● (杭州市第十四中學(xué)，浙江 杭州 310006)

2017-07-02

顧予恒(1981-)，男，浙江杭州人，中學(xué)一級(jí)教師．研究方向數(shù)學(xué)教育．

探尋一道統(tǒng)測(cè)試題的前世今生
——函數(shù)專題復(fù)習(xí)之以值代參與零點(diǎn)控制

●顧予恒李紹塔
(杭州市第十四中學(xué)，浙江 杭州 310006)

高考復(fù)習(xí)不能僅是要把題目做出來(lái)，更要研究題目背后蘊(yùn)含的深刻內(nèi)涵．文章以2017年浙江省杭州市二模試卷中的一道選擇題為例，探究題目本質(zhì)，追根溯源，探尋題目的前世今生，為高考函數(shù)內(nèi)容復(fù)習(xí)及加深函數(shù)本質(zhì)理解提供一種示范．

函數(shù)；對(duì)應(yīng)關(guān)系；以值代參；零點(diǎn)控制

在剛剛結(jié)束的2017年浙江省杭州市二?？荚囍校x擇題第9題引起了筆者的注意．學(xué)生的得分率不高，有的是通過(guò)線性規(guī)劃的方法把選擇題做成了大題，也有的是通過(guò)特殊值法猜出了答案，但對(duì)本題到底考查了什么內(nèi)容不甚明了．如果僅以選對(duì)答案為問(wèn)題解決的終點(diǎn)，那么就辜負(fù)了命題人的一番良苦用心，不能更好地發(fā)揮題目的教育價(jià)值．

1 試題呈現(xiàn)

例1設(shè)f(x)=x2+ax+b的兩個(gè)零點(diǎn)為x1,x2，若|x1|+|x2|≤2，則

( )

A．|a|≥1 B．|b|≤1

C．|a+2b|≥2 D．|a+2b|≤2

(2017年浙江省杭州市第二次數(shù)學(xué)模擬考試第9題)

分析本題是一道與二次函數(shù)零點(diǎn)相關(guān)的問(wèn)題，4個(gè)選項(xiàng)都值得好好揣摩！

筆者在試卷講評(píng)時(shí)設(shè)計(jì)了以下的問(wèn)題讓學(xué)生思考．

思考1如何畫(huà)二次函數(shù)f(x)=x2+ax+b(其中a,b∈R)的圖像？

有的說(shuō)：給我確定的a,b的值，我就能把圖像確定下來(lái)．這位學(xué)生將系數(shù)a,b視作二次函數(shù)圖像變化的一組控制量.

思考2你能畫(huà)出一個(gè)滿足題干條件的二次函數(shù)圖像嗎？

有的說(shuō):我選取兩個(gè)滿足題干要求的零點(diǎn)，例如x1=0，x2=1,于是圖像也被唯一確定下來(lái)．這位學(xué)生將零點(diǎn)x1,x2視作控制函數(shù)圖像變化的一組控制量.

方法1由題意知x2+ax+b=0的兩根為x1,x2，且x1+x2=-a,x1x2=b.

對(duì)于選項(xiàng)A，|a|=|x1+x2|≤|x1|+|x2|≤2，

故選項(xiàng)A不正確．

方法2也可以把|x1|+|x2|≤2視為正方形的可行域，求目標(biāo)函數(shù)|b|=|x1x2|(面積意義)和目標(biāo)函數(shù)|a|=|x1+x2|(線性目標(biāo)函數(shù))的取值范圍(解答略).

評(píng)注無(wú)論是方法1還是方法2，都源于用函數(shù)零點(diǎn)x1,x2來(lái)表示參數(shù)a,b，本質(zhì)是在a,b與x1,x2間建立起對(duì)應(yīng)關(guān)系．

思考3除了零點(diǎn)，還有沒(méi)有其他可能的圖像控制量？

有學(xué)生提出：只要提供函數(shù)圖像上任意兩個(gè)點(diǎn)，就可以唯一畫(huà)出函數(shù)圖像了．如前面取的兩個(gè)零點(diǎn)是函數(shù)圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即(x1,0),(x2,0)是函數(shù)圖像上兩個(gè)特殊的點(diǎn)．

圖1

如圖1，畫(huà)出幾個(gè)臨界狀態(tài)圖，如f1(x)=x(x+2)，f2(x)=(x+1)2，f3(x)=(x-1)(x+1)，f4(x)=(x-1)2，f5(x)=x(x-2)．值得注意的是f(x)=x2+ax+b的開(kāi)口大小已經(jīng)由二次項(xiàng)系數(shù)1決定了，即所有的圖像都與f(x)=x2“全等”．

由圖1可以發(fā)現(xiàn)

即

從而

故

|a+2b|∈[0,4].

