潘江懷， 喬慧

(江蘇自動(dòng)化研究所， 江蘇 連云港 222006)

多傳感器空間配準(zhǔn)的病態(tài)性及其穩(wěn)健估計(jì)

潘江懷， 喬慧

(江蘇自動(dòng)化研究所， 江蘇 連云港 222006)

為提高多傳感器空間配準(zhǔn)的精度和穩(wěn)定性，以最小二乘空間配準(zhǔn)算法為基礎(chǔ)，分析多傳感器空間配準(zhǔn)病態(tài)性產(chǎn)生的原因，指出系統(tǒng)誤差估計(jì)Fisher信息矩陣的病態(tài)性是影響空間配準(zhǔn)質(zhì)量的主要因素。運(yùn)用條件指標(biāo)對病態(tài)性程度進(jìn)行評價(jià)，并根據(jù)信息矩陣的奇異值呈階梯型分布特點(diǎn)，提出一種混合的奇異值修正穩(wěn)健估計(jì)算法。該算法通過只對較小的條件指標(biāo)進(jìn)行修正，實(shí)現(xiàn)對系統(tǒng)誤差觀測方程中不確定成分的有效抑制和確定成分的保留，能較好解決多傳感器空間配準(zhǔn)系統(tǒng)誤差實(shí)時(shí)估計(jì)問題；通過兩種不同場景下的系統(tǒng)誤差估計(jì)結(jié)果證明，該算法的使用可顯著地提高系統(tǒng)誤差參數(shù)估計(jì)的精度和穩(wěn)定性。

信息處理技術(shù)； 空間配準(zhǔn)； 病態(tài)性； 穩(wěn)健估計(jì)； 奇異值分解； 多傳感器

0 引言

在多傳感器融合跟蹤系統(tǒng)中，傳感器探測的系統(tǒng)誤差是影響融合精度的最主要因素[1]，系統(tǒng)誤差的存在將直接對數(shù)據(jù)融合中的跟蹤門計(jì)算、目標(biāo)航跡狀態(tài)估計(jì)和協(xié)方差計(jì)算、航跡相關(guān)波門及準(zhǔn)則產(chǎn)生不利影響[2]。若直接將各傳感器的探測數(shù)據(jù)進(jìn)行融合，則將由于系統(tǒng)誤差的存在而使跟蹤結(jié)果惡化，導(dǎo)致目標(biāo)一批變多批或航跡呈鋸齒、航跡斷航，甚至不如單傳感器的跟蹤效果[3]?？臻g配準(zhǔn)是指消除探測源/探測系統(tǒng)所存在的系統(tǒng)誤差或?qū)⑵淇刂圃谌菰S范圍內(nèi)的處理過程。在多平臺(tái)多傳感器系統(tǒng)中，一般是指將分布在不同地理位置的傳感器目標(biāo)探測信息轉(zhuǎn)換到一個(gè)統(tǒng)一坐標(biāo)系或融合中心過程中，使由于傳感器探測、平臺(tái)定位不準(zhǔn)以及坐標(biāo)轉(zhuǎn)換等原因產(chǎn)生的系統(tǒng)誤差(配準(zhǔn)誤差)最小化[4]，以實(shí)現(xiàn)同一目標(biāo)位置信息在不同傳感器中的迭合和正確交接，確保后續(xù)數(shù)據(jù)融合正確進(jìn)行。因此，在多傳感器融合跟蹤系統(tǒng)中，必須對傳感器進(jìn)行空間配準(zhǔn)[5]。

