The seepage force is applied by the moving water to the soil skeleton through frictional drag”.可見，滲透力定義至少有兩個(gè)要求：孔隙水滲流；對(duì)土體或骨架能產(chǎn)生某種作用.

分析式(7)可知，該式左端第2項(xiàng)，剛好能滿足這兩個(gè)條件，所以有理由將其定義為一種滲透力

它反映了滲流場(chǎng)對(duì)有效應(yīng)力場(chǎng)的耦合作用.

事實(shí)上，式(8)就是傳統(tǒng)土力學(xué)最常見的滲透力表述或推導(dǎo)結(jié)果.本文從骨架受力平衡角度，提供了考察滲透力和浮力的不同于傳統(tǒng)孔隙水隔離體法的新視角，也可作為推導(dǎo)滲透力方法的新補(bǔ)充.這種方法不失簡(jiǎn)潔和意義深刻.

利用式(8)，可使式(7)的數(shù)學(xué)表述更簡(jiǎn)潔

式中，單位體積土體浮力γw與飽和體力 fz合并成?γ′，即

若土體孔隙中無水，則有 j= 0，γw= 0，γsat= γ′= γd(干重度)，此時(shí)式 (9)退化為彈性力學(xué)一維平衡微分方程 (按彈力符號(hào)約定)式 (1)，即?σ/?z+fz=0，此時(shí) σ = σ′，fz= ?γd，這表示干土的靜力平衡.

3 孔隙水平衡微分方程與滲透力和浮力

3.1 孔隙水平衡微分方程與浮力

經(jīng)典土力學(xué)中的孔隙水隔離體法[19]主要是借助一定宏觀尺寸的力學(xué)模型進(jìn)行分析，而很少采用連續(xù)介質(zhì)力學(xué)中局部化形式的平衡微分方程法.

采用土力學(xué)應(yīng)力符號(hào)約定，總應(yīng)力平衡微分方程式(1)改寫為

將總應(yīng)力平衡微分方程(10)減去骨架平衡微分方程式(9)，得到

將有效應(yīng)力方程式(2)代入式(11)，得到

等價(jià)簡(jiǎn)化式(12)，得到孔隙水平衡微分方程為

式中，等號(hào)左端第3項(xiàng)和第2項(xiàng)分別表示土體受到的浮力反力以及滲透力反力作用.?γw和?j的數(shù)值為負(fù)值，表示反力方向沿坐標(biāo)軸負(fù)向.

當(dāng)土體中無滲流時(shí)，孔隙水成為靜水，一般應(yīng)有j=0.此時(shí)，式(13)就簡(jiǎn)化為流體力學(xué)中一維的歐拉方程，即均勻重力場(chǎng)中靜止流體的一維平衡方程.

若在一維歐拉方程中進(jìn)一步忽略浮力即不計(jì)重力場(chǎng)對(duì)孔隙水的作用，則式(13)退化為?u/?z=0，此時(shí)孔隙水壓力u等于與坐標(biāo)無關(guān)的某個(gè)常數(shù).這意味著孔壓在流體中每一點(diǎn)都相同；對(duì)于密閉流體而言，此即帕斯卡的靜壓傳遞原理.

3.2 孔隙水平衡微分方程與滲透力

現(xiàn)假定滲透力 j未知，則根據(jù)孔隙水平衡方程式(13)，可推導(dǎo)出 j的具體表達(dá)式

再依據(jù)孔隙水壓力方程式(3)，得到滲透力為

若同樣采用式(5)的水力梯度定義，則式(15)就完全等價(jià)于式(8)，即 j=γwi.

這樣就按主流的孔隙水隔離體法思想實(shí)現(xiàn)了對(duì)滲透力的新推導(dǎo).

