● (鄞州高級中學，浙江 寧波 315100)

●任偉芳 (寧波市教育局教研室，浙江 寧波 315000)

2017-08-21

王世恩(1981-)，男，浙江寧波人，中學高級教師.研究方向數(shù)學教育.

基于培育邏輯推理素養(yǎng)的章引言教學
——以“推理與證明”的教學設計為例

●王世恩
(鄞州高級中學，浙江 寧波 315100)

●任偉芳
(寧波市教育局教研室，浙江 寧波 315000)

在章引言教學中培育邏輯推理素養(yǎng)需要引發(fā)學生學習興趣，引導學生會學數(shù)學，引領學生在新章節(jié)中探索遨游．推理與證明是培育數(shù)學邏輯推理素養(yǎng)的抓手，是貫穿于高中數(shù)學整個知識體系的思維方式，是理性思維的重要部分．

邏輯推理；章引言；推理課堂；實踐思考

近日，浙江省寧波市教研室組織了以“深化課程意識，培育核心素養(yǎng)”為主題的章引言課堂教學評比，章引言和核心素養(yǎng)教學引起了參會教師濃厚的興趣．活動依托“推理與證明”等章引言內容開設了10節(jié)同課異構的評比課．筆者用新課程理念，根據授課內容特點和學生認知水平，通過注重培育邏輯推理素養(yǎng)所構建的“推理”課堂，得到評委教師和學生的一致好評．下面以這節(jié)人教A版《數(shù)學(選修2-2)》第2章“推理與證明”章引言教學設計為例，談談如何在章引言教學中培育邏輯推理素養(yǎng)的實踐與思考．

1 教學內容的分析

推理與證明是一種數(shù)學的基本思維過程,也是人們學習和生活中經常使用的思維方式之一[1]．“推理與證明”作為一個獨立的章節(jié)編入教材中是本次課程改革的一大亮點，說明它對學生能力發(fā)展的重要性．推理與證明是培育數(shù)學邏輯推理素養(yǎng)的抓手之一，是學生學好數(shù)學的基礎，也是貫穿于高中數(shù)學整個知識體系的思維方式，是理性思維的重要部分．數(shù)學之所以區(qū)別于其他學科，在于數(shù)學規(guī)律的確定性必須由推理和證明來實現(xiàn)，因此“推理是數(shù)學的命根子”[2]．教材將推理與證明的一般方法進行了總結和歸納,把過去滲透在具體數(shù)學內容中的思維方法,以集中、顯性的形式在一個章節(jié)中呈現(xiàn)出來，使學生更加明確這些方法,同時對后繼知識的學習起到引領作用,并能在以后的學習中有意識地運用這些方法,從而達到系統(tǒng)化螺旋式地培育學生邏輯推理素養(yǎng)的目的．

2 課堂實錄(片段)

2.1 環(huán)節(jié)1：創(chuàng)設問題情境，感受推理魅力

分析當生物體死亡后，它機體內原有的“碳14”會按確定的規(guī)律衰減，大約每經過5 730年衰減為原來的一半，這個時間稱為“半衰期”．根據此規(guī)律，人們可以獲得生物體內“碳14”含量P與死亡年數(shù)t之間的關系，由此可以推測化石距今約幾萬年．

師：下面請同學們舉幾個在日常生活中有關推理的例子？

生1：中華醫(yī)學博大精深，中醫(yī)師可以通過把脈來診斷出病人的病情．

生2：氣溫瞬息萬變，氣象專家可以通過云圖分析和實踐經驗預測未來幾天天氣的狀況．

設計意圖請學生舉例，說明推理在科學研究和日常生活等領域有著廣泛的應用．數(shù)學推理是依據已有數(shù)學概念、生活經驗、知識水平，運用歸納、類比、觀察、猜想等推理方法，對數(shù)學事物或現(xiàn)象進行科學、合理地判斷，繼而得出一定的結論．因此學習推理可以幫助學生鍛煉思維，科學客觀地看待問題，會使人更聰明．

2.2 環(huán)節(jié)2：從特殊到一般的推理

師：有玩過如圖1所示的這個游戲嗎？今天我們來玩這個游戲．

圖1

問題2在印度有個傳說：在世界中心的神廟里，插著3根寶石柱子．印度教的主神梵天在創(chuàng)造世界的時候，在第一根柱子上從上到下穿了由小到大的64個純金的圓盤．不論白天黑夜，總有一個僧侶按照如下規(guī)則移動圓盤，規(guī)則：