在多傳感器系統(tǒng)誤差估計(jì)過程中，影響偏差可觀測性的因素有很多，偏差的種類、偏差之間相互耦合的程度、目標(biāo)與傳感器之間的幾何關(guān)系等多種因素都會(huì)造成偏差估計(jì)可觀測性的變化，從而導(dǎo)致偏差估計(jì)可觀測度難以進(jìn)行定量的描述[6]。偏差估計(jì)精度除了受到估計(jì)算法的影響，主要是由系統(tǒng)可觀測度決定，因此如何在未知可觀測度條件下定量地確定系統(tǒng)的配準(zhǔn)效果就成為一個(gè)難題[7]?，F(xiàn)有的空間配準(zhǔn)算法如歐洲和北美洲廣泛使用SAGE系統(tǒng)監(jiān)視系統(tǒng)中的實(shí)時(shí)質(zhì)量控制(RTQC)法[4]、考慮傳感器測量噪聲的最小二乘(LS)配準(zhǔn)法[5]及廣義LS(GLS)配準(zhǔn)法[6]、精確極大似然(EML)配準(zhǔn)法[7]、極大似然(MLR)配準(zhǔn)法[8]及文獻(xiàn)[9-14]提出的空間配準(zhǔn)算法，在可觀測度較高、目標(biāo)狀態(tài)觀測完整、傳感器布站合理且累計(jì)了一定的觀測數(shù)據(jù)條件下，通常都可以獲得比較好的配準(zhǔn)結(jié)果。當(dāng)可觀測度較低時(shí)，偏差的估計(jì)值將發(fā)生巨大的波動(dòng)[15-16]。這是因?yàn)橛^測數(shù)據(jù)中緩變的觀測信息被劇烈變化的隨機(jī)噪聲湮沒，觀測數(shù)據(jù)的變化主要由于隨機(jī)誤差引起，導(dǎo)致了估計(jì)結(jié)果的波動(dòng)，若直接根據(jù)這種估計(jì)值去修正目標(biāo)航跡，則后續(xù)的融合結(jié)果將必然會(huì)受到質(zhì)疑[17]。

本文基于LS空間配準(zhǔn)算法，分析了LS系統(tǒng)誤差估計(jì)的病態(tài)性產(chǎn)生原因，并根據(jù)系統(tǒng)誤差估計(jì)的Fisher信息矩陣奇異值分布為階梯型分布特點(diǎn)，提出一種新的奇異值修正(CSVD)算法，對奇異特征值進(jìn)行修正。該算法可兼顧系統(tǒng)誤差參數(shù)估計(jì)的分辨率與方差，實(shí)現(xiàn)了對系統(tǒng)誤差觀測方程中不確定成分的有效抑制和確定成分的有效保留，能有效解決多傳感器空間配準(zhǔn)系統(tǒng)誤差實(shí)時(shí)估計(jì)問題，并從兩種不同的仿真場景進(jìn)行了驗(yàn)證比較。結(jié)果表明：當(dāng)信息矩陣的條件數(shù)明顯分梯形分布時(shí)，該方法可顯著提高系統(tǒng)誤差估計(jì)結(jié)果的精度和穩(wěn)定性。

1 多傳感器系統(tǒng)誤差的LS估計(jì)

對于不同平臺(tái)的n部三坐標(biāo)雷達(dá)而言，需要估計(jì)的系統(tǒng)誤差參數(shù)有3n個(gè)之多，(Δri,Δβi,Δεi)分別表示為第i個(gè)傳感器的距離系統(tǒng)誤差、方位角系統(tǒng)誤差、俯仰角系統(tǒng)誤差，i=1，…，n. 為簡化推導(dǎo)，下面以兩部傳感器為例對空間配準(zhǔn)的算法進(jìn)行分析。如圖1所示，假設(shè)兩傳感器的大地坐標(biāo)為(L1,B1,H1)和(L2,B2,H2)，兩傳感器在地心地固(ECEF)坐標(biāo)系中的位置為(xp1,yp1,zp1)、(xp2,yp2,zp2)，k時(shí)刻兩傳感器對目標(biāo)距離、方位角和俯仰角的探測為(r1(k),β1(k),ε1(k))、(r2(k),β2(k),ε2(k))，轉(zhuǎn)換到兩傳感器地理坐標(biāo)系下的位置為(x1(k),y1(k),z1(k))、(x2(k),y2(k),z2(k)). 以下省略時(shí)刻k.