重點(diǎn)分析以下3點(diǎn)：(1)結(jié)果對(duì)比表明，無論采用骨架平衡式(7)還是孔隙水平衡方程式(13)，都可以非常一致地推出滲透力 j的表達(dá)式(8)；而傳統(tǒng)土力學(xué)研究中通常忽略了基于骨架平衡的分析方法，這似乎是不夠理性和全面的.(2)對(duì)比式(13)與式(9)，在骨架和孔隙水隔離體平衡微分方程中，浮力γw和滲透力 j前面的符號(hào)是相反的：這是相間的作用力和反作用力屬性的體現(xiàn).(3)如果將式(9)和式(13)兩端相加，則得到兩相整體總應(yīng)力平衡方程式(10)或式(1)(按彈力應(yīng)力符號(hào)約定)——兩式中均不出現(xiàn)滲透力和浮力，因?yàn)閮烧叨际枪桃簝上嚅g成對(duì)出現(xiàn)的內(nèi)部作用力.按經(jīng)典力學(xué)觀點(diǎn)，如果對(duì)系統(tǒng)中所有質(zhì)點(diǎn)受到的力求和，則內(nèi)力將相互抵消而僅存外力.對(duì)本文的土水整體，外力只包含重力，因而在兩相整體平衡方程中外力僅有飽和體力fz(fz=?γsat).

4 應(yīng)用中的數(shù)學(xué)等價(jià)性

在實(shí)際應(yīng)用中，滲透力和浮力對(duì)骨架或固相的作用主要體現(xiàn)在對(duì)有效應(yīng)力的影響方面.現(xiàn)針對(duì)一維有效應(yīng)力計(jì)算，采用3種不同算法，簡(jiǎn)要對(duì)比分析在采用/棄用滲透力與浮力概念情況下的計(jì)算結(jié)果.

4.1 基于滲透力和浮力的有效應(yīng)力算法

當(dāng)滲透力 j和浮重力γ′為常數(shù)時(shí)，式(9)的不定積分結(jié)果為

式中，C是積分常數(shù)，取決于地表載荷條件.如果設(shè)地表 z=H為排水邊界、地表邊界處有效應(yīng)力σ′(H)=q以及孔壓為u(H)=uH，則式(9)的定積分結(jié)果即有效應(yīng)力分布為

有些土力學(xué)著作[16]給出的不同方向滲流作用下有效應(yīng)力的計(jì)算公式，其實(shí)都可以統(tǒng)一成式(17).

然而，當(dāng)滲透力 j隨坐標(biāo)z變化，式(16)和式(17)將不再適用.這體現(xiàn)了傳統(tǒng)滲透力和浮力算法的適用范圍.

4.2 基于總水頭和浮力的有效應(yīng)力算法

考慮 j為變數(shù)而γ′仍為常數(shù)的情況，此時(shí)無法直接對(duì)j按常量積分，但可根據(jù)式(4)求出被積函數(shù)?σ′/?z的不定積分

式中，D是積分常數(shù)，依賴于地表載荷情況.引入上述邊界條件后的定積分結(jié)果為

有效應(yīng)力分布式(18)和式(19)具有更普遍的意義.當(dāng)滲透力j為常數(shù)時(shí)，兩者分別能夠退化為基于j的有效應(yīng)力函數(shù)式(16)和式(17).此時(shí)兩種算法在數(shù)學(xué)上是等價(jià)變換.然而，式(18)和式(19)根本不涉及滲透力，而主要取決于總水頭函數(shù)h(z)和有效體力 ?γ′.

這初步表明，在進(jìn)行有效應(yīng)力計(jì)算時(shí)，滲透力并非不可或缺的中間量；個(gè)別情況下，滲透力算法的式(16)和式(17)反而會(huì)縮小問題的求解范圍.

4.3 基于3個(gè)基本方程直接積分的有效應(yīng)力算法

對(duì)同一定解問題和邊界條件，此處按式(1)～式(3)進(jìn)行求解，而不用從滲透力和浮力概念出發(fā).