1)每次只能移動1個圓盤;

2)較大的圓盤不能放在較小的圓盤上面,僧人們預言：當所有圓盤都移到另一根柱子上時，世界將不復存在了．

師：這個預言會是真的嗎？

生3：假的．

師：預言的真假本質上要研究怎樣的問題？

生4：要解決64個圓盤從第一根柱子移到第二根柱子最少需要多少次的問題．

師：很好，首先我們把實際問題轉化為數(shù)學問題．但64塊圓盤的數(shù)量過大，我們應該怎么考慮？

生5：從1塊圓盤開始，然后2塊、3塊、4塊，依次下去……

師：接下來按課前分好的小組進行漢諾塔游戲的數(shù)學實驗活動．活動要求：每個小組2人操作，1人記錄移動步數(shù)(見表1)，1人最后匯報本組實驗活動的情況，猜想f(n)=______．

表1 漢諾塔游戲的數(shù)學實驗活動統(tǒng)計

(動手操作3分鐘后．)

師：哪一組來分享本組的結果？

生6：我們組的實驗結果:f(n)分別是1,3,7,15．

師：很棒！說一說是怎么移動的？

生7：這里關鍵是要用最快的速度將第一根柱子最底下一塊移到第二根柱子上．比如：當有3塊的時候，要將上面2塊看成一個整體移動到第3根柱子上．因為將2塊移到另一個柱子上最快要3次，所以總次數(shù)就是3+1+3=7次．

師：厲害！事實上，移動的過程就是一個推理過程．生活中人們往往需要進行這樣那樣的推理，比如在警察偵破案件、考古學家推測遺址年代等，這是我們?yōu)槭裁磳W習本章的原因．當有n個圓盤時，至少要移動幾次呢？

生8：2n-1次.

設計意圖引進漢諾塔的動手游戲，對于64個圓盤，有學生提出：64個圓盤數(shù)字太大不好處理，應該從1塊圓盤開始，然后2塊、3塊、4塊……依次下去，尋找規(guī)律更方便些，這是歸納推理最基本的思維方式．通過游戲活動，學生經歷觀察分析、逐漸發(fā)現(xiàn)結論的過程．在師生互動中滲透歸納推理，一方面能培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的習慣;另一方面能優(yōu)化學生的思維，啟迪他們的智慧．

2.3 環(huán)節(jié)3：從一般到特殊的推理

師：像這種由特殊的幾個概括得到一般結論的推理稱為歸納推理，歸納推理與類比推理統(tǒng)稱為合情推理，合情推理具有猜測和發(fā)現(xiàn)新結論的作用．剛才我們得到的結論是否一定正確呢？

生9：不一定正確．

問題3著名的費馬猜想：任何形如22n+1(其中n∈N*)的數(shù)都是質數(shù)．

師：這個猜想在提出半個世紀后，被善于計算的歐拉發(fā)現(xiàn)，第5個費馬數(shù)不是質數(shù)．同學們剛才的預判是正確的！由此可見，由歸納推理得到的結論需要證明．常見證明方法有直接證明和間接證明，還有將在本章學習的數(shù)學歸納法，數(shù)學歸納法適用于處理與正整數(shù)相關的數(shù)學命題．再回歸到剛才得到的猜想，如果假定這個猜想是正確的，當有64塊的時候，至少需要移動幾次呢？

生10：264-1 ．

師：像這種從一般到特殊的推理過程稱為演繹推理．假定僧侶們每秒移動一次圓盤，不停地移動需要多少年呢？我們一起來見證偉大而不可思議的數(shù)據18 446 744 073 709 511 615(秒)，換算成年，相當于大約5 846億年．而地球的壽命最多還有100～150億年，我們看到僧侶們的預言竟然是正確的！從漢諾塔的游戲開始，經歷了推理中的歸納推理和演繹推理，本章還將學習一個從特殊到特殊的類比推理，譬如我們可將平面中的勾股定理類比推廣到空間當中．看教材第97頁小結中的知識結構，這就是本章我們要學習的內容．

設計意圖培育邏輯推理核心素養(yǎng)需要有活動作為載體．通過動手實驗把所有圓盤都移到另一根柱子上，在小組探究和成果分享中，使學生了解在進行歸納推理時，要搜集到一定的事實材料，有了個別性的、特殊性的知識作為前提，然后才能進行歸納推理．著名數(shù)學家波利亞曾說：“合情推理是冒險的，有爭議的和暫時的”，通過費馬猜想的反例告訴學生要養(yǎng)成“大膽猜想，小心求證”的嚴謹?shù)目茖W態(tài)度．

