● (虞陽中學(xué),福建 福清 350307)

2017-07-28

教育部福建師范大學(xué)基礎(chǔ)教育研究中心2017年開放課題(KC-2017053)

湯小梅(1971-)，女，福建福清人，中學(xué)高級教師.研究方向數(shù)學(xué)教育.

對2017年全國卷Ⅰ理科第16題的尋源探變

●湯小梅
(虞陽中學(xué),福建 福清 350307)

高中數(shù)學(xué)應(yīng)用一題多解與一題多變的方法，讓學(xué)生將所學(xué)知識進(jìn)行靈活運(yùn)用，并開拓思路，從而做到融會(huì)貫通．這就需要我們面對數(shù)學(xué)試題，學(xué)會(huì)多角度欣賞與思考，從中發(fā)現(xiàn)試題的解決規(guī)律，并能尋“根”探“源”與同“源”探“變”，進(jìn)而掌握一類題的應(yīng)對策略．

一題多解;尋根探源;同源變式

1 試題展現(xiàn)

例1如圖1，圓形紙片的圓心為O，半徑為5 cm，該紙片上的等邊△ABC的中心為O．D,E,F為⊙O上的點(diǎn)，△DBC，△ECA，△FAB分別是以BC，CA，AB為底邊的等腰三角形．沿虛線剪開后，分別以BC，CA，AB為折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得點(diǎn)D,E,F重合，得到三棱錐．當(dāng)△ABC的邊長變化時(shí)，所得三棱錐體積(單位：cm3)的最大值為______．

(2017年全國數(shù)學(xué)高考卷Ⅰ理科試題第16題)

圖1 圖2

點(diǎn)評這道高考題文字表述流暢、圖像優(yōu)美，令人賞心悅目．借用平面圖形的翻折為背景，考查利用導(dǎo)數(shù)解決三棱錐體積的最大值問題，意在考查學(xué)生的空間想象能力、轉(zhuǎn)化和化歸能力、實(shí)際應(yīng)用能力以及運(yùn)算求解能力．在近5年的新課標(biāo)試卷中，利用導(dǎo)數(shù)解決最優(yōu)化問題是首次考查，此類考題規(guī)避了特殊技巧，凸現(xiàn)了數(shù)學(xué)本質(zhì)，能有效地考查學(xué)生的創(chuàng)新意識，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識．

2 解法探究

從而三棱錐的高為

于是

f′(x)=20x3-10x4.

f(x)max=f(2)=16，

于是

解法2聯(lián)結(jié)OD,交BC于點(diǎn)H(如圖2),設(shè)AB=2x，則

從而三棱錐的高為

點(diǎn)評在上述的兩種解法中，解法1是常規(guī)解法，為大多數(shù)學(xué)生所選．通過觀察已知圖形特征，設(shè)弦心距為x，快速找到三棱錐的體積是關(guān)于x的函數(shù)，借用“導(dǎo)數(shù)”的工具性，通過求導(dǎo)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出三棱錐體積的最大值．注意隱蔽條件“自變量在實(shí)際意義中的取值范圍”在解題中的應(yīng)用．解法2設(shè)正三角形的邊長為2x，求出三棱錐的體積關(guān)于x的函數(shù)，借用“5個(gè)正數(shù)的算術(shù)—幾何平均不等式”(也稱基本不等式的推論)，展現(xiàn)了基本不等式的推論在求最值中的威力和魅力，充分顯示了解法的靈活性，實(shí)屬巧思妙解，干凈利落，意猶未盡．

3 尋根探源

圖3 圖4

例2[1]一塊邊長為10 cm的正方形鐵片按如圖3所示的陰影部分裁下，然后用余下的4個(gè)全等的等腰三角形加工成一個(gè)正四棱錐(底面是正方形，從頂點(diǎn)向底面作垂線，垂足是底面四棱錐的中心)形容器(如圖4)，試把容器的容積V表示為x的函數(shù)．

(人教A版《數(shù)學(xué)(必修2)》第37頁復(fù)習(xí)參考題B組第4題)

例3[2]用半徑為R的圓形鐵片剪出一個(gè)圓心角為α的扇形，制成一個(gè)圓錐形的容器，問：扇形的圓心角α多大時(shí)，容器的容積最大？

(人教A版《數(shù)學(xué)(選修2-2)》第67頁復(fù)習(xí)參考題B組第3題)

例1是例2和例3的整合：只需把“圓形鐵皮或正方形鐵片”變?yōu)椤皥A形紙片”，把“圍成圓錐或四棱錐”變?yōu)椤叭忮F”，并把結(jié)論“容器的容積最大時(shí)的自變量的值或容積V表示為x的函數(shù)”變?yōu)椤扒笕忮F體積的最大值”，即得例1．在強(qiáng)調(diào)命題改革的今天，通過改編、創(chuàng)新等手段來賦予課本例題、習(xí)題新的生命，這已成為高考命題的一種新走向．近幾年高考試題的命制越來越新穎多變，尤其是對不等式的考查，形式多樣，但萬變不離其宗，大多數(shù)高考題都能在課本中找到其原型.因此，我們在高三復(fù)習(xí)備考的過程中要注意對課本例題、練習(xí)題的訓(xùn)練，把握其實(shí)質(zhì)，掌握其規(guī)律，規(guī)范其步驟，做到“胸中有本”.