對(duì)總應(yīng)力平衡方程式(1)進(jìn)行不定積分，并按土力學(xué)應(yīng)力習(xí)慣用法有

式中，E為積分常數(shù).引入同樣的邊界條件，得到總應(yīng)力的定積分

根據(jù)有效應(yīng)力方程式(2)，得到有效應(yīng)力

將式(21)和孔壓方程式(3)代入式(22)，同樣能得到有效應(yīng)力沿埋深的分布函數(shù)σ′(z).該結(jié)果與式(19)完全相同(具體過程從略).

鑒于上述論證，不妨據(jù)此推論：作為控制土體強(qiáng)度和變形的有效應(yīng)力，其實(shí)不必根據(jù)額外考慮滲透力和浮力的特殊方程來推導(dǎo).

然而，滲透力和浮力在理論與工程中畢竟得到了一定的普及和應(yīng)用.在實(shí)際應(yīng)用中，偏執(zhí)于對(duì)滲透力和浮力概念絕對(duì)肯定或否定的任一極端觀點(diǎn)可能都未必明智.應(yīng)意識(shí)到使用滲透力和浮力尤其是前者必然帶來的局限性.

5 討論

5.1 傳統(tǒng)土力學(xué)對(duì)滲透力的機(jī)理解釋準(zhǔn)確嗎？

李廣信[4]認(rèn)為滲透力是滲透水流對(duì)土骨架中的顆粒的推動(dòng)力和拖曳力，并從土顆粒某種受力分析出發(fā)，推導(dǎo)出滲透力的計(jì)算公式，即本文式(8).錢家歡等[8]僅將滲透水流施于單位土體內(nèi)土粒上的拖曳力稱為滲透力，這與Lambe等[15]的觀點(diǎn)基本一致，同樣得到本文式(8).

對(duì)機(jī)理的深入研究是有益的，但基于不同機(jī)理解釋得到同樣的滲透力表達(dá)結(jié)果，卻很難理解：如果滲透力結(jié)果與機(jī)理解釋的差別無關(guān)，那么已有的某些機(jī)理解釋是否準(zhǔn)確和合理？值得思考.

5.2 傳統(tǒng)土力學(xué)的滲透力需要修正嗎？

2004年，Li和Ming[17]提出滲透力的另一不同表達(dá)

式中，n是土體孔隙率.

2014年，邵龍?zhí)兜萚7]也提出了與式(23)基本一樣的研究結(jié)果，并給出了更詳細(xì)的論證過程，認(rèn)為傳統(tǒng)土力學(xué)得到的滲透力式(8)是錯(cuò)誤的，需要按式(23)進(jìn)行修正.2016年，李廣信在滲透力有關(guān)的文章[4]和著作中均沒有提到和評(píng)價(jià)文獻(xiàn)[7,17]的這些不同觀點(diǎn)與建議.

因此，傳統(tǒng)土力學(xué)中滲透力式(8)是否需要修正，如果需要修正，又該如何完善？

5.3 既有推導(dǎo)方法充分利用有效應(yīng)力方程了嗎？

2015年，陳愈炯[18]報(bào)道了自 1954年以來，Terzaghi有效應(yīng)力原理在我國(guó)的應(yīng)用歷史和部分實(shí)例，并“鼓勵(lì)同仁們重視該原理的應(yīng)用，在應(yīng)用過程中提高自己的洞察力和處理工程問題的能力，從而取得意想不到的好效果”.

縱觀國(guó)內(nèi)外主要的土力學(xué)著作，筆者尚未發(fā)現(xiàn)有明確利用Terzaghi有效應(yīng)力原理或方程來完整推導(dǎo)滲透力的相關(guān)論述.在論文中，蔣中明等[6]使用Terzaghi有效應(yīng)力方程，按張量方法進(jìn)行了多維滲透力推導(dǎo)，但未就最終結(jié)果進(jìn)行深入討論.