至此豁然開(kāi)朗，這道題的4個(gè)選項(xiàng)提供了研究函數(shù)問(wèn)題的一種全新的視角．我們知道，函數(shù)最重要的本質(zhì)是映射(即對(duì)應(yīng)關(guān)系)，本題可以理解為目標(biāo)函數(shù)在定義域上求值域的問(wèn)題，關(guān)鍵是將哪個(gè)量視為真正的變量，建立起何種對(duì)應(yīng)關(guān)系.解決此類問(wèn)題既可以用函數(shù)值來(lái)代替參數(shù)式(以值代參)，也可以用零點(diǎn)關(guān)系來(lái)代替參數(shù)式(零點(diǎn)控制)，因題而異，靈活運(yùn)用.

2 追根溯源

其實(shí)這樣的視角并非突然從天而降，追根溯源，可以找到眾多的前車之鑒．因此研究問(wèn)題要看它的三生三世，下次遇見(jiàn)時(shí)才能十里桃花香．

例2[1]已知函數(shù)f(x)=x2+ax+b(其中a,b∈R)在區(qū)間(0,1)內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，則3a+b的取值范圍是______．

(2017年浙江省數(shù)學(xué)高考測(cè)試卷第17題)

思考1)求3a+b的取值范圍——理解為函數(shù)求值域問(wèn)題；2)變量是哪個(gè)：零點(diǎn)；3)對(duì)應(yīng)關(guān)系如何？

3a+b=x1x2-3(x1+x2)=

(3-x1)(3-x2)-9∈(-5,0)．

圖2

解法2事實(shí)上，3a+b=f(3)-9.如圖2，畫(huà)出臨界狀態(tài)的圖像，可知f(x)=x2與f(x)=(x-1)2為臨界狀態(tài)，此時(shí)4

3a+b∈(-5,0).

評(píng)注本題解法1用零點(diǎn)控制完成，最后一步的因式分解是學(xué)生們處理的難點(diǎn)，其實(shí)它并非從天而降，而是解法2中以值代參的體現(xiàn)．

例3若f(x)=x2+ax+b(其中a,b∈R)在(0,1)內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，則a2-2b的取值范圍是______．

(2017年浙江省數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題第3題)

解記f(x)=(x-x1)(x-x2)(其中x1,x2∈(0,1))，則

因?yàn)閤1∈(0,1)，x2∈(0,1),所以

評(píng)注這道最新的浙江省數(shù)學(xué)聯(lián)賽題，在非齊次的目標(biāo)式a2-2b與零點(diǎn)x1,x2間建立起了對(duì)應(yīng)關(guān)系．

(2016年浙江省數(shù)學(xué)高考測(cè)試卷第15題)

思考a+b+2c可以視作關(guān)于什么變量的函數(shù)？

解因?yàn)閒(0)=c，f(1)=a+b+c，所以

a+b+2c=f(0)+f(1).

由題意知

|f(x)|≤M(a,b,c)，

即

-M(a,b,c)≤f(x)≤M(a,b,c),

于是

a+b+2c=f(0)+f(1)≤2M(a,b,c)，

即

評(píng)注本題將a+b+2c視作由兩個(gè)函數(shù)值f(0)與f(1)一起控制的函數(shù)，要求具備良好的識(shí)別目標(biāo)函數(shù)的能力．

例5已知b,c∈R，二次函數(shù)f(x)=x2+bx+c在(0,1)內(nèi)與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求c2+(1+b)c的取值范圍．

(2014年浙江省數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題第18題)

思考c2+(1+b)c可以視作關(guān)于什么變量的函數(shù)？

解因?yàn)閒(0)=c，f(1)=1+b+c，所以

c2+(1+b)c=f(0)f(1).

設(shè)f(x)=(x-x1)(x-x2)，其中x1,x2∈(0,1)且x1≠x2，則

c2+ (1+b)c=f(0)f(1)=

評(píng)注本題和例4如出一轍，與二次函數(shù)零點(diǎn)式、基本不等式一同考查，難度有所加大，但還是“原來(lái)的配方，熟悉的味道”．

3 觸類旁通

例6[2]設(shè)函數(shù)f(x)=x2+ax+b(其中a,b∈R)，記M(a,b)為y=|f(x)|在[-1,1]上的最大值.

1)已知|a|≥2，求證：M≥2；

2)若M(a,b)≤2，請(qǐng)求出|a|+|b|的最大值．

(2015年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第18題)

思考1)求|a|+|b|的最大值：函數(shù)問(wèn)題；2)變量是哪個(gè)：對(duì)于x∈[-1,1]，所有的|f(x)|;3)對(duì)應(yīng)關(guān)系如何？

因?yàn)閨a|≥2，即|f(1)-f(-1)|≥4,所以

2M≥|f(-1)|+|f(1)|≥|f(1)-f(-1)|≥4，

從而

M≥2.