4 同源變式

俗話說：“鐵打的營盤，流水的兵．”高考中不變的是知識，變化的是情景的呈現(xiàn)形式、問題的結(jié)構(gòu)方式．這就要求我們面對數(shù)學(xué)題能突破常規(guī)，陳題巧改編，舊瓶裝新酒．

思考1把例1的背景精雕細(xì)琢，變?yōu)閷?shí)際生活中的應(yīng)用問題，并把“圓形紙片的半徑為5 cm”變?yōu)椤皥A形包裝紙的半徑為10 cm”，便可得到如下立意新穎、構(gòu)思獨(dú)特的好題[3]：

圖5

變式1某商場為促銷要準(zhǔn)備一些正三棱錐形狀的裝飾品，用半徑為10 cm的圓形包裝紙包裝．要求如下：正三棱錐的底面中心與包裝紙的圓心重合，包裝紙不能裁剪，沿底邊向上翻折，其邊緣恰好達(dá)到三棱錐的頂點(diǎn)(如圖5)．設(shè)正三棱錐的底面邊長為xcm，體積為Vcm3，在所有能用這種包裝紙包裝的正三棱錐裝飾品中，V的最大值是______，此時(shí)x的值為______．

思考2去掉高考題中的圖形的翻折背景，并把條件中的“正三棱錐”變?yōu)橹苯映尸F(xiàn)“正四棱錐”，并添加條件“側(cè)棱長為1”，結(jié)論還是“求體積的最大值”，即可得到如下題意簡潔、清晰的好題：

變式2設(shè)正四棱錐的側(cè)棱長為1，則其體積的最大值為______．

分析設(shè)正四棱錐的底面邊長為x，則體積為

設(shè)x2=t(其中0

y=t2(2-t)=2t2-t3，

從而

y′=4t-3t2=-t(3t-4)，

思考3仍用例1的背景，只是把條件與結(jié)論中的“三棱錐”變?yōu)椤八睦忮F”，即可得如下“新口味”的好題：

變式3如圖6，圓形紙片的圓心為O，半徑為5 cm，該紙片上的正方形ABCD的中心為O．E,F,G,H為⊙O上的點(diǎn)，△EAB,△FBC,△GCD,△HDA分別是以AB,BC,CD,DA為底邊的等腰三角形．沿虛線剪開后，分別以AB,BC,CD,DA為折痕折起△EAB,△FBC,△GCD,△HDA，使得點(diǎn)E,F,G,H重合，得到四棱錐．當(dāng)正方形ABCD的邊長變化時(shí)，所得四棱錐體積(單位：cm3)的最大值為______．

圖6 圖7

分析聯(lián)結(jié)OE，交AB于點(diǎn)M(如圖7)，則OE⊥AB.設(shè)OM=x，則BC=2x，EM=5-x,從而四棱錐的高為

且

S正方形ABCD=4x2,

f′(x)=20x3-10x4.

f(x)max=f(2)=16，

于是

由上可知:課本素材是高考考題編擬的藍(lán)本，對高考典型試題進(jìn)行多角度思考，實(shí)際上是對高考試題的“二次開發(fā)”，即通過一道題，明晰一類題．對典型試題，尤其是涉及核心知識內(nèi)容的典型試題的剖析和思考更是必不可少，通過對典型試題的靈活變換和多角度思考，展開問題的來龍去脈和知識間的縱橫聯(lián)系，讓學(xué)生站在一定的高度去思考問題，突出數(shù)學(xué)的本質(zhì)，使學(xué)生的思維得到提升，使知識達(dá)到融會(huì)貫通.如此，不論高考題的構(gòu)思多么新穎，學(xué)生也能做到以不變應(yīng)萬變．

[1] 課程教材研究所.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)(必修2)[M].北京：人民教育出版社，2016：37.

[2] 課程教材研究所.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)(選修2-2)[M].北京：人民教育出版社，2014：67-67.

[3] 編寫組.2017高考數(shù)學(xué)經(jīng)典題型與變式[M].北京：西藏人民出版社，2016.

O123

A

1003-6407(2017)10-38-03