本文將Terzaghi有效應(yīng)力方程作為基本方程之一進(jìn)行滲透力的推導(dǎo)，是應(yīng)用有效應(yīng)力原理或方程的有益嘗試.使人“意想不到”的是，本文方法有助于避開滲透力具體物理意義或機(jī)理解釋方面的矛盾和爭(zhēng)議，將傳統(tǒng)土力學(xué)滲透力的本質(zhì)闡釋主要?dú)w于Terzaghi有效應(yīng)力原理與方程內(nèi)在的基礎(chǔ)理論前提.

有趣的是，1996年，Terzaghi等[19]認(rèn)為，“although no theoretical basis for Eq.15.2(即本文式(2).——筆者注)has been found,its empirical basis is so well established that a quantitative knowledge for the interparticle reactions is not needed”.按該觀點(diǎn)，理論基礎(chǔ)的缺失并不影響Terzaghi有效應(yīng)力方程的實(shí)用性，因?yàn)榻?jīng)驗(yàn)性基礎(chǔ)可以取代對(duì)粒間反力的定量知識(shí).在該意義上，傳統(tǒng)滲透力式(8)也應(yīng)視為經(jīng)驗(yàn)性的Terzaghi有效應(yīng)力方程聯(lián)合其他基本方程的一個(gè)具體應(yīng)用.

以下對(duì)比蔣中明等[6]對(duì)有效應(yīng)力方程的應(yīng)用情況.按其推導(dǎo)思想，在總應(yīng)力平衡方程中，利用σ=σ+χu?χu(χ為任一實(shí)數(shù))數(shù)學(xué)恒等式以及飽和土物理指標(biāo)關(guān)系：γsat= γd+nγw(γd是土體干重度)，同時(shí)考慮本文其他兩個(gè)基本方程，可以推導(dǎo)出以下一維平衡微分方程

當(dāng)χ=n時(shí)，式(24)退化為

式(25)對(duì)應(yīng)于文獻(xiàn)[6]在豎直方向滲流的一維結(jié)果(符號(hào)約定稍有不同).式(25)等號(hào)左端第4項(xiàng)就是式(23)給出的滲透力新定義形式.但這是滲透力嗎？

按文獻(xiàn)[6]，式(25)左端第3項(xiàng)被“規(guī)定定義”為浮力，理由是“重力方向的壓力差或壓力梯度就是浮力”；第4項(xiàng)nγwi被規(guī)定定義為“代表拖曳力”；而滲透力被詮釋為由式(25)等號(hào)左端最后兩項(xiàng)共同構(gòu)成，容易得到，式(25)左端最后兩項(xiàng)的和

顯然，式(26)的結(jié)果并不僅受滲流的影響，將“浮力”與“拖曳力”之和定義為“滲透力”值得商榷.

此外，文獻(xiàn)[6]的“浮力”定義對(duì)于靜水壓力狀態(tài)才成立；因?yàn)榇藭r(shí)重力勢(shì)和孔壓勢(shì)梯度之和為零，所以也可以用重力勢(shì)梯度來表述.但對(duì)于一般的滲流狀態(tài)，將總孔壓梯度作為浮力是不合適的，因?yàn)榇藭r(shí)?u/?z受滲流影響是變數(shù).這意味著單位體積的“浮力”不是常數(shù).所以，這種分析方法似乎沒有充分闡明和區(qū)分浮力和滲透力的準(zhǔn)確內(nèi)涵，也不能作為式(23)具有合理性的證明.

如果將變換后平衡方程中出現(xiàn)的任一γwi有關(guān)項(xiàng)，都稱為滲透力，如式(24)中的χγwi，似乎也是不合適的，因?yàn)棣质侨我粚?shí)數(shù).在骨架平衡方程中，當(dāng)且僅當(dāng)γwi有關(guān)項(xiàng)全部反映滲流的影響時(shí)，將其歸為滲透力才是合理的.而骨架平衡方程式(24)和(25)中?u/?z其實(shí)仍然與滲流相關(guān).