2.4 環(huán)節(jié)4：俯瞰全貌，加強“會學”指導

師(小結)：本章怎么學呢？提兩點學習建議：第一，我們既要用合乎情理的推理大膽猜想和發(fā)現(xiàn)未知的結論，又要合理運用數(shù)學證明的基本方法，對猜想的合理性進行證明，從而養(yǎng)成言之有理、論證有據的習慣；第二，了解全章的知識結構，能把書讀厚，又能把書讀薄，讀薄就是抓住本質，抓住重點．最后，老師根據章引言的內容，自編一首歌曲作為本節(jié)課的結束，讓我們愉快地開始本章的學習吧！

生(跟唱)：漢諾塔，真有趣，引領我們?yōu)g覽“推理與證明”全貌，動手實驗幾分鐘，歸納演繹顯本質，醫(yī)生診斷病癥，警察偵破案情，專家預測天氣，考古推斷文物，大家論證命題，內涵推理證明，都擋不住數(shù)學眼光看穿它呀，相互合作、披荊斬棘、同心協(xié)力，培育我們邏輯推理素養(yǎng)．

設計意圖“授之于魚，不如授之以漁，這與學會學習的理念一致，‘會學’比‘學會’更重要”[3]．為了引導學生學習本章知識，提出全章的知識結構和學習建議．同時對學生進行學法指導——“推理”要言之有理，“證明”要論證有據．根據章引言中的有關介紹，自編了一首歌曲，既能使學生了解本章學習內容，又能激發(fā)學生的學習興趣．

3 教學反思

3.1 做好章引言的引導者，培育邏輯推理素養(yǎng)更科學

在平時的教學中，章引言往往容易被遺忘．沒有足夠的課時，內容相對簡單，種種理由讓我們對其視而不見、棄之不用．如何使學生對本章將要學習的內容、結構，甚至思想方法有一個大致的了解，發(fā)揮章引言的“導游圖”作用，應從以下3個方面著手：

1)為何引．章引言位于每個章節(jié)的起始位置，言簡意賅地介紹了本章節(jié)所涉及的內容和思想方法，是章節(jié)內容的高度概括，起著提綱挈領的作用.它可以使學生初步了解該章節(jié)的學習目標、學習內容和學習方法．章引言還結合學習內容圖文并茂地展示相關的知識背景、數(shù)學史與數(shù)學文化、現(xiàn)實生活中的應用．豐富的材料可以開拓學生的數(shù)學視野，激發(fā)學生的學習興趣，讓學生對即將開始的學習內容充滿期待．

本節(jié)課首先列舉了大量的生活實例，然后指出它們的關系與作用，再介紹本章的知識體系．這些材料可以讓學生感受推理與證明源于生活和數(shù)學學習.通過章引言教學,學生不僅看到了知識的“來龍”，而且知道了它的“去脈”，了解了知識的發(fā)生、發(fā)展過程，這將有助于學生克服畏難情緒，充滿自信地開始新知識的學習．

2)引什么．首先引發(fā)興趣啟發(fā)思考：教學的藝術不在于傳授本領，而在于激勵、喚醒、鼓舞．章引言是激發(fā)學生學習興趣、激活學生思維、鼓舞學生不斷追求新知、充分調動學生學習主動性的重要教學環(huán)節(jié)．其次引出主題指明方向：引出本章的主題，介紹即將學習的內容，會涉及一些尚未學習的概念，此時沒有必要對這些新概念一一解釋，只需帶領學生粗略地展望新的學習內容，了解概貌即可．當然，除了教學內容之外，更應該盡力滲透學習方法、學習策略的指導，關注對學生思維、思想的引領，在開啟新篇章之際，引領學生入門．

本節(jié)課通過漢諾塔游戲引發(fā)興趣啟發(fā)思考，使學生經歷從特殊到一般、再從一般到特殊的過程，從而為后續(xù)學習奠定基礎．同時課堂中豐富的生活實例和漢諾塔游戲的數(shù)學建模，引導學生用數(shù)學的眼光觀察世界，用數(shù)學的思維分析世界，用數(shù)學的語言表達世界．

3)怎么引．設計切實可行、自然平順的章引言教學需要結合具體內容，去提煉生活中的數(shù)學，去思考知識發(fā)生發(fā)展的邏輯，去洞悉學生思維的最近發(fā)展區(qū)．學習的關鍵在于學生的悟，但也離不開教師的引．