圖1 有系統(tǒng)誤差下的多平臺(tái)傳感器探測Fig.1 Multi-sensor detection with bias

若沒有任何誤差，兩傳感器同一時(shí)刻對同一目標(biāo)的探測在ECEF坐標(biāo)系中應(yīng)該迭合，即

(1)

式中：TR1和TR2分別為兩傳感器地理坐標(biāo)系到ECEF坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)矩陣；(xi,t,yi,t,zi,t)為目標(biāo)在傳感器i(i=1，2)地理坐標(biāo)系下的真值：

(2)

(3)

兩傳感器對同一目標(biāo)的探測在ECEF坐標(biāo)系中的坐標(biāo)之差如下：

(4)

簡記為

Z=Ab，

(5)

式中：A=[TR1Jf1,-TR2Jf2]；b=[Δr1,Δβ1,Δε1,Δr2,Δβ2,Δε2]T.

當(dāng)有k(k>2)個(gè)量測值時(shí)，(5)式的LS解為

=(ATA)-1ATZ.

(6)

定義系統(tǒng)誤差參數(shù)b的Fisher信息矩陣為

J=ATA.

(7)

2 LS系統(tǒng)誤差估計(jì)的病態(tài)性

LS估計(jì)系統(tǒng)誤差的條件是估計(jì)參數(shù)b的信息矩陣J可逆，即A列滿秩。當(dāng)A的列線性相關(guān)或弱相關(guān)時(shí)，信息矩陣是病態(tài)的。

2.1 常見的病態(tài)場景

1) 傳感器平臺(tái)相距較近。當(dāng)兩傳感器相距較近時(shí)，兩傳感器對同一目標(biāo)的探測距離、方位角、俯仰角近似相等，即有(r1(k),β1(k),ε1(k))≈(r2(k),β2(k),ε2(k))，而 (7) 式中矩陣A的系數(shù)完全由傳感器對目標(biāo)探測的距離、方位角、俯仰角所決定，將導(dǎo)致矩陣A的列向量具有相關(guān)性，從而使信息矩陣J是病態(tài)的。

2) 觀測數(shù)據(jù)密集情況。當(dāng)目標(biāo)相對于傳感器平臺(tái)靜止不動(dòng)或者活動(dòng)范圍很小時(shí)，傳感器在觀測時(shí)間內(nèi)對目標(biāo)的距離、方位角、俯仰角探測近似相等，即(r1(1),β1(1),ε1(1))≈…≈(r1(k),β1(k),ε1(k))，此時(shí)也會(huì)導(dǎo)致矩陣A的列向量具有相關(guān)性，從而使信息矩陣J是病態(tài)的。

2.2 病態(tài)性的評估

一般地，通過條件數(shù)對方程病態(tài)性進(jìn)行評估。對于(5)式，小擾動(dòng)引起的估計(jì)相對系統(tǒng)誤差有如下關(guān)系：

(8)

當(dāng)A非奇異時(shí)，A條件數(shù)定義如下：

(9)

式中：λl為矩陣A的第l個(gè)特征值。

可見，系數(shù)矩陣A的最大最小特征值越分散，cond{A}越大，解向量b的相對誤差越大。條件數(shù)是一個(gè)相對數(shù)，其值的大小表示了最小特征根相對于最大特征根“小”的程度，即條件數(shù)從某種程度上度量了病態(tài)性的嚴(yán)重程度。但條件數(shù)不能判定觀測矩陣A的數(shù)據(jù)列之間存在幾個(gè)相關(guān)關(guān)系，也不能確切斷定出每個(gè)相關(guān)性到底存在于哪些數(shù)據(jù)列之間，這些信息對于全面把握病態(tài)性產(chǎn)生的機(jī)理和實(shí)質(zhì)，以及判定哪個(gè)系統(tǒng)誤差參數(shù)的可觀測性高低具有重要的參考價(jià)值。

定義條件指標(biāo)：

(10)

稱ηj法矩陣的第j個(gè)條件指標(biāo)，λ1為最大的特征值，顯然ηj≥1.

