● (太湖中學(xué)，安徽 太湖 246400)

2017-07-08

李昭平(1963-)，男，安徽太湖人，安徽省特級(jí)教師.研究方向數(shù)學(xué)教育.

從等差向等比類(lèi)比

●李昭平
(太湖中學(xué)，安徽 太湖 246400)

類(lèi)比,通常是指由某類(lèi)事物的特征類(lèi)比出另一類(lèi)事物的相應(yīng)特征的一種思維方式和解題思想.等差數(shù)列和等比數(shù)列之間聯(lián)系緊密、規(guī)律和諧、辯證統(tǒng)一，這些為等差向等比類(lèi)比提供了保證.從等差數(shù)列的性質(zhì)、形式、條件、等式、解法可以類(lèi)比出等比數(shù)列相應(yīng)的性質(zhì)、形式、條件、等式、解法等.

等差數(shù)列；類(lèi)比；等比數(shù)列；邏輯證明

從等差向等比類(lèi)比，往往融直觀(guān)想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)于一體，能有效培養(yǎng)學(xué)生的直覺(jué)思維能力、合情推理能力和探究證明能力[1].從等差數(shù)列的性質(zhì)可以類(lèi)比出等比數(shù)列的性質(zhì)；從等差數(shù)列問(wèn)題的結(jié)構(gòu)形式可以類(lèi)比出等比數(shù)列問(wèn)題的結(jié)構(gòu)形式；從等差數(shù)列的充要條件可以類(lèi)比出等比數(shù)列的充要條件；從等差數(shù)列滿(mǎn)足的等式可以類(lèi)比出等比數(shù)列所滿(mǎn)足的等式；從等差數(shù)列問(wèn)題的解法可以類(lèi)比出等比數(shù)列問(wèn)題的解法.下面分享幾個(gè)類(lèi)比結(jié)論，從中體會(huì)類(lèi)比的魅力.

1 性質(zhì)類(lèi)比

例1我們知道，若等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則對(duì)任意m∈N*,Sm,S2m-Sm,S3m-S2m也成等差數(shù)列.類(lèi)比到等比數(shù)列，則有：若等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則對(duì)任意m∈N*,Sm,S2m-Sm,S3m-S2m(其中Sm≠0)也成等比數(shù)列.

說(shuō)明以上兩道題是大家熟悉的，均由等差數(shù)列的性質(zhì)類(lèi)比出等比數(shù)列的相應(yīng)性質(zhì).例1中要注意在等比數(shù)列中，必須滿(mǎn)足Sm≠0；例2的結(jié)論中“和差”變成了“積商”，這是由等比數(shù)列的本質(zhì)決定的.

2 形式類(lèi)比

例3在等差數(shù)列{an}中，若a2+1,a4+3,a6+5成等比數(shù)列，則其公比是1.理由是：因?yàn)閍2,a4,a6成等差數(shù)列，1,3,5也成等差數(shù)列，所以a2+1,a4+3,a6+5成等差數(shù)列.于是a2+1,a4+3,a6+5既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列，則為非零的常數(shù)列，故其公比是1.由此向等比數(shù)列類(lèi)比，寫(xiě)出一道試題，并解之.

分析類(lèi)比題:在等比數(shù)列{an}中，若2a1,6a3,18a5成等差數(shù)列，則其公差是______．

事實(shí)上，因?yàn)閍1,a3,a5成等比數(shù)列，2,6,18也成等比數(shù)列，所以2a1,6a3,18a5成等比數(shù)列.于是2a1,6a3,18a5既是等比數(shù)列又是等差數(shù)列，則為非零的常數(shù)列，故其公差是0.

說(shuō)明從形式類(lèi)比，例2中等差、等比數(shù)列的性質(zhì)可以一般化，即“在等差數(shù)列{an}中，若am+bk,ap+bs,aq+bt成等比數(shù)列，且am,ap,aq和bk,bs,bt均成等差數(shù)列，則其公比是1”和“在等比數(shù)列{an}中，若ambk,apbs,aqbt成等差數(shù)列，且am,ap,aq和bk,bs,bt均成等比數(shù)列，則其公差是0”[2].

例4在數(shù)1和100之間插入n個(gè)實(shí)數(shù)，使得這n+2個(gè)數(shù)構(gòu)成遞增的等差數(shù)列，將這n+2個(gè)數(shù)的和記作Tn，再令an=10Tn，n≥1.

1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

2)由此向等比數(shù)列類(lèi)比，寫(xiě)出一道試題，并解之.

分析1)設(shè)t1,t2,…,tn+2構(gòu)成等差數(shù)列，其中t1=1,tn+2=100，則

因此

2)類(lèi)比題：在數(shù)1和100之間插入n個(gè)實(shí)數(shù)，使得這n+2個(gè)數(shù)構(gòu)成遞增的等比數(shù)列，將這n+2個(gè)數(shù)的乘積記作Tn，再令an=lgTn,n≥1.求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

事實(shí)上，設(shè)t1,t2,…,tn+2構(gòu)成等比數(shù)列，其中t1=1,tn+2=100，則

式(1)×式(2)并利用titn+3-i=t1tn+2=102(其中1≤i≤n+2),得

從而

an=lgTn=n+2,其中n∈N*.

說(shuō)明從試題結(jié)構(gòu)形式上類(lèi)比，即“遞增的等差數(shù)列變成遞增的等比數(shù)列”“n+2個(gè)數(shù)的和記作Tn變成n+2個(gè)數(shù)的乘積記作Tn”“再令an=10Tn變成再令an=lgTn”.