容易看出，式(25)與式(9)或式(7)實(shí)際上完全等價(jià)，而且都采用了Terzaghi有效應(yīng)力方程.

5.4 滲透力新定義式(23)還有其他解讀方法嗎？

這里將詳細(xì)論述一種證明式(23)的可能方法.

前述3個(gè)基本方程中，用Biot有效應(yīng)力方程[20]

替代Terzaghi有效應(yīng)力方程式(2)，按同樣思路和推導(dǎo)即分別得到骨架和孔隙水平衡方程的另一形式

當(dāng)孔隙率n隨埋深不變或其梯度為零時(shí)，式(28)和式(29)分別簡(jiǎn)化為

對(duì)比式(30)與骨架平衡微分方程式(9)可知，只有式(30)等號(hào)左端第2項(xiàng)與滲流有關(guān).所以，形式上nγwi也同樣符合滲透力定義的兩種條件，即式(23)可稱為一種滲透力，這在形式上可以得到論證.

盡管文獻(xiàn)[7,17]并沒有闡明采用Biot有效應(yīng)力方程式(27)，但根據(jù)上述分析，異于傳統(tǒng)的滲透力式(23)隱含了Biot有效應(yīng)力方程，而其他有效應(yīng)力方程無法在形式上得到式(23)的結(jié)果.

5.5 滲透力新定義式(23)的應(yīng)用會(huì)帶來哪些變化？

滲透力的傳統(tǒng)表述式(8)與新定義式(23)明顯不同.新滲透力式(23)若要得到巖土工程界的普遍接受，除了最終需要工程實(shí)踐檢驗(yàn)之外，還應(yīng)事先在理論上體現(xiàn)其不同以往的特點(diǎn)或優(yōu)點(diǎn).

因此就有必要對(duì)本文基本方程之一的有效應(yīng)力方程加以討論.如前所述，兩種滲透力結(jié)果差異的主要原因是分別采用了Terzaghi有效應(yīng)力方程式(2)和Biot有效應(yīng)力方程式(27).對(duì)同一問題而言，總應(yīng)力σ和孔隙水壓u相對(duì)客觀，而有效應(yīng)力無法直接測(cè)量，因而可以按無量綱方法分析不同有效應(yīng)力方程對(duì)應(yīng)的無量綱有效應(yīng)力的差異性規(guī)律，見圖2.其中，式 (2)對(duì)應(yīng)于 σ′/σ =1?u/σ，而式 (27)對(duì)應(yīng)于σ′/σ =1?nu/σ.

圖2 Biot和Terzaghi兩種有效應(yīng)力方程的無量綱形式Fig.2 Dimensionless forms of e ff ective stress equations given by Biot and Terzaghi,respectively

分析圖2可知，只有在無量綱孔壓u/σ為零時(shí)，兩種無量綱有效應(yīng)力σ′/σ結(jié)果才相同.隨著u/σ的增大，兩者差別逐漸顯著，其中 σ′/σ的 Biot理論值總是大于u/σ相同情況下的Terzaghi理論值.當(dāng)u/σ =1時(shí)，按 Terzaghi理論得到的 σ′/σ 為零，這符合通常的理解和認(rèn)識(shí)，而且常用作發(fā)生流土或砂沸的臨界判別條件.但此時(shí)若按Biot理論，則有σ′/σ=1?n＞0，不會(huì)發(fā)生流土.

而當(dāng)基于 Biot有效應(yīng)力方程的無量綱有效應(yīng)力 σ′/σ =0時(shí)，則要求對(duì)應(yīng)的無量綱孔壓 u/σ =1/n＞1.此時(shí)相應(yīng)的Terzaghi有效應(yīng)力是負(fù)值，即σ′/σ=(n?1)/n＜0.這對(duì)經(jīng)典土力學(xué)觀點(diǎn)而言，將出現(xiàn)比較奇怪的現(xiàn)象:對(duì)于不能承受拉應(yīng)力的土體，此時(shí)早已發(fā)生破壞而可能不存在該狀態(tài).所以，在相同的總應(yīng)力和孔壓條件下，相比Terzaghi有效應(yīng)力方程，在判斷流土現(xiàn)象時(shí)，基于Biot有效應(yīng)力方程的結(jié)果在理論上偏于不安全.

