戢予 周桐 賴秋宇 重慶郵電大學(xué)光電工程學(xué)院重慶國際半導(dǎo)體學(xué)院

麥克斯韋方程組的推導(dǎo)及應(yīng)用

戢予 周桐 賴秋宇 重慶郵電大學(xué)光電工程學(xué)院重慶國際半導(dǎo)體學(xué)院

經(jīng)典物理學(xué)中的電磁現(xiàn)象是最具吸引力的現(xiàn)象之一，而要研究這些有趣的現(xiàn)象，麥克斯韋方程組則是最好的工具。我們以最經(jīng)典的方式，即由其理論基礎(chǔ)經(jīng)過嚴(yán)格的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，來嘗試得到麥克斯韋方程組。本文所展示的詳細(xì)推導(dǎo)過程可讓讀者，不論是初次接觸還是資深學(xué)者，均對麥克斯韋方程組有更加深刻的感悟，對電磁學(xué)科中的相應(yīng)知識也能更好的掌握。同時(shí)，本文也列舉了麥克斯韋方程組的兩個(gè)經(jīng)典應(yīng)用，波導(dǎo)及天線與輻射系統(tǒng)，供讀者參考。

麥克斯韋方程組 法拉第電磁感應(yīng)定律 波導(dǎo) 天線

1 概述

麥克斯韋方程組Maxwell equations是麥克斯韋總結(jié)了庫侖、安培、法拉第的研究成果后，歸納出的描述電場和磁場的基本方程，預(yù)言了電磁波的存在。它作為電磁學(xué)的基礎(chǔ)，解釋了經(jīng)典物理中的電磁現(xiàn)象。

2 理論基礎(chǔ)

2.1 兩個(gè)恒等式

任何一個(gè)標(biāo)量場的梯度的旋度為零，如下列等式所示：

任何一個(gè)矢量場的旋度的散度為零，如下列等式所示：

2.2 高斯定理

在任一自由空間中的閉合曲面上向外的電場強(qiáng)度的通量總和，等于閉合面內(nèi)所包含的電荷總量與絕對介電率之比，也就是說：

2.3 法拉第電磁感應(yīng)定律

在靜電場與靜磁場中，電場強(qiáng)度E與磁場強(qiáng)度H是相互獨(dú)立的兩個(gè)物理量，而在時(shí)變場中，電場和磁場會產(chǎn)生相互影響。經(jīng)大量實(shí)驗(yàn)，我們可以發(fā)現(xiàn)，時(shí)變的磁場（磁通量的改變）會產(chǎn)生感應(yīng)電動勢，從而影響電場強(qiáng)度的大小及方向，基本的轉(zhuǎn)化關(guān)系如下所示：

上式表明，在空間中的任意一點(diǎn)，無論是在自由空間還是媒質(zhì)中，時(shí)變磁場產(chǎn)生的電場是一個(gè)渦旋電場，且不能用標(biāo)量電位的梯度的旋度進(jìn)行表示。該方程也是麥克斯韋方程組中的其中之一。

2.4 電流連續(xù)性方程

假設(shè)有一個(gè)體積為V，表面積為S，且有一個(gè)帶電量為Q的電荷存在的區(qū)域，如果有電流流出這個(gè)區(qū)域，那這個(gè)區(qū)域電荷減少的速率則等于該電流大小，于是我們可以得到：

根據(jù)散度定理，則有：

上式中ρ為體電荷密度，化簡之后即可得到：

3 推導(dǎo)

（1）由于電通量密度D與電場強(qiáng)度E的關(guān)系為：

若此處的ρ是自由電荷密度，則高斯定理可以改寫為：

（2）在靜磁場中，物理現(xiàn)象遵循安培環(huán)路定理，也就是說，磁感應(yīng)強(qiáng)度沿閉合回路積分與磁導(dǎo)率和流過的電流之積相等，所以我們可以得到以下等式：

但是我們從之前的分析可以得知，時(shí)變情況下的，為了滿足兩個(gè)恒等式的要求，我們根據(jù)電流連續(xù)性方程來修正安培環(huán)路定理，又因?yàn)椋?）中已知所以：

（3）最后，由于磁通量是連續(xù)的，所以閉合面的磁通量為零。于是我們最終整理出四個(gè)電磁場的相關(guān)方程：

是為麥克斯韋方程組。

4 應(yīng)用

我們對電磁場的所有分析都是基于麥克斯韋方程組的，結(jié)合不同的邊界條件，我們可以得到麥克斯韋方程不同的應(yīng)用。在此舉兩個(gè)典型的實(shí)際應(yīng)用。

4.1 波導(dǎo)

規(guī)則金屬波導(dǎo)是指各種截面形狀的無限長的筆直的空心金屬管，其截面形狀和尺寸、管壁的結(jié)構(gòu)材料及管內(nèi)介質(zhì)填充情況沿其金屬管軸線方向均不變，被引導(dǎo)的電磁波被完全限制在導(dǎo)管內(nèi)縱向傳播。其導(dǎo)管內(nèi)的電磁場可以由麥克斯韋方程組，在特定的邊界條件下求得，理想導(dǎo)體的邊界電場和磁場都為0，從而限制了傳輸?shù)碾姶挪ǖ念l率。

4.2 天線與輻射系統(tǒng)

為了能將電磁能量輻射出去，我們設(shè)計(jì)出了天線這種裝置。天線可以由加了電壓的一根直導(dǎo)線或者一個(gè)導(dǎo)體環(huán)，再或者輻射元陣列構(gòu)成，它可以作為發(fā)射機(jī)的末端，也可以作為接收機(jī)的前端。研究天線的方法便是運(yùn)用我們之前提到的麥克斯韋方程組以及時(shí)變電磁場。天線的主要輻射特性包括：方向性系數(shù)、增益、工作頻帶以及天線阻抗。

5 總結(jié)

麥克斯韋方程組在電磁學(xué)中的地位，如同牛頓運(yùn)動定律在力學(xué)中的地位一樣。在麥克斯韋方程組中，電場和磁場已經(jīng)成為一個(gè)不可分割的整體。該方程組系統(tǒng)而完整地概括了電磁場的基本規(guī)律，并預(yù)言了電磁波的存在。此外，它在物理上以“場”而不是以“力”作為基本的研究對象也是一次偉大突破。

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