3 條件類(lèi)比

例5設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,不難得到：數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充分必要條件是：對(duì)任何n∈N+,都有Sn=An2+Bn(其中A,B是常數(shù)).由此向等比數(shù)列類(lèi)比，寫(xiě)出結(jié)論，并證明之.

分析類(lèi)比結(jié)論：設(shè)數(shù)列a1,a2,…,an,…中的每一項(xiàng)都不為0，且前n項(xiàng)和為Sn,則數(shù)列{an}為公比非1的等比數(shù)列的充分必要條件是：對(duì)任何n∈N+,都有Sn=kqn-k(其中k,q是非零的常數(shù)).

只證充分性(必要性易證，略去)：當(dāng)n≥2時(shí)，

an=Sn-Sn-1=(kqn-k)-(kqn-1-k)=

k(q-1)qn-1；

當(dāng)n=1時(shí),

a1=S1=kq-k=k(q-1),

從而

an=k(q-1)qn-1,其中n∈N+.

因此{(lán)an}是等比數(shù)列.

說(shuō)明從等差數(shù)列的和式充要條件類(lèi)比到等比數(shù)列的和式充要條件.

例6設(shè)數(shù)列a1,a2,…,an,…中的每一項(xiàng)都不為0.我們能得到：{an}為等差數(shù)列的充分必要條件是：對(duì)任何n∈N+,都有

此結(jié)論反映了等差數(shù)列概念的又一種表達(dá)方式.由此向等比數(shù)列類(lèi)比，寫(xiě)出結(jié)論，并證明之.

分析類(lèi)比結(jié)論：設(shè)數(shù)列a1,a2,…,an,…中的每一項(xiàng)都為正數(shù)，則{an}為等比數(shù)列的充分必要條件是：對(duì)任何n∈N+,都有

只證充分性(必要性易證，略去)：由

和

整體相除，得

即

同理可得

于是

而數(shù)列a1,a2,…,an,…中的每一項(xiàng)都為正數(shù),從而

4 等式類(lèi)比

例7在等差數(shù)列{an}中，若a2 018=0,則等式a1+a2+a3+…+an=a1+a2+a3+…+a4 035-n(其中n<4 035,n∈N*)成立.類(lèi)比此等式，相應(yīng)地，在等比數(shù)列{bn}中，若b2 017=1,則有______成立.

分析因?yàn)閍4 036-n+i+an-i=2a2 018=0(其中0≤i≤n-1),且

2(a4 036-n+a4 037-n+a4 038-n+…+an)=(a4 036-n+an)+(a4 037-n+an-1)+(a4 038-n+an-2)+…+(an+a4 036-n)=0,所以a4 036-n+a4 037-n+a4 038-n+…+an=0,

于是a1+a2+a3+…+an=a1+a2+a3+…+a4 035-n(其中n<4 035,n∈N*).

(b4 034-n·b4 035-n·b4 036-n·…·bn)2=(b4 034-n·b4 035-n·b4 036-n·…·bn)(bn·bn-1·bn-2·…·b4 034-n)=(b4 034-n·bn)(b4 036-n·bn-1)(b4 035-n·bn-2)·…·(bn·b4 034-n)=1,所以b4 034-n·b4 035-n·b4 036-n·…·bn=1,于是b1·b2·b3·…·bn=b1·b2·b3·…·b4 033-n(其中n<4 033,n∈N*).

說(shuō)明從等差數(shù)列{an}滿(mǎn)足的等式類(lèi)比到等比數(shù)列{bn}滿(mǎn)足的等式，充分運(yùn)用an+am=ap+ap和bn·bm=bp·bq(其中n+m=p+q).

5 解法類(lèi)比

例8在等差數(shù)列{an}中，對(duì)某些正整數(shù)s，t(其中s≠t),當(dāng)as=at時(shí)，{an}必是常數(shù)列.類(lèi)比此結(jié)論，在等比數(shù)列{bn}中，對(duì)某些正整數(shù)s，t(其中s≠t),當(dāng)as=at時(shí)，{bn}也是常數(shù)列嗎？

當(dāng)s-r為奇數(shù)時(shí)，q=1，{bn}是常數(shù)列；當(dāng)s-r為偶數(shù)時(shí)，q=±1，{bn}是項(xiàng)的絕對(duì)值相等、相鄰項(xiàng)異號(hào)的非常數(shù)列.

說(shuō)明從等差數(shù)列{an}的解法類(lèi)比到等比數(shù)列{bn}的解法，獲得結(jié)論.

以上8個(gè)例題很好地展現(xiàn)了等差數(shù)列與等比數(shù)列在定義、通項(xiàng)、求和公式、基本性質(zhì)等方面的聯(lián)系和區(qū)別.利用兩者異同規(guī)律進(jìn)行類(lèi)比,往往會(huì)得到兩種數(shù)列類(lèi)似的結(jié)論.顯然在證明過(guò)程中，也充分運(yùn)用了解決數(shù)列問(wèn)題的一些重要思想方法(函數(shù)思想、整體相減、整體相加、整體相乘、整體相除等).需要注意的是，類(lèi)比的結(jié)論不一定都正確，需要邏輯證明.這給我們的啟示是：類(lèi)比是極好的研究性學(xué)習(xí)素材，關(guān)鍵在于教師要善于思考、善于發(fā)掘、善于研究、善于利用[3].

[1] 中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))[M].北京：人民教育出版社，2003.

[2] 曹才翰，章建躍.數(shù)學(xué)教育心理學(xué)[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，1999.

[3] 李昭平.通過(guò)數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)素養(yǎng)[J].中學(xué)數(shù)學(xué),2011(4)：12-14.

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