本節(jié)課第4個環(huán)節(jié)教師提出本章學習的兩點建議和自編歌曲的跟唱，目的是挖掘章引言的內涵和價值，引發(fā)學生的學習興趣，引導學生“會學”數(shù)學，引領學生在新的章節(jié)學習中探索遨游．

3.2 利用獨立成章優(yōu)勢，培育邏輯推理素養(yǎng)更完美

“推理與證明”獨立成章的設置，讓學生感受合情推理、演繹推理和數(shù)學證明在數(shù)學命題的發(fā)現(xiàn)、猜想與數(shù)學體系建構中的重要作用，有利于學生掌握推理與證明的思維方法．

1)以游戲為主線激發(fā)興趣為培育邏輯推理素養(yǎng)創(chuàng)造條件．湯姆遜語:“數(shù)學不應被想象為一種費解而又違背常識的東西.實際上,數(shù)學正是常識的精微化.”數(shù)學由于是常識的精微化,它具有系統(tǒng)性強、抽象程度高的特點，因而本節(jié)課引入章頭圖中漢諾塔游戲貫穿始終，將本章推理與證明中涉及到的重要概念如合情推理、演繹推理包含其中．先提出漢諾塔傳說中“預言會是真的嗎”這個問題,激發(fā)學生的學習興趣;然后通過動手實踐、小組合作，探究當有n個圓盤時至少需要移動的次數(shù)，學生在前面的鋪墊下很容易歸納出猜想的結論;最后又回到“預言會是真的嗎”的話題，寓教于樂的教學設計激發(fā)了學生學習的興趣，為提升素養(yǎng)創(chuàng)造了條件．

2)用導圖引領思維為培育邏輯推理素養(yǎng)提供保障．在邏輯推理核心素養(yǎng)的形成過程中，學生能夠發(fā)現(xiàn)問題和提出命題,能掌握推理的基本形式，理解數(shù)學知識之間的聯(lián)系，建構知識框架,形成有論據、有條理、合乎邏輯的思維品質，這些都離不開思維導圖的引領．本節(jié)課由淺入深，由簡單到復雜，不斷深化，思維的導圖如圖2所示：

圖2

在提出猜想后沒有進行嚴格證明猜想，因而舉了著名的費馬猜想例子，說明在大膽猜想的同時還要小心求證，這樣的教學設計不會影響推理的完整性和知識的嚴密性．

為了總體把握知識體系，為后續(xù)學習作好準備，在總結環(huán)節(jié)給出了本章的知識結構的思維導圖(如圖3所示)：

圖3

3)處理好合情與演繹、推理與證明關系是培育邏輯推理素養(yǎng)的根本．長期以來在數(shù)學學習中一直強調其嚴謹性，過分渲染演繹推理的重要性而忽視了生動活潑的合情推理， 使人們誤認為數(shù)學就是一門純粹的演繹科學．事實上數(shù)學發(fā)展史中的每一個重要的發(fā)現(xiàn)，除演繹推理外，合情推理也起著重要作用．因此在數(shù)學學習中，既要強調思維的嚴密性和結果的正確性，也要重視思維的直覺探索性和發(fā)現(xiàn)性，即應重視數(shù)學合情推理的合理性和必要性，從而達到“合情與演繹相輔相成，推理與證明相得益彰”的最高境界．

“推理與證明”章引言教學中培育邏輯推理素養(yǎng)，需要在實踐中勇于創(chuàng)新，不斷探索．只有教師運用啟發(fā)性的教學設計，構建高效的數(shù)學“推理”課堂，在趣味化的推理中優(yōu)化學生的思維品質、發(fā)展自主學習能力，才能讓學生滿懷樂趣與憧憬去開始新一章的學習．

[1] 張奠宙.數(shù)學教育隨想集[M].上海：華東師范大學出版社，2013：51-55.

[2] 史寧中. 數(shù)學的基本思想 [J]. 數(shù)學通報，2011(1)：1-9.

[3] 王尚志. 如何在數(shù)學教育中提升學生的數(shù)學核心素養(yǎng)[J]. 中國教師，2016(9)：33-38.

[4] 章建躍. 數(shù)學教育之取勢明道優(yōu)術 [J]. 數(shù)學通報，2014(10)：1-6.

O12

A

1003-6407(2017)10-09-04