條件指標(biāo)直接反映了具體的系統(tǒng)誤差參數(shù)項(xiàng)估計(jì)受測量噪聲干擾的影響程度。若出現(xiàn)高條件指標(biāo)，則矩陣A的該列元有微小擾動(dòng)時(shí)，該系統(tǒng)誤差參數(shù)項(xiàng)的估計(jì)結(jié)果將引起相當(dāng)大的變化，從而觀測矩陣A的數(shù)據(jù)列之間存在相關(guān)關(guān)系。大量模擬研究表明[18-19]，若病態(tài)性很弱，則條件指標(biāo)小于100；若病態(tài)性較強(qiáng)，則條件指標(biāo)在100～1 000之間；若病態(tài)性很嚴(yán)重，則條件指標(biāo)在1 000以上。

3 多傳感器系統(tǒng)誤差CSVD穩(wěn)健估計(jì)算法

由系統(tǒng)誤差參數(shù)b的Fisher信息矩陣定義可知，J是一個(gè)實(shí)對稱矩陣，根據(jù)矩陣奇異值分解定理，對于任意實(shí)對稱矩陣Jm×m，存在正交矩陣Vm×m使得：

J=VSVT，

(11)

J的Mooer-Penrose廣義逆為

J+=VS-1VT，

(12)

系統(tǒng)誤差參數(shù)估計(jì)的方差為

(13)

向量形式：

(14)

TSVD法就是將較小的奇異值舍棄，即Σ=diag(λ1,λ2,…,λr)舍棄較小的，使其為0，以減少參數(shù)解的方差、增加解算的穩(wěn)定性。若令D=diag(λ1,λ2,…,λr1) (r1

(15)

(15)式向量形式表示為

(16)

在具體采用TSVD法時(shí)，主要需要考慮按什么原則去截?cái)唷?/p>

(17)

參數(shù)估計(jì)的向量形式為

(18)

參數(shù)估計(jì)的方差為

(19)

從(18)式和(19)式可以看出，適當(dāng)選擇α可以減少估計(jì)的方差、增加估計(jì)的穩(wěn)定性。但上述修正方法存在如下缺陷：1)當(dāng)奇異值分布呈均勻下降型時(shí)，MSVD法對不可靠的成分進(jìn)行了抑制，它不但修正了較小的奇異值，也修正了相對較大的奇異值，從而使模型中的確定成分發(fā)生了畸變，降低了分辨率；2)TSVD法將小于方差門限值的奇異值全部截掉，將引起分辨率的明顯變壞，因?yàn)楸Ａ舻暮徒氐舻某煞植顒e不明顯。

在進(jìn)行奇異值分解之后，相對大的奇異值及相應(yīng)的左右特征向量表示模型參數(shù)中比較肯定的和可靠的部分，很小的奇異值和相應(yīng)的特征向量則表示不可靠的部分。TSVD法在處理病態(tài)問題的奇異值時(shí)，刪除了小的奇異值及對應(yīng)的特征向量，實(shí)際上刪掉了模型參數(shù)中不可靠的部分，以減少解的方差。但是這種做法同時(shí)也可能嚴(yán)重?fù)p害了解估計(jì)的分辨率。

對于多傳感器空間配準(zhǔn)問題，同時(shí)對傳感器的測距和測向系統(tǒng)誤差進(jìn)行估計(jì)時(shí)，其觀測矩陣的特征值的大小順序呈階梯狀態(tài)的分布，如(20)式所示：

η1≤η2≤η3<η4≤η5≤η6.

(20)

理想的做法是修正奇異值較小的，而對較大的奇異值不進(jìn)行修正或給予不同于較小的奇異值的修正。本文綜合了TSVD法和MSVD法的優(yōu)點(diǎn)，提出了一種新的CSVD方案，即對大的奇異值盡量趨近于用TSVD法進(jìn)行修正，對小的奇異值趨近于用MSVD法進(jìn)行修正。具體做法為：對超過門限值t的奇異值保持不變，對小于門限值t的奇異值進(jìn)行修正，修正公式為

(21)

相應(yīng)的修改后的奇異值為

Σδ=diag(δ1,δ2,…,δr).