進(jìn)一步看，出現(xiàn)流土的臨界力學(xué)條件一般為σ′=0.按本文式(17)，在均質(zhì)土層的表面載荷q=0條件下，當(dāng)滲透力 j=γwi=γ′時(shí)，土層中任意點(diǎn)σ′(z)≡0，由此推導(dǎo)出通常的臨界水力梯度

因此，有

在實(shí)際工程中,土體平均孔隙率有一定的變化范圍[21]，對(duì)常見砂土 n一般為 0.29～0.44，而對(duì)通常黏性土n為0.29～0.52.再根據(jù)傳統(tǒng)的臨界水力梯度icr,T值[14]大多介于0.85和1.1之間的經(jīng)驗(yàn)，以及式(34)，就可以得到icr,B對(duì)應(yīng)的大致變化范圍為2.6～6.2.

因此，icr,B/icr,T在2.4～7.3之間，相對(duì)于傳統(tǒng)土力學(xué)中的經(jīng)驗(yàn)結(jié)果，基于常見土體參數(shù)統(tǒng)計(jì)規(guī)律的臨界水力梯度經(jīng)驗(yàn)值將偏大很多.可見，滲透力新定義式(23)及其對(duì)應(yīng)的icr,B用于流土(砂)可能性的破壞評(píng)價(jià)時(shí)，是非常不安全的.

再結(jié)合張邦芾[22]近兩年的基坑滲流試驗(yàn)結(jié)果予以驗(yàn)證.在該試驗(yàn)中，4組試驗(yàn)細(xì)砂土樣平均孔隙率 n為 0.48～ 0.49，飽和重度 γsat為 18.21～18.05kN/m3，傳統(tǒng)的臨界水力梯度值icr,T為0.858～0.842.4種工況的坑內(nèi)止水帷幕插入深度范圍內(nèi)平均水力梯度i為1.013～1.153,大于icr,T；試驗(yàn)最終觀察到各工況均發(fā)生流土破壞.按傳統(tǒng)滲透力定義式(8)和對(duì)應(yīng)臨界水力梯度式(32)可以較好地評(píng)估此類滲透破壞.

而如果按滲透力新定義式 (23)及對(duì)應(yīng)的臨界水力梯度式(33)，發(fā)生流土的臨界水力梯度icr,B為2.867～2.755.因?yàn)閕＜icr,B，所以試樣理論上應(yīng)處于穩(wěn)定狀態(tài)，但實(shí)際試驗(yàn)中卻發(fā)生了流土破壞.這表明滲透力新定義及對(duì)應(yīng)臨界水力梯度在這種情況下是不適用的，將其普遍用于指導(dǎo)工程實(shí)踐的安全風(fēng)險(xiǎn)可能很高.

5.6 其他

此外，當(dāng)?shù)乇磔d荷q≠0時(shí)，傳統(tǒng)流土臨界條件j=γ′將不再適用，因?yàn)榘词?17)有σ′(z)≡q≠0.這也反映了傳統(tǒng)滲透力概念在應(yīng)用中的局限性，此時(shí)判別流土臨界狀態(tài)，也可以不采用滲透力概念而直接按有效應(yīng)力來處理.

筆者還注意到，1958年，蘇聯(lián)學(xué)者格爾西萬諾夫和包利興[2]在研究地下水層流上升時(shí)的現(xiàn)象時(shí)，采用了如下方程

該方程與式(9)有些相似，但文獻(xiàn)[2]既沒有闡明該式的由來，也沒有提到本文的3個(gè)基本方程，而且還將式(35)等號(hào)左端最后1項(xiàng)闡明為干容重(干重度).按式(9)來看，這可能是錯(cuò)誤的，應(yīng)該為浮重度.