2)一方面，

|a|+|b|= max{|a+b|,|a-b|}=

max{|f(1)-1|,|f(-1)-1|}≤

max{|f(1)|,|f(-1)|}+1≤

M(a,b)+1≤3,

另一方面，當(dāng)|a|=2,b=-1時(shí)，滿足M(a,b)=2,此時(shí)，|a|+|b|=3.

綜上所述，(|a|+|b|)max=3．

評(píng)注本題的反解表示，之前很多學(xué)生表示看起來(lái)都正確卻很難想到．如果從以值代參的角度來(lái)理解，那么就水到渠成了．

例7[2]設(shè)函數(shù)f(x)=x2+ax+b(其中a,b∈R)，已知函數(shù)f(x)在[-1,1]上存在零點(diǎn)，若0≤b-2a≤1，求b的取值范圍．

(2015年浙江省數(shù)學(xué)高考文科試題第20題第2)小題)

分析本題可以從規(guī)劃視角、韋達(dá)定理等角度去解決，過(guò)程比較繁瑣.但如果用代換思想去解決，那么幾乎可以秒殺．

解令g(x)=ax+b,h(x)=-x2，則問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為g(x)與h(x)在[-1,1]上的圖像有交點(diǎn)．

注意到m=b-2a=g(-2)，則直線g(x)=ax+b過(guò)點(diǎn)P(-2,m)，其中0≤m≤1，即點(diǎn)P(-2,m)在線段AB上運(yùn)動(dòng)，如圖3所示，b的幾何意義是直線在y軸上的截距．

圖3 圖4

評(píng)注本題將函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)問(wèn)題去解決，特別關(guān)注題干中出現(xiàn)的參數(shù)式b-2a與要求的b的意義．

例8若f(x)=x2+ax+b(其中a,b∈R)在[-1,1]上存在零點(diǎn)，且對(duì)任意的t∈[2,3]，0≤ta+b≤2，則b的取值范圍是______．

分析本題是2015年浙江省數(shù)學(xué)高考文科試題第20題的改編題，關(guān)鍵在于對(duì)條件“對(duì)任意的t∈[2,3]總有0≤ta+b≤2”的理解．

圖5 圖6

評(píng)注本題對(duì)高考題的改編頗有新意，將點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)變?yōu)榫€段在矩形區(qū)域內(nèi)運(yùn)動(dòng)．若將條件再變化為“存在t∈[2,3]，0≤ta+b≤2，”那就與高考題無(wú)異了，有興趣的讀者可自行完成．

4 教學(xué)啟示

就教學(xué)內(nèi)容而言，用函數(shù)的觀點(diǎn)來(lái)解決問(wèn)題，強(qiáng)化函數(shù)作為對(duì)應(yīng)關(guān)系的理解與應(yīng)用，是復(fù)習(xí)函數(shù)內(nèi)容的正確方式．筆者將求目標(biāo)參數(shù)式的取值范圍問(wèn)題視為函數(shù)在固定區(qū)域上求值域的問(wèn)題，而“以值代參”與零點(diǎn)控制的技巧都充分體現(xiàn)了函數(shù)的對(duì)應(yīng)思想．

高三復(fù)習(xí)與試題講解總是密不可分的．試題講解的第一步，首先是對(duì)每一道精彩試題的賞析，只有充分挖掘其內(nèi)涵和背景，才能發(fā)揮試題的最大價(jià)值．試題講解不能只求答案，要讓學(xué)生知其然，更要知其所以然，這樣才能通過(guò)講解少量的試題，就達(dá)到讓學(xué)生“做會(huì)一道，通曉一類”的目的．

實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)，要求廣大教師不斷加強(qiáng)研究，提高自身對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，在高觀點(diǎn)下審視數(shù)學(xué)問(wèn)題，并通過(guò)對(duì)教學(xué)過(guò)程的有效設(shè)計(jì)和引導(dǎo)，幫助學(xué)生更好地掌握數(shù)學(xué)知識(shí)和解題技巧，領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)思想，形成良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)．

[1] 李學(xué)軍，曲文瑞．平凡真功顯 妙解素養(yǎng)現(xiàn)——由2017浙江省高中數(shù)學(xué)模擬卷17題說(shuō)起[J]．中學(xué)教研(數(shù)學(xué))，2017(4)：39-41．

[2] 數(shù)學(xué)高考研究組．浙江高考數(shù)學(xué)2004一路走來(lái)[M]．杭州：浙江大學(xué)出版社，2016．

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A

1003-6407(2017)10-17-04