(22)

相應(yīng)的配準(zhǔn)偏差估計(jì)結(jié)果為

(23)

1)配準(zhǔn)估計(jì)結(jié)果的分辨率和方差。偏差估計(jì)結(jié)果(23)式的分辨率為

(24)

當(dāng)λp≥t時(shí)，(23)式解估計(jì)的方差為

(25)

由方差公式(24)式可以看出，與LS法估計(jì)的方差相比，新的解估計(jì)的方差減小了。本文的方法兼具了MSVD法和TSVD法的優(yōu)點(diǎn)，通過降低分辨率減小了解的方差，解估計(jì)的質(zhì)量得到了提高。

2)最小奇異值門限t的確定。判斷病態(tài)觀測方程式的Fisher信息矩陣ATA的條件數(shù)大于103，可以得到

(26)

設(shè)奇異值λq(q=1,2,…,r)滿足

(27)

則選擇最小奇異值門限t為

t=λq.

(28)

4 仿真驗(yàn)證

4.1 可觀測性較好的情況

目標(biāo)1的初始位置[121.05°，26.6°，2 km]，運(yùn)動(dòng)速度[121.2°，26.5°,0 km]；平臺(tái)1初始位置[121.2°，26.5°，0 km]，運(yùn)動(dòng)速度[0 m/s，0 m/s，0 m/s]；平臺(tái)2初始位置[121.4°，26.5°，0 km]，運(yùn)動(dòng)速度[0 m/s，0 m/s，0 m/s]；傳感器1探測系統(tǒng)誤差：Δr1=-500 m,Δβ1=0.9°,Δε1=0.5°，噪聲σr1=100 m,σβ1=0.3°,σε1=0.3°；傳感器2探測系統(tǒng)誤差：Δr2=400 m,Δβ2=0.9° ,Δε2=-0.5°，噪聲σr2=100 m,σβ2=0.3° ,σε2=0.3°.

仿真場景如圖2所示，仿真結(jié)果如圖3～圖9所示。

圖2 仿真場景示意圖Fig.2 Schematic diagram of simulation scene

圖3 條件指標(biāo)變化情況Fig.3 Changes of condition indexes

圖4 CSVD修正之后條件指標(biāo)變化情況Fig.4 Changes of modified condition indexes

圖5 兩傳感器距離系統(tǒng)誤差估計(jì)結(jié)果Fig.5 Estimated range deviations of two sensors

圖6 兩傳感器方位角系統(tǒng)誤差估計(jì)結(jié)果Fig.6 Estimated azimuth deviations of two sensors

圖7 兩傳感器俯仰角系統(tǒng)誤差估計(jì)結(jié)果Fig.7 Estimated elevation deviations of two sensors

圖8 CSVD實(shí)時(shí)配準(zhǔn)前后兩傳感器探測結(jié)果Fig.8 Detection results of two sensors before and after real time CSVD registration

圖9 實(shí)時(shí)配準(zhǔn)前后兩傳感器誤差比較Fig.9 Comparison of detection errors of two sensors before and after real time CSVD registration

4.2 可觀測性較差的情況

目標(biāo)1初始位置[120.95°，26.6°，2 km]，運(yùn)動(dòng)速度[0 m/s，100 m/s，0 m/s]；平臺(tái)1初始位置[121.2°，26.5°，0 km]，運(yùn)動(dòng)速度[0 m/s，0 m/s，0 m/s]；平臺(tái)2初始位置[121.4°，26.5°，0 km]，運(yùn)動(dòng)速度[0 m/s，0 m/s，0 m/s]；傳感器1探測系統(tǒng)誤差：Δr1=-500 m,Δβ1=0.9°,Δε1=0.5°，噪聲σr1=100 m,σβ1=0.3°,σε1=0.3°；傳感器2探測系統(tǒng)誤差：Δr2=400 m, Δβ2=0.9°,Δε2=-0.5°，噪聲σr2=100 m,σβ2=0.3°,σε2=0.3°.