在推導(dǎo)滲透力(動(dòng)水壓力)時(shí)，文獻(xiàn)[2]并不是從式(35)出發(fā)，而是根據(jù)前述宏觀尺寸的孔隙水隔離體法，在考慮孔隙水慣性力的影響下得到滲透力表達(dá)式

式中，q是滲流速度，在文獻(xiàn)[2]中寫為g可能是刊誤.式(36)等號(hào)右端第2項(xiàng)反映孔隙水慣性力影響.

筆者基于已有的固結(jié)理論方面的成果[10]，在忽略骨架速度和加速度的前提下[23]，探討并提出一種能夠考慮液相速度和加速度的廣義多維滲透力

如果在式(37)中引入以下簡(jiǎn)化假設(shè)：(1)Terzaghi有效應(yīng)力方程成立ηij=δij；(2)一維問題假定i=j=z；(3)孔隙流體為孔隙水ρf=ρw，則式(37)嚴(yán)格退化為

不難發(fā)現(xiàn)，化簡(jiǎn)后的多維廣義滲透力式(38)與式(36)等價(jià)，即這樣，初步證明了格爾西萬諾夫和包利興提出的一維滲透力式(36)在理論上依然是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)模瑫r(shí)也揭示了其滲透力推導(dǎo)方法中同樣隱含使用了Terzaghi有效應(yīng)力方程，而其他有效應(yīng)力方程無法導(dǎo)出式(36).

值得關(guān)注的還有，國(guó)內(nèi)學(xué)者雷國(guó)輝等[2425]還研究了滲透力在瑞典條分法邊坡穩(wěn)定分析中應(yīng)用的注意事項(xiàng)與局限性，并提出作用在骨架上的滲透力并非體積力的觀點(diǎn)等.但是，Pan等[26]在三維邊坡穩(wěn)定分析中，卻將滲透力視為作用于離散單元上的體積力進(jìn)行數(shù)值計(jì)算.另外，Al-Madhhachi等[27]在黏性土侵蝕率模型中考慮了滲透力概念以改進(jìn)經(jīng)典Wilson模型的預(yù)測(cè)精度.這些研究中采用的滲透力主要是式(8)的傳統(tǒng)形式，而沒有使用更精確的式(36)或式(38).這表明，在工程實(shí)踐中，亟待加強(qiáng)滲透力的理論和應(yīng)用研究.

6 結(jié)論

(1)針對(duì)一維工況，明確了分析飽和土滲透力和浮力的3個(gè)基本方程，由此分別得到骨架平衡微分方程式(9)和孔隙水隔離體平衡微分方程式(13).這兩種方法和思路都能夠準(zhǔn)確而不失簡(jiǎn)潔地推導(dǎo)出滲透力和浮力.傳統(tǒng)和主流的宏觀尺度孔隙水隔離體法不再是分析滲透力和浮力的唯一方法.

(2)土中無水時(shí)，骨架平衡微分方程式(9)可以退化為彈性力學(xué)平衡微分方程(干土).不考慮滲透力(和浮力)時(shí)，孔隙水平衡微分方程(13)可以退化為流體力學(xué)歐拉方程(和帕斯卡靜壓傳遞方程).

(3)一維滲流問題中的有效應(yīng)力計(jì)算，在簡(jiǎn)單情況下可以按滲透力和浮力分析即式(17).但一般情況下可以直接按本文3個(gè)基本方程求解即式(19)，此時(shí)無需利用滲透力等概念.

(4)對(duì)最新滲透力研究成果的討論工作表明：①證明傳統(tǒng)滲透力式(8)存在合理性的關(guān)鍵因素是充分和正確地應(yīng)用3個(gè)基本方程中的Terzaghi有效應(yīng)力方程；②從Biot有效應(yīng)力方程及本文其他2個(gè)基本方程來看，其他學(xué)者提出的滲透力新定義j=nγwi在形式上是合理的，但從有限的工程實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)和試驗(yàn)成果來分析，該新定義若用于流土破壞評(píng)估等工程問題則可能是很不安全的，值得注意和警惕.

(5)格爾西萬諾夫和包利興提出的滲透力定義式(36)，在Terzaghi有效應(yīng)力方程和一維問題范疇內(nèi)是嚴(yán)謹(jǐn)成立的，仍不過時(shí).

致謝感謝匿名審稿專家給本文提出的寶貴指導(dǎo)意見；科學(xué)出版社工程技術(shù)分社張曉娟編輯和北京交通大學(xué)土建學(xué)院李艦博士協(xié)助進(jìn)行本文標(biāo)點(diǎn)符號(hào)和個(gè)別語言的修改完善；北京交通大學(xué)陳曦教授對(duì)摘要的英文翻譯加以潤(rùn)色和改進(jìn)；研究生王思遠(yuǎn)將圖1和圖2改繪為AUTOCAD格式.謹(jǐn)此致謝.

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ONE-DIMENSIONAL SEEPAGE FORCE AND BUOYANCY1)

Ding Zhouxiang?,?,2)?(School of Civil Engineering，Beijing Jiaotong University，Beijing 100044，China)
?(Shaanxi Provincial Major Laboratory for Highway Bridge&Tunnel，Xi’an 710064，China)

Forthesakeofsimplicity,twomethodsofderivingseepageforceandbuoyancyassociatedwithone-dimensional fl uid fl ow in saturated soil were developed to give a uselful supplement to conventional macro-scale method of isolated pore fl uid.To study the seepage force and buoyancy,three fundamental governing equations,namely,equilibrium di ff erential equation in elasticity,Terzaghi’s e ff ective stress equation and simpli fi ed Bernoulli’s equation in fl uid mechanics,are utilized for the derivation of seepage force and buoyancy.Based on the fundamental governing equations,it is readily to derive the di ff erential equations of equilibrium corresponding to the isolated soil skeleton and the isolated pore fl uid,and hence,the connotation and nature of seepage force and buoyancy can be disclosed.The seepage force per unit volume of saturated soil arises from the gradient of fl uid pressure in terms of total head.The buoyancy originates in the vertical component of gradient of fl uid pressure in terms of position head.Both the seepage force and the buoyancy can be embodied in equilibirium di ff erential equation with respect to skeleton or pore fl uid of satured soil.In geotechnical practice,the three governing equations can be directly applied to the calculation of e ff ective stress.Only in some simpli fi ed cases,the distribution of e ff ective stress can be obtained using the seepage force and buoyancy.Additionally,some hot topics are also discussed in this study,and emphasis shall be put on the discussion on the rationality and the potential application risk of the new de fi nition of seepage force,i.e.,j=nγwi.The strictness of one classic formulation of seepage force in history was thoroughly validated when considering the derivative of seepage velocity with respect to time.It is noteworthy that in the study of seepage force and buoyance from the perspective of soil mechanics,the Terzaghi’s e ff ective stress equation shall be reasonably implemented with practical signi fi cance.

seepage force，buoyancy,e ff ective stress principle,pore water pressure,di ff erential equilibrium equation.

TU431

A

10.6052/0459-1879-17-001

2017–01–01收稿，2017–06–08 錄用,2017–06–22 網(wǎng)絡(luò)版發(fā)表.

1)國(guó)家自然科學(xué)基金(51278028,41172221)和中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金(310821161119,2014JBM087)資助項(xiàng)目.

2)丁洲祥，博士，副教授，主要研究方向：固結(jié)理論及其在巖土和隧道工程中的應(yīng)用.E-mail:dingzhouxiang@163.com

丁洲祥.一維滲透力與浮力.力學(xué)學(xué)報(bào)，2017，49(5):1154-1162

Ding Zhouxiang.One-dimensional seepage force and bouyancy.Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics,2017,49(5):1154-1162