仿真場景如圖10所示，仿真結(jié)果如圖11～圖16所示。

圖10 仿真場景示意圖Fig.10 Schematic diagram of simulation scene

圖11 條件指標(biāo)變化情況Fig.11 Change of condition indexes

圖12 CSVD修正之后條件指標(biāo)變化情況Fig.12 Changes of modified condition indexes

圖13 兩傳感器距離系統(tǒng)誤差估計(jì)結(jié)果Fig.13 Estimated range deviations of two sensors

圖14 兩傳感器方位角系統(tǒng)誤差估計(jì)結(jié)果Fig.14 Estimated azimuth deviations of two sensors

圖15 兩傳感器俯仰角系統(tǒng)誤差估計(jì)結(jié)果Fig.15 Estimated elevation deviations of two sensors

圖16 CSVD實(shí)時(shí)配準(zhǔn)前后兩傳感器探測結(jié)果Fig.16 Detection results of two sensors before and after real time CSVD registration

圖17 實(shí)時(shí)配準(zhǔn)前后兩傳感器誤差比較Fig.17 Comparison of detection errors of two sensors before and after real time CSVD registration

對比圖3和圖17中兩種場景的條件指標(biāo)可以看出：1)第1種場景的條件指標(biāo)明顯比第2種場景的要低；2)兩個(gè)場景之間一開始均存在3個(gè)變量之間的相關(guān)性，開始階段均只能估計(jì)出相對的系統(tǒng)誤差；3)隨著數(shù)據(jù)的積累，第1種場景的可觀測性明顯變好，當(dāng)數(shù)據(jù)量超過100時(shí)所有的待估計(jì)參數(shù)之間是完全獨(dú)立的，此時(shí)使用經(jīng)典的算法均可得到有效的結(jié)果。

5 結(jié)論

在多傳感器空間配準(zhǔn)中，信息矩陣的病態(tài)性是影響系統(tǒng)誤差參數(shù)估計(jì)質(zhì)量的主要因素之一。本文針對LS法系統(tǒng)誤差估計(jì)過程中由于信息矩陣的病態(tài)性導(dǎo)致估計(jì)結(jié)果無效的情況，分析LS法系統(tǒng)誤差估計(jì)的病態(tài)性產(chǎn)生原因，并根據(jù)Fisher信息矩陣奇異值的分布為階梯型分布特點(diǎn)，提出一種新的CSVD方案對奇異特征值進(jìn)行修正，該算法兼顧參數(shù)估計(jì)的分辨率與方差，實(shí)現(xiàn)了對觀測方程中不確定成分的有效抑制和確定成分的有效保留，有效解決了多傳感器空間配準(zhǔn)系統(tǒng)誤差實(shí)時(shí)估計(jì)問題，并從兩種不同的仿真場景進(jìn)行了驗(yàn)證比較，結(jié)果表明：當(dāng)信息矩陣的條件數(shù)明顯分梯形分布時(shí)，該方法可顯著提高系統(tǒng)誤差估計(jì)結(jié)果的精度和穩(wěn)定性。

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Ill-conditionAnalysisandRobustEstimationforMulti-sensorSpatialRegistration

PAN Jiang-huai, QIAO Hui
(Jiangsu Automation Research Institute, Lianyungang 222006，Jiangsu， China)

In order to improve the accuracy and stability of multi-sensor spatial registration, the causes of the ill condition of the multi sensor spatial registration are analyzed based on LS estimation for multi-sensor spatial registration. The analysis result shows that the ill-condition of the Fisher information matrix is the key factor which influences the quality of system error parameter estimation. The conditional index of information matrix is used to measure the ill-condition of spatial registration. A new algorithm of compound modified singular value decomposition (CSVD) for robust estimation is proposed according to the characteristics of trapezia distribution of the information matrix singular values. The algorithm can effectively suppress uncertainty components and retain deterministic components in the observation equation by modifing only minor conditional index, and can effectively solve the multi sensor real time estimation of spatial registration. Two different scenarios of the estimatied results show that CSVD method can be used to significantly improve the estimation accuracy and stability of system error parameters.

information processing technology; spatial registration; ill-condition; robust estimation; singular value decomposition; multi-sensor

2016-03-02

國家“973”計(jì)劃項(xiàng)目(613101)

潘江懷(1982—)，男，高級(jí)工程師。E-mail：panjianghuai@163.com

TN953+.6

A

1000-1093(2017)10-1965-09

10.3969/j.issn.1000-1093.2017.10.012